Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10166
2019-02-12 
Сверхточные весы находятся под вакуумным куполом. Вася поставил на них большой ртутный градусник и начал его разогревать (см. рис.). Оказалось, что как только столбик ртути пополз вверх показания весов изменились. Найдите, насколько они изменились, при том что ртуть поглощает 500 Дж тепла в секунду. Удельная теплоемкость ртути $139,6 Дж/кг \cdot^{ \circ} C$, плотность при комнатной температуре $13545,9 кг/м^{3}$. Площадь поперечного сечения столбика ртути $1 мм^{2}$. Известно, что объем ртути $V$, изменение ее объема $\Delta V$ при изменении температуры $\Delta T$ связаны соотношением: $\Delta V = \beta V \Delta T$, где $\beta = 1,8 \cdot 10^{-4} C^{-1}$ - коэффициент температурного расширения. Изменение объема ртути в градуснике много меньше ее суммарного объема. Изначально градусник имеет комнатную температуру, ртуть разогревается равномерно, теплопотерями пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 9,8 кг/с^{2}$.
Решение:
Показания весов меняются с началом движения столбика ртути, потому что меняется импульс ртутного столбика - все большая масса начинает двигаться вверх. Чтобы это понять для начала введем обозначения: удельная теплоемкость ртути C, ее плотность $\rho$, масса всей ртути в градуснике $m$, а общий объем $V$. Площадь поперечного сечения столбика ртути $s$, а скорость с которой он ползет вверх $v$. Понятно, что если ртуть поглощает 500 Дж в секунду, то поглощаемая ею мощность $N$ равна 500 Вт.
В условии задачи дана формула для изменения объема:
$\Delta V = \beta V \Delta T$. (1)
Так же в условии сказано, что изменение объема ртути $\Delta V$ много меньше ее общего объема, значит мы можем считать что что объем ртути $V$ в формуле (1) - всегда ее начальный объем. Таким образом, плотность ртути тоже почти не меняется во время Васиного эксперимента, так как масса ртути в градуснике постоянна. То есть везде в формулах $\rho$ - плотность при комнатной температуре.
С учетом равенства $m = \rho V$, уравнение теплового баланса для ртути за время $\Delta t$ будет выглядеть так:
$C \rho V \Delta T = N \Delta t$,
где $\Delta T$ - изменение температуры за этот промежуток времени. Выразим $\Delta T$:
$\Delta T = \frac{N}{C \rho V} \Delta t$,
Теперь подставим полученное $\Delta T$ в формулу для расширения ртути (1):
$\Delta V = \frac{ \beta VN}{C \rho V} \Delta t$,
откуда сократив множитель $V$ и перекинув $\Delta t$ в левую часть получаем уравнение для скорости изменения объема ртути:
$\frac{ \Delta V}{ \Delta t} = \frac{ \beta N }{C \rho}$. (2)
Изменение объема ртути приводит к тому, что столбик градусника ползет вверх, то есть изменение объема $\Delta V = \Delta h s$, где $\Delta h$ - изменение высоты столбика. Значит скорость с которой двигается столбик будет равна:
$v = \frac{ \Delta h}{ \Delta t} = \frac{1}{s} \frac{ \Delta V}{ \Delta t}$. (3)
Заметим, что так как скорость изменения объема в (2) не зависит от времени, то скорость подъема ртути в (3) тоже постоянна.
Понятно, что при выключении нагрева сила тяжести не меняется, но меняется импульс ($p$) движущейся в столбике ртути. То есть кроме силы тяжести на весы начинает действовать дополнительная сила ($F$), найти которую мы можем по втором закону Ньютона в импульсной форме:
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t}$.
Так как скорость подъема ртути в столбике постоянная, изменение импульса можно выразить так $\Delta p = \Delta m v = \rho \Delta V v$. Тогда выражение для силы запишется так:
$F = \rho v \frac{ \Delta V}{ \Delta t}$
Подставим сюда выражения для скорости изменения объема из (2) и $v$ из (3):
$F = \frac{ \rho \beta^{2} N^{2} }{sC^{2} \rho^{2} } = \frac{ \beta^{2} N^{2} }{sC^{2} \rho }$.
Теперь, подставляя числа, получаем дополнительную силу равную:
$F \approx 3 \cdot 10^{-5} H$.
Чтобы перевести эту дополнительную силу в прибавку к массе, которую показали весы, нужно разделить силу на ускорение свободного падения:
$\Delta m = \frac{F}{g} \approx 3,1 \cdot 10^{-6} кг$.
Ответ: Показания весов увеличатся на $3,1 \cdot 10^{-6} кг$.
