Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10170
2019-02-12 
Длинная мензурка может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси O (см. рис.), расположенной на расстоянии $a$ от дна. В мензурке под поршнем П находится $\nu$ молей идеального газа и кольцо К массой $m_{0}$. Поршень соединен с дном эластичной резинкой жесткости $k$; в нерастянутом состоянии длина резинки пренебрежимо мала. Газ сначала медленно нагревают от температуры $T_{min}$ до $T_{max}$, а затем медленно охлаждают до $T_{min}$. Найдите расстояние между поршнем и дном в зависимости от температуры газа на протяжении всего процесса; постройте график. Массой мензурки и газа в ней пренебречь. Масса поршня $m$, площадь $S$; поршень двигается без трения. Атмосферное давление $p_{a}$, ускорение свободного падения $g$. Диапазон изменения температуры $T_{min} < T < T_{max}$ велик.
Решение:
Обозначим искомое расстояние между дном мензурки и поршнем через $x$.
Для идеального газа выполняется уравнение состояния Клапейрона-Менделеева, которое связывает макроскопические параметры газа. Для рассматриваемого системы это уравнение можно записать в виде
$pSx = \nu RT$. (1)
Рассмотрим теперь условия равновесия поршня. Все силы, действующие на поршень, обозначены на Рис. Для того, чтобы поршень покоился, равнодействующая всех сил должна быть равна нулю:
$p_{a} S + mg + kx - pS = 0$. (2)
Объединяя (1) и (2), получаем квадратное уравнение для нахождения расстояния $x$:
$(p_{a} S + mg + kx)x = \nu RT$.
Это уравнение имеет два корня, из которых необходимо выбрать положительный:
$x_{down} \equiv x_{+} (T) = \frac{-(p_{a}S + mg ) + \sqrt{(p_{a}S +mg )^{2} + 4 \nu RT k } }{2k}$ (3)
Обратите внимание, что при стремлении температуры газа $T$ к нулю величина $x_{down}$ также приближается к нулю при любом соотношении между параметрами задачи. Это будет важно для дальнейшего.
Следует отметить, однако, что полученное нами соотношение (13) между температурой и расстоянием от дна до поршня еще не сполна описывает искомую зависимость. Действительно, по мере нагревания газа и увеличения расстояния $x$, центр масс системы постепенно поднимается. Если поместить начало координат в точку O, то не составляет труда выразить вертикальную координату центра масс системы через величину $x$:
$y_{ц.м.}^{down} = \frac{m(x - a ) - m_{0}a}{m + m_{0} } = \frac{mx}{m + m_{0} } - a$.
После того как центр масс системы станет выше оси вращения O, то есть станет выполняться условие
$y_{ц.м.}^{down} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq a \frac{m + m_{0} }{m}$, (4)
положение мензурки, изображенное на Рис. ("дном вниз"), перестанет быть устойчивым. Любое малое отклонение мензурки от вертикали приведет к тому, что она перевернется и займет положение, изображенное на Рис. ("дном вверх"), которое теперь будет устойчивым. При этом кольцо упадет на поршень и будет дополнительно на него давить. В результате такого переворота давление газа изменится скачком.
Определим, как зависит от температуры расстояние между дном мензурки и поршнем в перевернутом состоянии. Соотношение (1) по-прежнему выполняется, а вот взамен (2) необходимо написать:
$mg + m_{0}g + pS - p_{a}S - kx = 0$. (5)
Комбинируя (11) и (15), получаем уравнение для $x$:
$(p_{a}S - mg - m_{0}g + kx)x = \nu RT$.
Решая это уравнение и выбирая положительный корень, имеем
$x_{up} \equiv x_{+} = \frac{ - (p_{a}S - (m+ m_{0} )g ) + \sqrt{(p_{a}S - (m + m_{0} )g )^{2} + 2 \nu RTk} }{2k}$. (6)
В отличие от $x_{down}$ величина $x_{up}$ может и не обратиться в нуль при приближении температуры газа к нулю. Как видно из (6), если выполняется соотношение $p_{a}S < (m + m_{0})g$, то при $T \rightarrow 0$ расстояние между поршнем и дном мензурки стремится к $[(m + m_{0})g - p_{a}S]/k$.
