Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10167
2019-02-12 
Два одинаковых колеса, соединенные невесомой осью, лежат на шероховатой поверхности (см. рисунок, вид сбоку). Масса каждого из колес равномерно распределена по его ободу. Через ось перекинута невесомая нерастяжимая лента, один конец которой закреплен, а к другому через блок подвешен массивный груз. Изначально груз удерживают. Когда его отпускают, колеса начинают катиться. При каких коэффициентах трения $\mu$ между поверхностью и колесами они будут катиться без проскальзывания при любом соотношении масс колеса и груза? Трение между лентой и осью отсутствует.
Решение:
Пусть $T$ - сила натяжения ленты, $F$ - сила трения между цилиндром и поверхностью, $a$ - поступательное ускорение цилиндра, $M$ - масса одного колеса, $m$ - масса груза, отношение масс обозначим за $\alpha = M/m$. Заметим, что ускорение груза равняется $2a$, поскольку за любой промежуток времени удлинение вертикального куска ленты равняется удвоенному сокращению одного из горизонтальных кусков (полная длина ленты остается неизменной). Запишем второй закон Ньютона для обоих тел - колесной пары и груза:
$2Ma = 2T - F, 2ma = mg - T$.
Здесь учтено, что масса колесной пары равняется $2M$.
Далее рассмотрим вращательное движение колес. Предположим, что они не проскальзывают. При качении без проскальзывания скорость нижней точки колеса равна нулю. Перейдем в систему отсчета, в которой ось колесной пары неподвижна. В этой системе отсчета скорость нижней точки равна по величине скорости поступательного движения оси в системе отсчета "земля". Поскольку в выбранной системе отсчета колеса движутся только вращательно, то скорости всех точек на их ободе имеют ту же величину. Следовательно равны между собой ускорение поступательного движения оси в системе отсчета "земля" $(a)$ и ускорение вращательного движения точек на ободе в системе отсчета "ось". Найдем связь этого ускорения с величиной сил, действующих на колесную пару. Поскольку трение ленты об ось отсутствует, силы натяжения ленты не влияют на вращательное движение колес. Единственная сила, влияющая на вращение - это сила трения. Мысленно развернем обод колес на плоскость (см. рис.). Поскольку ускорение всех точек на ободе равно $a$, полученная система представляет из себя две однородные полосы суммарной массы $2M$, движущиеся горизонтально с ускорением $a$ под действием силы трения $F$. Из этого следует простое соотношение:
$F = 2Ma$.
С помощью этого соотношения и уравнений из закона Ньютона, находим ускорение колесной пары:
$a = \frac{m}{2(M+ m)} g = \frac{g}{2} \frac{1}{1 + \alpha}$.
Теперь определим, когда начнется проскальзывание. Оно начинается, когда сила трения достигает своего максимального значения $F_{max} = \mu N$. Сила реакции опоры в нашем случае просто равняется $2Mg$. Пользуясь найденными выражениями для $a$ и $F$, получим:
$\frac{F}{N} = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + \alpha}$.
Заметим, что дробь $1/(1 + \alpha)$ не превышает 1 ни при каком $\alpha$. Следовательно, $F/N$ не превышает 1/2. Таким образом, если $\mu > 1/2$ проскальзывания не будет ни при каком $\alpha$.
Ответ: Проскальзывания не будет при любом соотношении масс колеса и груза, если коэффициент трения $\mu > 1/2$.
Два одинаковых колеса, соединенные невесомой осью, лежат на шероховатой поверхности (см. рисунок, вид сбоку). Масса каждого из колес равномерно распределена по его ободу. Через ось перекинута невесомая нерастяжимая лента, один конец которой закреплен, а к другому через блок подвешен массивный груз. Изначально груз удерживают. Когда его отпускают, колеса начинают катиться. При каких коэффициентах трения $\mu$ между поверхностью и колесами они будут катиться без проскальзывания при любом соотношении масс колеса и груза? Трение между лентой и осью отсутствует.
Решение:
Пусть $T$ - сила натяжения ленты, $F$ - сила трения между цилиндром и поверхностью, $a$ - поступательное ускорение цилиндра, $M$ - масса одного колеса, $m$ - масса груза, отношение масс обозначим за $\alpha = M/m$. Заметим, что ускорение груза равняется $2a$, поскольку за любой промежуток времени удлинение вертикального куска ленты равняется удвоенному сокращению одного из горизонтальных кусков (полная длина ленты остается неизменной). Запишем второй закон Ньютона для обоих тел - колесной пары и груза:
$2Ma = 2T - F, 2ma = mg - T$.
Здесь учтено, что масса колесной пары равняется $2M$.
Далее рассмотрим вращательное движение колес. Предположим, что они не проскальзывают. При качении без проскальзывания скорость нижней точки колеса равна нулю. Перейдем в систему отсчета, в которой ось колесной пары неподвижна. В этой системе отсчета скорость нижней точки равна по величине скорости поступательного движения оси в системе отсчета "земля". Поскольку в выбранной системе отсчета колеса движутся только вращательно, то скорости всех точек на их ободе имеют ту же величину. Следовательно равны между собой ускорение поступательного движения оси в системе отсчета "земля" $(a)$ и ускорение вращательного движения точек на ободе в системе отсчета "ось". Найдем связь этого ускорения с величиной сил, действующих на колесную пару. Поскольку трение ленты об ось отсутствует, силы натяжения ленты не влияют на вращательное движение колес. Единственная сила, влияющая на вращение - это сила трения. Мысленно развернем обод колес на плоскость (см. рис.). Поскольку ускорение всех точек на ободе равно $a$, полученная система представляет из себя две однородные полосы суммарной массы $2M$, движущиеся горизонтально с ускорением $a$ под действием силы трения $F$. Из этого следует простое соотношение:
$F = 2Ma$.
С помощью этого соотношения и уравнений из закона Ньютона, находим ускорение колесной пары:
$a = \frac{m}{2(M+ m)} g = \frac{g}{2} \frac{1}{1 + \alpha}$.
Теперь определим, когда начнется проскальзывание. Оно начинается, когда сила трения достигает своего максимального значения $F_{max} = \mu N$. Сила реакции опоры в нашем случае просто равняется $2Mg$. Пользуясь найденными выражениями для $a$ и $F$, получим:
$\frac{F}{N} = \frac{1}{2} \frac{1}{1 + \alpha}$.
Заметим, что дробь $1/(1 + \alpha)$ не превышает 1 ни при каком $\alpha$. Следовательно, $F/N$ не превышает 1/2. Таким образом, если $\mu > 1/2$ проскальзывания не будет ни при каком $\alpha$.
Ответ: Проскальзывания не будет при любом соотношении масс колеса и груза, если коэффициент трения $\mu > 1/2$.
