Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10163
2019-02-12 
Где-то в Альпах Джеймс Бонд поднимался на кресельном подъемнике, который двигается параллельно склону с постоянной скоростью $u$. Из кармана Бонда выпала папка с секретными документами. В результате удара о склон она мгновенно остановилась, после чего начала скатываться без трения. В этот момент Агент 007 заметил пропажу и спрыгнул с кресла так, что схватил папку ровно при приземлении. При этом начальная скорость Бонда относительно кресла была направлена горизонтально влево и равна $3u$. Найдите время полета Бонда и высоту от склона до кресел подъемника $h$. Угол наклона горы $\alpha = 60^{ \circ}$, ускорение свободного падения $g$, сопротивлением воздуха, размерами папки и Бонда пренебречь.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, двигающуюся со скоростью $\vec{u}$, в которой подъемник неподвижен. В этой системе отсчета папка, выпав из кармана Бонда, просто падает вниз вертикально. Так как по условию в результате удара о склон папка остановилась, в нашей системе отчета в момент удара она приобретает начальную скорость равную $u$, направленную вниз по склону.
Так как трения нет, на папку действует только сила тяжести. Тогда в проекции на склон (см. рис.) второй закон Ньютона будет выглядеть так:
$mg \sin \alpha = ma$,
где $a$ - ускорение с которым папка начинает двигаться вниз вдоль склона, выразим его:
$a = g \sin \alpha$.
Таким образом, путь, который проходит папка за время $t$ по склону запишется как $s = ut + g \sin \alpha t^{2}/2$. Чтобы Агент 007 поймал папку при приземлении его вертикальная и горизонтальная координаты должны совпасть с координатами папки (размерами Бонда и папки мы пренебрегаем). То есть, по горизонтальной оси OX (см. рис.) расстояние, пройденное Бондом должно равняться расстоянию, пройденному папкой:
$3ut = \left ( ut + \frac{1}{2} g \sin \alpha t^{2} \right ) \cos \alpha$,
где $t$ - время полета. Из этого условия после несложных превращений получаем:
$(3 - \cos \alpha) u = \frac{1}{2} \sin \alpha \cos \alpha t$. (1)
Вспомним, что угол $\alpha = 60^{ \circ}$, тогда подставим в выражение (1) $\cos \alpha = 1/2$ и $\sin \alpha = \sqrt{3}/2$, и получим ответ для времени полета Бонда:
$t = \frac{20}{ \sqrt{3} } \frac{u}{g}$.
Теперь второе условие: расстояние, пройденное агентом по вертикальной оси OY, должно быть равен сумме высоты $h$ и расстояния, пройденного папкой по вертикали (см. рис.):
$\frac{1}{2}gt^{2} = h + (ut + g \sin \alpha t^{2}/2) \sin \alpha$,
Осталось выразить $h$ и подставить полученное выражение для времени полета, а так же значения $sin \alpha$. После несложных упрощений выражаем высоту, на которой висят кресла подъемника:
$h = \frac{20}{3} \frac{u^{2} }{g}$.
Ответ: Время полета Бонда равно $t = 20u/( \sqrt{3}g)$, высота на которой висят кресла подъемника $h = 20 u^{2}/(3g)$.
Где-то в Альпах Джеймс Бонд поднимался на кресельном подъемнике, который двигается параллельно склону с постоянной скоростью $u$. Из кармана Бонда выпала папка с секретными документами. В результате удара о склон она мгновенно остановилась, после чего начала скатываться без трения. В этот момент Агент 007 заметил пропажу и спрыгнул с кресла так, что схватил папку ровно при приземлении. При этом начальная скорость Бонда относительно кресла была направлена горизонтально влево и равна $3u$. Найдите время полета Бонда и высоту от склона до кресел подъемника $h$. Угол наклона горы $\alpha = 60^{ \circ}$, ускорение свободного падения $g$, сопротивлением воздуха, размерами папки и Бонда пренебречь.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, двигающуюся со скоростью $\vec{u}$, в которой подъемник неподвижен. В этой системе отсчета папка, выпав из кармана Бонда, просто падает вниз вертикально. Так как по условию в результате удара о склон папка остановилась, в нашей системе отчета в момент удара она приобретает начальную скорость равную $u$, направленную вниз по склону.
Так как трения нет, на папку действует только сила тяжести. Тогда в проекции на склон (см. рис.) второй закон Ньютона будет выглядеть так:
$mg \sin \alpha = ma$,
где $a$ - ускорение с которым папка начинает двигаться вниз вдоль склона, выразим его:
$a = g \sin \alpha$.
Таким образом, путь, который проходит папка за время $t$ по склону запишется как $s = ut + g \sin \alpha t^{2}/2$. Чтобы Агент 007 поймал папку при приземлении его вертикальная и горизонтальная координаты должны совпасть с координатами папки (размерами Бонда и папки мы пренебрегаем). То есть, по горизонтальной оси OX (см. рис.) расстояние, пройденное Бондом должно равняться расстоянию, пройденному папкой:
$3ut = \left ( ut + \frac{1}{2} g \sin \alpha t^{2} \right ) \cos \alpha$,
где $t$ - время полета. Из этого условия после несложных превращений получаем:
$(3 - \cos \alpha) u = \frac{1}{2} \sin \alpha \cos \alpha t$. (1)
Вспомним, что угол $\alpha = 60^{ \circ}$, тогда подставим в выражение (1) $\cos \alpha = 1/2$ и $\sin \alpha = \sqrt{3}/2$, и получим ответ для времени полета Бонда:
$t = \frac{20}{ \sqrt{3} } \frac{u}{g}$.
Теперь второе условие: расстояние, пройденное агентом по вертикальной оси OY, должно быть равен сумме высоты $h$ и расстояния, пройденного папкой по вертикали (см. рис.):
$\frac{1}{2}gt^{2} = h + (ut + g \sin \alpha t^{2}/2) \sin \alpha$,
Осталось выразить $h$ и подставить полученное выражение для времени полета, а так же значения $sin \alpha$. После несложных упрощений выражаем высоту, на которой висят кресла подъемника:
$h = \frac{20}{3} \frac{u^{2} }{g}$.
Ответ: Время полета Бонда равно $t = 20u/( \sqrt{3}g)$, высота на которой висят кресла подъемника $h = 20 u^{2}/(3g)$.