В перевернутом состоянии кольцо падает на поршень, поэтому положение центра масс системы определяется выражением отличным от (4)
$y_{ц.м.}^{up} = \frac{-(m + m_{0} )(x - a)}{m + m_{0} } = a - x$.
Следовательно, для того чтобы уже состояние "вверх дном" в свою очередь было неустойчивым, необходимо, чтобы поршень располагался от дна на расстоянии, не превосходящем $a$:
$y_{ц.м.}^{up} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq a$. (7)
Рассчитаем, до какой температуры необходимо нагреть газ в состоянии "дном вниз", чтобы центр масс достиг точки O. Используя (3) и (4), для этой критической температуры $T_{кр}$ имеем
$a \frac{m + m_{0} }{m} = \frac{- (p_{a}S + mg ) + \sqrt{ (p_{a}S + mg )^{2} + 2 \nu RT_{кр}k } }{2k} \Leftrightarrow T_{кр} = \frac{a(m + m_{0} )}{ \nu Rm} \cdot \left ( \frac{m + m_{0} }{m} ka + p_{a}S + mg \right )$. (8)
Заметим, что эта величина положительна при любом соотношении между параметрами, т. е. при нагревании мензурка рано или поздно обязательно перевернется.
Прежде чем приступить к обсуждению ответа на вопрос задачи, остается разобраться еще с одной вещью. Рассмотрим охлаждение газа в перевернутой мензурке. По мере понижения температуры, расстояние между дном и поршнем $x_{up}$, согласно формуле (16), будет уменьшаться, т. е. центр масс системы будет подниматься. Определим значение критической температуры $T_{кр}^{*}$, при которой это положение "вверх дном" перестает быть устойчивым, т. е. центр масс достигает оси вращения О. Действуя аналогично (8) и используя (6) и (7), получаем
$a = \frac{- (p_{a}S - (m + m_{0} )g ) + \sqrt{ (p_{a}S - (m + m_{0} )g)^{2} + 4 \nu RT_{кр}^{*}k } }{2k} \Leftrightarrow T_{кр}^{*} = \frac{a}{ \nu R} (ka + p_{a}S - (m + m_{0} )g )$ (9)
Полученное выражение, в отличие от $T_{кр}$, имеет смысл уже не при всех значениях параметров задачи. Действительно, абсолютная температура $T_{кр}^{*}$ не может принимать отрицательные значения. Отсюда мы заключаем, что обратный переворот мензурки может иметь место только при выполнении неравенства
$T_{кр}^{*} > 0 \Leftrightarrow ka + p_{a}S - (m + m_{0} )g > 0$ (10)
В противном случае, сколько ни охлаждай газ в мензурке, состояние "вверх дном" все равно останется устойчивым, а мензурка обратно никогда не перевернется.
Обратим внимание так же, что выполняется соотношение: $T^{*} < T_{кр}$.
Теперь мы готовы к тому, чтобы обсудить поведение величины $x$ при медленном нагревании газа от $T_{min}$ до $T_{max}$ c последующим охлаждением обратно до $T_{min}$. В данном решении будет подробно обсуждаться только наиболее интересный с точки зрения физики случай: $T_{min} < T_{кр}^{*} < T_{кр} < T_{max}$ (тем самым условие (10) сейчас предполагается выполненным). Все остальные варианты развития событий, например, случай, когда $T_{max} < T_{кр}$, получаются из данного рассуждения очевидным образом.
Приступим. Если начать греть достаточно охлажденный газ ($T_{min} < T_{кр}$), находящийся в мензурке, ориентированной "дном вниз", то до температуры $T_{кр}$ расстояние между дном и поршнем будет меняться по закону $x_{down}(T)$, формула (3). По достижении температуры $T_{кр}$ текущее состояние системы перестает быть устойчивым, и в результате любого малейшего внешнего возмущения система переворачивается в состояние "дном вверх", при этом зависимость искомой величины от температуры будет уже даваться законом $x_{up}(T)$, формула (6). При дальнейшем нагревании газа поршень продолжит удаляться от дна мензурки, опускаясь вниз. Следовательно, центр масс системы также будет опускаться, и система будет становиться все более устойчивой. Естественно, переворот может произойти не точно при температуре $T_{кр}$, а при некоторой более высокой. Все зависит от реализации конкретного опыта. Но тем не менее несомненным является тот факт, что рано или поздно система все-таки перевернется, так как центр масс системы все сильнее будет возвышаться над осью вращения О.
