Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10169
2019-02-12 
Яркие прожектора освещают снежный покров так, что на каждый квадратный метр поверхности ежесекундно попадает световая энергия $E = 1,5 кДж$. Снег содержит одинаковые частицы грязи, равномерно распределенные по объему с концентрацией $n = 10^{7} частиц/м^{3}$. Доля $\alpha$ энергии, поглощаемой снегом и переходящей в тепло, зависит от количества грязи на его поверхности; остальная энергия света отражается. На рисунке приведена зависимость величины $\alpha$ от числа $\sigma$ частиц грязи на единице поверхности. Используя график, определите, за какое время растает слой снега толщиной 25 см. Считайте, что снег тает равномерно, образовавшаяся вода сразу стекает, а частицы грязи из растаявшей массы остаются на поверхности. Плотность снега $\rho = 500 кг/м^{3}$, удельная теплота плавления снега $\lambda = 3 \cdot 10^{5} Дж/кг$, температура снега $0^{ \circ} C$, величина $\alpha$ вначале была равна 0,25.
Решение:
При попадании света на непрозрачный предмет, часть света отражается, а часть поглощается. Коэффициент поглощения показывает, какая доля переносимой светом энергии поглощается.
Рассмотрим таяние грязного снега. Снег тает равномерно, и скорость таяния не зависит от площади, занимаемой снегом, поэтому будем следить для удобства за площадкой площадью $S = 1 м^{2}$. Пусть слой толщиной $x$ уже растаял. Определим, за какое время $\Delta t$ растает после этого очень тонкий слой $\Delta x$.
Объем нашего тонкого слоя равен $\Delta V = S \Delta x$. Следовательно, его масса составляет $\Delta m = \rho \Delta V = \rho S \Delta x$. Снег находится при температуре $0^{ \circ} C$, поэтому для того, что растопить тонкий слой, необходимо затратить энергию $\Delta Q = \lambda \Delta m = \lambda \rho S \Delta x$.
Так как, по условию, вся грязь из растаявшего снега равномерно распределяется по поверхности, а концентрация частиц грязи составляет $n = 10^{7} м^{-3}$, заключаем, что после того, как растаял слой толщиной $x$, на единицу поверхности приходится $\sigma_{x} = nx$ частиц. Поскольку слой тонкий, можно считать, что коэффициент поглощения не изменяется по мере таяния этого слоя и равен $\alpha = \alpha( \sigma_{x} )$. Следовательно, за время $\Delta t$ площадка площадью $S$ поглотит энергию $\Delta E = \alpha ( \sigma_{x})PS \Delta t$.
Составим уравнение теплового баланса: все поглощенное снегом тепло идет на плавление,
$\Delta E = \Delta Q \Leftrightarrow \alpha ( \sigma_{x}) PS \Delta t = \lambda \rho S \Delta x \Leftrightarrow \Delta t = \frac{ \lambda \rho}{P} \frac{ \Delta x}{ \alpha( \sigma_{x} ) }$ (1)
Мы получили выражение для времени таяния тонкого слоя снега толщиной $\Delta x$. Весь снег толщиной 25 см можно рассматривать как набор большого количества таких тонких слоев. Поэтому, чтобы найти полное время таяния, разбиваем весь слой толщиной 25 см на тонкие слои одинаковой толщины $\Delta x$, которые пронумеруем значком $i$. При этом $\Delta t_{i}$ - время таяния $i$-того слоя, оно определяется формулой (1). Просуммируем времена, что можно обозначить вот таким символом $\sum_{i}$, при этом получим
$T = \sum_{i} \Delta t_{i} = \sum_{i} \frac{ \lambda \rho}{P} \frac{ \Delta x}{ \alpha( \sigma_{x} ) } = \frac{ \lambda \rho}{P} \sum_{i} \frac{ \Delta x}{ \alpha ( \sigma_{x} ) }$ (2)
Заметим, что толщину тонкого слоя $\Delta x$ удобно выразить через $\Delta \sigma$ - количество частиц грязи в нем, приходящееся на $1 м^{2}$.