Сверхточные весы находятся под вакуумным куполом. Вася поставил на них большой ртутный градусник и начал его разогревать (см. рис.). Оказалось, что как только столбик ртути пополз вверх показания весов изменились. Найдите, насколько они изменились, при том что ртуть поглощает 500 Дж тепла в секунду. Удельная теплоемкость ртути $139,6 Дж/кг \cdot^{ \circ} C$, плотность при комнатной температуре $13545,9 кг/м^{3}$. Площадь поперечного сечения столбика ртути $1 мм^{2}$. Известно, что объем ртути $V$, изменение ее объема $\Delta V$ при изменении температуры $\Delta T$ связаны соотношением: $\Delta V = \beta V \Delta T$, где $\beta = 1,8 \cdot 10^{-4} C^{-1}$ - коэффициент температурного расширения. Изменение объема ртути в градуснике много меньше ее суммарного объема. Изначально градусник имеет комнатную температуру, ртуть разогревается равномерно, теплопотерями пренебречь. Ускорение свободного падения $g = 9,8 кг/с^{2}$.
Решение:
Показания весов меняются с началом движения столбика ртути, потому что меняется импульс ртутного столбика - все большая масса начинает двигаться вверх. Чтобы это понять для начала введем обозначения: удельная теплоемкость ртути C, ее плотность $\rho$, масса всей ртути в градуснике $m$, а общий объем $V$. Площадь поперечного сечения столбика ртути $s$, а скорость с которой он ползет вверх $v$. Понятно, что если ртуть поглощает 500 Дж в секунду, то поглощаемая ею мощность $N$ равна 500 Вт.
В условии задачи дана формула для изменения объема:
$\Delta V = \beta V \Delta T$. (1)
Так же в условии сказано, что изменение объема ртути $\Delta V$ много меньше ее общего объема, значит мы можем считать что что объем ртути $V$ в формуле (1) - всегда ее начальный объем. Таким образом, плотность ртути тоже почти не меняется во время Васиного эксперимента, так как масса ртути в градуснике постоянна. То есть везде в формулах $\rho$ - плотность при комнатной температуре.
С учетом равенства $m = \rho V$, уравнение теплового баланса для ртути за время $\Delta t$ будет выглядеть так:
$C \rho V \Delta T = N \Delta t$,
где $\Delta T$ - изменение температуры за этот промежуток времени. Выразим $\Delta T$:
$\Delta T = \frac{N}{C \rho V} \Delta t$,
Теперь подставим полученное $\Delta T$ в формулу для расширения ртути (1):
$\Delta V = \frac{ \beta VN}{C \rho V} \Delta t$,
откуда сократив множитель $V$ и перекинув $\Delta t$ в левую часть получаем уравнение для скорости изменения объема ртути:
$\frac{ \Delta V}{ \Delta t} = \frac{ \beta N }{C \rho}$. (2)
Изменение объема ртути приводит к тому, что столбик градусника ползет вверх, то есть изменение объема $\Delta V = \Delta h s$, где $\Delta h$ - изменение высоты столбика. Значит скорость с которой двигается столбик будет равна:
$v = \frac{ \Delta h}{ \Delta t} = \frac{1}{s} \frac{ \Delta V}{ \Delta t}$. (3)
Заметим, что так как скорость изменения объема в (2) не зависит от времени, то скорость подъема ртути в (3) тоже постоянна.
Понятно, что при выключении нагрева сила тяжести не меняется, но меняется импульс ($p$) движущейся в столбике ртути. То есть кроме силы тяжести на весы начинает действовать дополнительная сила ($F$), найти которую мы можем по втором закону Ньютона в импульсной форме:
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t}$.
Так как скорость подъема ртути в столбике постоянная, изменение импульса можно выразить так $\Delta p = \Delta m v = \rho \Delta V v$. Тогда выражение для силы запишется так:
$F = \rho v \frac{ \Delta V}{ \Delta t}$
Подставим сюда выражения для скорости изменения объема из (2) и $v$ из (3):
$F = \frac{ \rho \beta^{2} N^{2} }{sC^{2} \rho^{2} } = \frac{ \beta^{2} N^{2} }{sC^{2} \rho }$.
Теперь, подставляя числа, получаем дополнительную силу равную:
$F \approx 3 \cdot 10^{-5} H$.
Чтобы перевести эту дополнительную силу в прибавку к массе, которую показали весы, нужно разделить силу на ускорение свободного падения:
$\Delta m = \frac{F}{g} \approx 3,1 \cdot 10^{-6} кг$.
Ответ: Показания весов увеличатся на $3,1 \cdot 10^{-6} кг$.