Интересным в этой задаче является то, что если после переворота мензурки начать снижать температуру (делать "обратный ход"), как и предполагается в условии задачи, то события будут развиваться в этом случае несколько иначе, чем раньше (на "прямом ходу"). Действительно, после переворота мензурки центр масс системы опустится ниже оси О (даже если переворот произошел строго при температуре $T_{кр}$), то есть, как и утверждалось, система будет устойчива. При охлаждении газа поршень будет подниматься и достигнет оси вращения O при температуре $T_{кр}^{*}$ (меньшей чем $T_{кр}$). При дальнейшем охлаждении состояние "вверх дном" становится неустойчивым, то есть складывается уже знакомая нам ситуация: любое малое случайное внешнее возмущение опрокинет систему из состояния "вверх дном" в состояние "вниз дном". При дальнейшем охлаждении зависимость от температуры расстояния между дном и поршнем x вновь дается выражением $x_{down}(T)$ (3).
Такое свойство, когда поведение системы зависит от ее текущего состояния и предыстории, в физике называется "гистерезисом".
График зависимости от температуры расстояния между поршнем и дном мензурки (для рассмотренного выше наиболее интересного с точки зрения физики случая), представлен на Рис. Процессу нагреванию соответствует участок 1-2-3-5-6, процессу охлаждения отвечает участок 6-5-4-2-1. Результаты для случаев остальных соотношений между температурами $T_{min}, T_{кр}^{*}, T_{кр}, T_{max}$ представлены схематично на Рис. Ситуация, когда условие (10) не выполняется, изображена на Рис.
Длинная мензурка может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси O (см. рис.), расположенной на расстоянии $a$ от дна. В мензурке под поршнем П находится $\nu$ молей идеального газа и кольцо К массой $m_{0}$. Поршень соединен с дном эластичной резинкой жесткости $k$; в нерастянутом состоянии длина резинки пренебрежимо мала. Газ сначала медленно нагревают от температуры $T_{min}$ до $T_{max}$, а затем медленно охлаждают до $T_{min}$. Найдите расстояние между поршнем и дном в зависимости от температуры газа на протяжении всего процесса; постройте график. Массой мензурки и газа в ней пренебречь. Масса поршня $m$, площадь $S$; поршень двигается без трения. Атмосферное давление $p_{a}$, ускорение свободного падения $g$. Диапазон изменения температуры $T_{min} < T < T_{max}$ велик.
Решение:
Обозначим искомое расстояние между дном мензурки и поршнем через $x$.
Для идеального газа выполняется уравнение состояния Клапейрона-Менделеева, которое связывает макроскопические параметры газа. Для рассматриваемого системы это уравнение можно записать в виде
$pSx = \nu RT$. (1)
Рассмотрим теперь условия равновесия поршня. Все силы, действующие на поршень, обозначены на Рис. Для того, чтобы поршень покоился, равнодействующая всех сил должна быть равна нулю:
$p_{a} S + mg + kx - pS = 0$. (2)
Объединяя (1) и (2), получаем квадратное уравнение для нахождения расстояния $x$:
$(p_{a} S + mg + kx)x = \nu RT$.
Это уравнение имеет два корня, из которых необходимо выбрать положительный:
$x_{down} \equiv x_{+} (T) = \frac{-(p_{a}S + mg ) + \sqrt{(p_{a}S +mg )^{2} + 4 \nu RT k } }{2k}$ (3)
Обратите внимание, что при стремлении температуры газа $T$ к нулю величина $x_{down}$ также приближается к нулю при любом соотношении между параметрами задачи. Это будет важно для дальнейшего.