$\Delta \sigma = n \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{ \Delta \sigma }{n}$.
Подставляя последнее выражение в формулу (8), получаем
$T = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \sum_{i} \frac{ \Delta \sigma_{i} }{ \alpha( \sigma ) }$ (3)
Сумма в формуле (3) представляет собой ни что иное, как площадь под графиком функции $1/ \alpha ( \sigma )$. При этом площадь, естественно, необходимо считать в пределах от $\sigma_{min} = 0$ до $\sigma_{max} = n \cdot (0,25 м)$. Таким образом, для ответа на вопрос задачи остается найти указанную площадь. Оценить ее численно можно различными способами. Например, можно нарисовать функцию $1/ \alpha ( \sigma)$ "по точкам" и посчитать площадь "по клеточкам". Здесь мы рассчитаем приближенное значение площади другим образом. Интервал $[ \sigma_{min}, \sigma_{max}]$ разобьем на 5 равных отрезков величиной $\Delta \sigma = 0,5 \cdot 10^{6} м^{-2}$, на каждом из них заменим функцию $1/ \alpha ( \sigma)$ на ее значение в середине соответствующего отрезка и воспользуемся представлением в виде суммы. Используя график, см. Рис., для коэффициента поглощения на интересующем нас интервале значений $\sigma$ имеем: $\alpha( \sigma) = 0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot \sigma$. Таким образом, в нашем приближении
$T_{(5)} = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \sum_{i=1}^{5} \frac{ \Delta \sigma}{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2} ) \cdot (2i - 1) \Delta \sigma /2 } \approx (0,546 м) \frac{ \lambda p}{P} = 54600 с \approx 15,17 ч$.
Оказывается, что данный ответ лишь на полпроцента отличается от истинного, когда площадь под графиком посчитана точно:
$T_{(точн.)} = \frac{ \lambda \rho }{P} \frac{ln 3}{2} \cdot 1 м \approx (0,549 м) \cdot \frac{ \lambda \rho }{P} = 54900 с \approx 15,25 ч$. (4)
Можно разбивать интервал $[ \sigma_{min} , \sigma_{max}]$ и на меньшее количество отрезков, не теряя особо в точности ответа, при этом отрезки могут быть разными по величине. Например, если использовать 3 отрезка величиной $\Delta \sigma_{1} = 0,5 \cdot 10^{6} м^{-2}, \Delta \sigma_{2} = 0,8 \cdot 10^{6} м^{-2}$ и $\Delta \sigma_{1} = 1,2 \cdot 10^{6} м^{-2}$ (логичнее брать более короткие отрезки там, где функция изменяется быстрее, это повышает точность), то ответ получится
$T_{(3)} = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \left ( \frac{ \Delta \sigma_{1} }{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 0,25 \cdot 10^{6} м^{2}} + \frac{ \Delta \sigma_{2} }{ 0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 0,9 \cdot 10^{6} м^{2}} + \frac{ \Delta \sigma_{3} }{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 1,9 \cdot 10^{6} м^{2}} \right ) \approx (0,543м) \cdot \frac{ \lambda \rho}{P} = 54300 с \approx 15,08 ч$.
Видно, что погрешность оценки результата возросла, но она по-прежнему на уровне одного процента.
А вот использовать при вычислении площади под графиком только один отрезок, было бы не совсем правильно:
$T_{(1)} = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \frac{2,5 \cdot 10^{6} м^{2}}{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 1,25 \cdot 10^{6} м^{2}} = (0,5 м) \cdot \frac{ \lambda \rho}{P} = 50000 с \approx 13,89 ч$.
Данное вычисление не является аккуратным, результат почти на 9% отличается от точного. Два одинаковых отрезка дали бы $T_{(2)} \approx 53300 с \approx 14,81 ч$ и 3% точности.
Ответ: Время таяния слоя снега приблизительно равно 15,3 ч.
