2016-09-17
Т-образный маятник состоит из трёх одинаковых жёстко скреплённых невесомых стержней длиной $L$, два из которых являются продолжением друг друга, а третий перпендикулярен им (см. рисунок). К свободным концам стержней, находящихся в одной вертикальной плоскости, прикреплены точечные грузы массой $m$. Маятник может без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку скрепления стержней и перпендикулярной им. Маятник отклонили от положения равновесия на угол $\alpha < 90^{ \circ}$ и отпустили без начальной скорости. Найдите величину и направление силы, с которой стержень действует на груз ? 3 сразу после отпускания маятника.
Решение:
Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ после отпускания маятник повернулся на малый угол $\Delta \alpha$. При этом его потенциальная энергия уменьшилась, поскольку суммарная потенциальная энергия грузов ? 1 и ? 2 не изменилась, а груз ? 3 опустился на высоту $\Delta h = L \cos ( \alpha - \Delta \alpha) - L \cos \alpha = L \cos \alpha \cos \Delta \alpha + L \sin \alpha \sin \Delta \alpha - L \cos \alpha$. Так как угол $\Delta \alpha$ мал, то $\cos \Delta \alpha \approx 1, \sin \Delta \alpha \approx \alpha$, и $\Delta h \approx L \Delta \alpha \sin \alpha$. Следовательно, изменение потенциальной энергии маятника за рассматриваемый промежуток времени равно $\Delta U = — mg \Delta h = — mgL \Delta \alpha \sin \alpha$.
Ввиду жёсткости маятника во время движения величины смещений, скоростей и ускорений всех трёх грузов одинаковы. За время $\Delta t$ первоначально покоившиеся грузы, двигаясь с одинаковыми ускорениями $a$, приобретают одинаковые по величине скорости $v = a \Delta t$ и смещаются на малые расстояния
$\Delta x = L \Delta \alpha = \frac{a ( \Delta t)^{2}}{2} = \frac{v \Delta t}{2}$,
откуда $\Delta \alpha = \frac{v \Delta t}{2L}$. При этом маятник приобретает кинетическую энергию, равную $\Delta W = 3 \cdot \frac{mv^{2}}{2}$.
По закону сохранения механической энергии
$\Delta W + \Delta U = \frac{3mv^{2}}{2} - mgL \Delta \alpha \sin \alpha = 0$.
Подставляя в это уравнение выражение для $\Delta \alpha$, получаем:
$mgL \cdot \frac{v \Delta t}{2L} \cdot \sin \alpha = \frac{3mv^{2}}{2}$,
откудаа $a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{v}{ \Delta t} = \frac{g \sin \alpha}{3}$.
Таким образом, сразу после отпускания маятника на груз ? 3 действует сила $F = ma = \frac{mg \sin \alpha}{3}$, направленная перпендикулярно третьему стержню, по касательной к траектории движения груза (см. рис.). Эта сила равна сумме силы тяжести $m \vec{g}$ и искомой силы реакции со стороны стержня $\vec{N}$. Из треугольника сил по теореме косинусов получаем:
$N = \sqrt{F^{2} + (mg)^{2} - 2Fmg \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right )} = mg \sqrt{ \left ( \frac{ \sin \alpha}{3} \right )^{2} + 1 - 2 \cdot \frac{ \sin \alpha}{3} \cdot \sin \alpha } = mg \sqrt{ 1 - \frac{5}{9} \sin^{2} \alpha}$.
Из рисунка видно, что сила $\vec{N}$ направлена под таким углом $\phi$ к стержню, что
$N \sin \phi = mg \sin \alpha - F = \frac{2}{3} mg \sin \alpha$.
Отсюда
$\phi = arcsin \left ( \frac{2 \sin \alpha}{ \sqrt{9 - 5 \sin^{2} \alpha}} \right )$.