Следует отметить, однако, что полученное нами соотношение (13) между температурой и расстоянием от дна до поршня еще не сполна описывает искомую зависимость. Действительно, по мере нагревания газа и увеличения расстояния $x$, центр масс системы постепенно поднимается. Если поместить начало координат в точку O, то не составляет труда выразить вертикальную координату центра масс системы через величину $x$:
$y_{ц.м.}^{down} = \frac{m(x - a ) - m_{0}a}{m + m_{0} } = \frac{mx}{m + m_{0} } - a$.
После того как центр масс системы станет выше оси вращения O, то есть станет выполняться условие
$y_{ц.м.}^{down} \geq 0 \Leftrightarrow x \geq a \frac{m + m_{0} }{m}$, (4)
положение мензурки, изображенное на Рис. ("дном вниз"), перестанет быть устойчивым. Любое малое отклонение мензурки от вертикали приведет к тому, что она перевернется и займет положение, изображенное на Рис. ("дном вверх"), которое теперь будет устойчивым. При этом кольцо упадет на поршень и будет дополнительно на него давить. В результате такого переворота давление газа изменится скачком.
Определим, как зависит от температуры расстояние между дном мензурки и поршнем в перевернутом состоянии. Соотношение (1) по-прежнему выполняется, а вот взамен (2) необходимо написать:
$mg + m_{0}g + pS - p_{a}S - kx = 0$. (5)
Комбинируя (11) и (15), получаем уравнение для $x$:
$(p_{a}S - mg - m_{0}g + kx)x = \nu RT$.
Решая это уравнение и выбирая положительный корень, имеем
$x_{up} \equiv x_{+} = \frac{ - (p_{a}S - (m+ m_{0} )g ) + \sqrt{(p_{a}S - (m + m_{0} )g )^{2} + 2 \nu RTk} }{2k}$. (6)
В отличие от $x_{down}$ величина $x_{up}$ может и не обратиться в нуль при приближении температуры газа к нулю. Как видно из (6), если выполняется соотношение $p_{a}S < (m + m_{0})g$, то при $T \rightarrow 0$ расстояние между поршнем и дном мензурки стремится к $[(m + m_{0})g - p_{a}S]/k$.
В перевернутом состоянии кольцо падает на поршень, поэтому положение центра масс системы определяется выражением отличным от (4)
$y_{ц.м.}^{up} = \frac{-(m + m_{0} )(x - a)}{m + m_{0} } = a - x$.
Следовательно, для того чтобы уже состояние "вверх дном" в свою очередь было неустойчивым, необходимо, чтобы поршень располагался от дна на расстоянии, не превосходящем $a$:
$y_{ц.м.}^{up} \geq 0 \Leftrightarrow x \leq a$. (7)
Рассчитаем, до какой температуры необходимо нагреть газ в состоянии "дном вниз", чтобы центр масс достиг точки O. Используя (3) и (4), для этой критической температуры $T_{кр}$ имеем
$a \frac{m + m_{0} }{m} = \frac{- (p_{a}S + mg ) + \sqrt{ (p_{a}S + mg )^{2} + 2 \nu RT_{кр}k } }{2k} \Leftrightarrow T_{кр} = \frac{a(m + m_{0} )}{ \nu Rm} \cdot \left ( \frac{m + m_{0} }{m} ka + p_{a}S + mg \right )$. (8)
Заметим, что эта величина положительна при любом соотношении между параметрами, т. е. при нагревании мензурка рано или поздно обязательно перевернется.