Яркие прожектора освещают снежный покров так, что на каждый квадратный метр поверхности ежесекундно попадает световая энергия $E = 1,5 кДж$. Снег содержит одинаковые частицы грязи, равномерно распределенные по объему с концентрацией $n = 10^{7} частиц/м^{3}$. Доля $\alpha$ энергии, поглощаемой снегом и переходящей в тепло, зависит от количества грязи на его поверхности; остальная энергия света отражается. На рисунке приведена зависимость величины $\alpha$ от числа $\sigma$ частиц грязи на единице поверхности. Используя график, определите, за какое время растает слой снега толщиной 25 см. Считайте, что снег тает равномерно, образовавшаяся вода сразу стекает, а частицы грязи из растаявшей массы остаются на поверхности. Плотность снега $\rho = 500 кг/м^{3}$, удельная теплота плавления снега $\lambda = 3 \cdot 10^{5} Дж/кг$, температура снега $0^{ \circ} C$, величина $\alpha$ вначале была равна 0,25.
Решение:
При попадании света на непрозрачный предмет, часть света отражается, а часть поглощается. Коэффициент поглощения показывает, какая доля переносимой светом энергии поглощается.
Рассмотрим таяние грязного снега. Снег тает равномерно, и скорость таяния не зависит от площади, занимаемой снегом, поэтому будем следить для удобства за площадкой площадью $S = 1 м^{2}$. Пусть слой толщиной $x$ уже растаял. Определим, за какое время $\Delta t$ растает после этого очень тонкий слой $\Delta x$.
Объем нашего тонкого слоя равен $\Delta V = S \Delta x$. Следовательно, его масса составляет $\Delta m = \rho \Delta V = \rho S \Delta x$. Снег находится при температуре $0^{ \circ} C$, поэтому для того, что растопить тонкий слой, необходимо затратить энергию $\Delta Q = \lambda \Delta m = \lambda \rho S \Delta x$.
Так как, по условию, вся грязь из растаявшего снега равномерно распределяется по поверхности, а концентрация частиц грязи составляет $n = 10^{7} м^{-3}$, заключаем, что после того, как растаял слой толщиной $x$, на единицу поверхности приходится $\sigma_{x} = nx$ частиц. Поскольку слой тонкий, можно считать, что коэффициент поглощения не изменяется по мере таяния этого слоя и равен $\alpha = \alpha( \sigma_{x} )$. Следовательно, за время $\Delta t$ площадка площадью $S$ поглотит энергию $\Delta E = \alpha ( \sigma_{x})PS \Delta t$.
Составим уравнение теплового баланса: все поглощенное снегом тепло идет на плавление,
$\Delta E = \Delta Q \Leftrightarrow \alpha ( \sigma_{x}) PS \Delta t = \lambda \rho S \Delta x \Leftrightarrow \Delta t = \frac{ \lambda \rho}{P} \frac{ \Delta x}{ \alpha( \sigma_{x} ) }$ (1)
Мы получили выражение для времени таяния тонкого слоя снега толщиной $\Delta x$. Весь снег толщиной 25 см можно рассматривать как набор большого количества таких тонких слоев. Поэтому, чтобы найти полное время таяния, разбиваем весь слой толщиной 25 см на тонкие слои одинаковой толщины $\Delta x$, которые пронумеруем значком $i$. При этом $\Delta t_{i}$ - время таяния $i$-того слоя, оно определяется формулой (1). Просуммируем времена, что можно обозначить вот таким символом $\sum_{i}$, при этом получим
$T = \sum_{i} \Delta t_{i} = \sum_{i} \frac{ \lambda \rho}{P} \frac{ \Delta x}{ \alpha( \sigma_{x} ) } = \frac{ \lambda \rho}{P} \sum_{i} \frac{ \Delta x}{ \alpha ( \sigma_{x} ) }$ (2)
Заметим, что толщину тонкого слоя $\Delta x$ удобно выразить через $\Delta \sigma$ - количество частиц грязи в нем, приходящееся на $1 м^{2}$.