Прежде чем приступить к обсуждению ответа на вопрос задачи, остается разобраться еще с одной вещью. Рассмотрим охлаждение газа в перевернутой мензурке. По мере понижения температуры, расстояние между дном и поршнем $x_{up}$, согласно формуле (16), будет уменьшаться, т. е. центр масс системы будет подниматься. Определим значение критической температуры $T_{кр}^{*}$, при которой это положение "вверх дном" перестает быть устойчивым, т. е. центр масс достигает оси вращения О. Действуя аналогично (8) и используя (6) и (7), получаем
$a = \frac{- (p_{a}S - (m + m_{0} )g ) + \sqrt{ (p_{a}S - (m + m_{0} )g)^{2} + 4 \nu RT_{кр}^{*}k } }{2k} \Leftrightarrow T_{кр}^{*} = \frac{a}{ \nu R} (ka + p_{a}S - (m + m_{0} )g )$ (9)
Полученное выражение, в отличие от $T_{кр}$, имеет смысл уже не при всех значениях параметров задачи. Действительно, абсолютная температура $T_{кр}^{*}$ не может принимать отрицательные значения. Отсюда мы заключаем, что обратный переворот мензурки может иметь место только при выполнении неравенства
$T_{кр}^{*} > 0 \Leftrightarrow ka + p_{a}S - (m + m_{0} )g > 0$ (10)
В противном случае, сколько ни охлаждай газ в мензурке, состояние "вверх дном" все равно останется устойчивым, а мензурка обратно никогда не перевернется.
Обратим внимание так же, что выполняется соотношение: $T^{*} < T_{кр}$.
Теперь мы готовы к тому, чтобы обсудить поведение величины $x$ при медленном нагревании газа от $T_{min}$ до $T_{max}$ c последующим охлаждением обратно до $T_{min}$. В данном решении будет подробно обсуждаться только наиболее интересный с точки зрения физики случай: $T_{min} < T_{кр}^{*} < T_{кр} < T_{max}$ (тем самым условие (10) сейчас предполагается выполненным). Все остальные варианты развития событий, например, случай, когда $T_{max} < T_{кр}$, получаются из данного рассуждения очевидным образом.
Приступим. Если начать греть достаточно охлажденный газ ($T_{min} < T_{кр}$), находящийся в мензурке, ориентированной "дном вниз", то до температуры $T_{кр}$ расстояние между дном и поршнем будет меняться по закону $x_{down}(T)$, формула (3). По достижении температуры $T_{кр}$ текущее состояние системы перестает быть устойчивым, и в результате любого малейшего внешнего возмущения система переворачивается в состояние "дном вверх", при этом зависимость искомой величины от температуры будет уже даваться законом $x_{up}(T)$, формула (6). При дальнейшем нагревании газа поршень продолжит удаляться от дна мензурки, опускаясь вниз. Следовательно, центр масс системы также будет опускаться, и система будет становиться все более устойчивой. Естественно, переворот может произойти не точно при температуре $T_{кр}$, а при некоторой более высокой. Все зависит от реализации конкретного опыта. Но тем не менее несомненным является тот факт, что рано или поздно система все-таки перевернется, так как центр масс системы все сильнее будет возвышаться над осью вращения О.
Интересным в этой задаче является то, что если после переворота мензурки начать снижать температуру (делать "обратный ход"), как и предполагается в условии задачи, то события будут развиваться в этом случае несколько иначе, чем раньше (на "прямом ходу"). Действительно, после переворота мензурки центр масс системы опустится ниже оси О (даже если переворот произошел строго при температуре $T_{кр}$), то есть, как и утверждалось, система будет устойчива. При охлаждении газа поршень будет подниматься и достигнет оси вращения O при температуре $T_{кр}^{*}$ (меньшей чем $T_{кр}$). При дальнейшем охлаждении состояние "вверх дном" становится неустойчивым, то есть складывается уже знакомая нам ситуация: любое малое случайное внешнее возмущение опрокинет систему из состояния "вверх дном" в состояние "вниз дном". При дальнейшем охлаждении зависимость от температуры расстояния между дном и поршнем x вновь дается выражением $x_{down}(T)$ (3).
Такое свойство, когда поведение системы зависит от ее текущего состояния и предыстории, в физике называется "гистерезисом".
График зависимости от температуры расстояния между поршнем и дном мензурки (для рассмотренного выше наиболее интересного с точки зрения физики случая), представлен на Рис. Процессу нагреванию соответствует участок 1-2-3-5-6, процессу охлаждения отвечает участок 6-5-4-2-1. Результаты для случаев остальных соотношений между температурами $T_{min}, T_{кр}^{*}, T_{кр}, T_{max}$ представлены схематично на Рис. Ситуация, когда условие (10) не выполняется, изображена на Рис.