$\Delta \sigma = n \Delta x \Leftrightarrow \Delta x = \frac{ \Delta \sigma }{n}$.
Подставляя последнее выражение в формулу (8), получаем
$T = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \sum_{i} \frac{ \Delta \sigma_{i} }{ \alpha( \sigma ) }$ (3)
Сумма в формуле (3) представляет собой ни что иное, как площадь под графиком функции $1/ \alpha ( \sigma )$. При этом площадь, естественно, необходимо считать в пределах от $\sigma_{min} = 0$ до $\sigma_{max} = n \cdot (0,25 м)$. Таким образом, для ответа на вопрос задачи остается найти указанную площадь. Оценить ее численно можно различными способами. Например, можно нарисовать функцию $1/ \alpha ( \sigma)$ "по точкам" и посчитать площадь "по клеточкам". Здесь мы рассчитаем приближенное значение площади другим образом. Интервал $[ \sigma_{min}, \sigma_{max}]$ разобьем на 5 равных отрезков величиной $\Delta \sigma = 0,5 \cdot 10^{6} м^{-2}$, на каждом из них заменим функцию $1/ \alpha ( \sigma)$ на ее значение в середине соответствующего отрезка и воспользуемся представлением в виде суммы. Используя график, см. Рис., для коэффициента поглощения на интересующем нас интервале значений $\sigma$ имеем: $\alpha( \sigma) = 0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot \sigma$. Таким образом, в нашем приближении
$T_{(5)} = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \sum_{i=1}^{5} \frac{ \Delta \sigma}{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2} ) \cdot (2i - 1) \Delta \sigma /2 } \approx (0,546 м) \frac{ \lambda p}{P} = 54600 с \approx 15,17 ч$.
Оказывается, что данный ответ лишь на полпроцента отличается от истинного, когда площадь под графиком посчитана точно:
$T_{(точн.)} = \frac{ \lambda \rho }{P} \frac{ln 3}{2} \cdot 1 м \approx (0,549 м) \cdot \frac{ \lambda \rho }{P} = 54900 с \approx 15,25 ч$. (4)
Можно разбивать интервал $[ \sigma_{min} , \sigma_{max}]$ и на меньшее количество отрезков, не теряя особо в точности ответа, при этом отрезки могут быть разными по величине. Например, если использовать 3 отрезка величиной $\Delta \sigma_{1} = 0,5 \cdot 10^{6} м^{-2}, \Delta \sigma_{2} = 0,8 \cdot 10^{6} м^{-2}$ и $\Delta \sigma_{1} = 1,2 \cdot 10^{6} м^{-2}$ (логичнее брать более короткие отрезки там, где функция изменяется быстрее, это повышает точность), то ответ получится
$T_{(3)} = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \left ( \frac{ \Delta \sigma_{1} }{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 0,25 \cdot 10^{6} м^{2}} + \frac{ \Delta \sigma_{2} }{ 0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 0,9 \cdot 10^{6} м^{2}} + \frac{ \Delta \sigma_{3} }{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 1,9 \cdot 10^{6} м^{2}} \right ) \approx (0,543м) \cdot \frac{ \lambda \rho}{P} = 54300 с \approx 15,08 ч$.
Видно, что погрешность оценки результата возросла, но она по-прежнему на уровне одного процента.
А вот использовать при вычислении площади под графиком только один отрезок, было бы не совсем правильно:
$T_{(1)} = \frac{ \lambda \rho}{Pn} \frac{2,5 \cdot 10^{6} м^{2}}{0,25 + (2 \cdot 10^{-7} м^{2}) \cdot 1,25 \cdot 10^{6} м^{2}} = (0,5 м) \cdot \frac{ \lambda \rho}{P} = 50000 с \approx 13,89 ч$.
Данное вычисление не является аккуратным, результат почти на 9% отличается от точного. Два одинаковых отрезка дали бы $T_{(2)} \approx 53300 с \approx 14,81 ч$ и 3% точности.
Ответ: Время таяния слоя снега приблизительно равно 15,3 ч.
