Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10162
2019-02-12 
Диэлектрический равномерно заряженный шар радиуса $R$ расположен в однородном электрическом поле напряженности $E$, см. рис. На шар в точку с наибольшим электрическим потенциалом поместили маленькое тело массой $m$ с зарядом $q > 0$. Тело отпустили, и оно начало соскальзывать с шара. Если в процессе движения тело отрывается от шара, поле $E$ отключают, и в дальнейшем более не включают. При всевозможных значениях заряда шара $Q$ исследуйте, на какое максимальное расстояние тело может удалиться от шара. Также укажите точки, в которых тело отрывается от шара в процессе движения. Шар считайте скользким и неподвижным, силой тяжести пренебречь.
Решение:
Рассмотрим пока случай, когда заряды $q$ и $Q$ имеют разные знаки. Пока тело не оторвалось от шара, на него будет действовать сила, равная по модулю $f = |kqQ|/R^{2}$, притягивающая тело к центру шара, и сила со стороны однородного поля, направленная вниз по рисунку и равная по модулю $F = | q | E$.
Под действием этих сил тело сдвигается по шару, постепенно разгоняясь. В некоторый момент (будем считать, что что в этот момент положение тела задается углом $\alpha$, см. рис.) скорость движения тела по шару $V$ станет такой большой, что тело оторвется. Этот момент характеризуется условием, что сумма проекций сил $F$ и $f$ на направление к центру окружности сравнялась с центростремительной силой $mV^{2}/R$:
$\frac{mV^{2}}{R} = f + F \cos \alpha$ (1)
Скорость, которую тело успело набрать к данному моменту, легко выразить из закона сохранения энергии, так как работу совершает только сила $F$, вдоль которой тело сдвинулось на расстояние $R( 1 - \cos \alpha)$:
$\frac{mV^{2}}{2} = FR( 1 - \cos \alpha) \Leftrightarrow \frac{mV^{2} }{R} = 2F(1 - \cos \alpha)$ (2)
Подставляя это значение в (1), получим
$2F(1 - \cos \alpha) = f + F \cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3} - \frac{f}{3F}$. (3)
Итак, при $f = 0$ тело оторвется при $\alpha \approx 48^{ \circ}$. С ростом $f$ соответствующий косинус будет уменьшаться, а угол $\alpha$ увеличиваться. Заметим, что отрыв тела от шара вообще может не произойти - если полученный косинус окажется меньше -1. Это происходит при $f/F \geq 5$
Если отрыв произошел, по условию сила $F$ моментально отключается, и на тело действует лишь сила притяжения к сфере. Воспользовавшись аналогией с движением спутника вокруг Земли, легко понять, что тело может
- упасть обратно на шар
- полететь вокруг шара по кругу
- полететь вокруг шара по эллипсу
- улететь от шара по параболе
- улететь от шара по гиперболе
Тело не упадет обратно на шар, если в момент отрыва и выключения внешнего поля оно имело "первую космическую" скорость, точнее, ее электростатический аналог. Скорость эта достигается, если центростремительная сила $mV^{2}/R$ при движении по окружности радиуса $R$ не меньше, чем проекция силы $f$ на направление к центру окружности: $mV^{2}/R \geq f$. Подставляя сюда скорость из (2), а затем $\cos \alpha$ из (3), получим
$f \leq \frac{mV^{2} }{R} = 2F(1 - \cos \alpha ) = 2F \left ( 1 - \frac{2}{3} + \frac{f}{3F} \right ) \Leftrightarrow \frac{f}{F} \leq 2$
Если это условие не выполняется, в момент выключения поля $E$ тело не полетит прочь от шара, а вновь коснется его и продолжит скользить по нему. Можно заметить, что при $f/F = 2$ величина угла отрыва $\alpha$ обращается в $90^{ \circ}$. Физически это означает, что если сила $f$ слишком большая, отрыв тела происходит лишь когда тело оказалось на "нижней" половиине шара, и сила $F$ при это направлена так, что не прижимает тело к шару, а отрывает от него. В момент выключения силы $F$ тело снова прижимется к шару - уже насовсем.
Предположим теперь, что $f/F < 2$. Оторвавшееся тело будет либо летать вокруг шара, либо удалится от него на бесконечно большое расстояние - если скорость тела в момент отрыва была достаточно велика, точнее, если она больше либо равна "второй космической скорости". Опрелить значение этой скорости можно по закону сохранения энергии. Кинетическая энергия тела в момент отрыва, $mV^{2}/2$ конкурирует с потенциальной энергией взаимодействия зарядов $kqQ/R$ (напомним, потенциальная энегрия отрицательна, поскольку мы рассматриваем случай, когда $Q$ и $q$ и меют разные знаки). Если же тело удалилось от шара бесконечно далеко, его потенциальная энергия должна увеличиться до нуля за счет уменьшения кинетической энергии. Чтобы кинетической энергии хватило на обнуление потенциальной, в момент отрыва должно выполняться неравенство
$\frac{mV^{2}}{2} + \frac{kQq}{R} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{mV^{2} }{2} - fR \geq 0 \Leftrightarrow \frac{mV^{2} }{R} \geq 2f$.
Здесь мы учли $kQq = -fR^{2}$, верное из определения силы $f = k|Qq|/R^{2}$. Подставляя вместо $mV^{2}/R$ выражения (2, 3), получим
$2f \leq 2F(1 - \cos \alpha) = 2F \left ( 1 - \frac{2}{3} + \frac{f}{3F} \right ) \Leftrightarrow \frac{f}{F} \leq \frac{1}{2}$
При $f/F = 1/2$ кинетической энергии только-только хватит на удаление от шара; этому соответствует удаление по параболической траектории. При $f/F < 1/2$ на бесконечном удалении от шара тело будет иметь некоторую кинетическую энергию; этому соответствует удаление по гиперболической траектории.
Осталось рассмотреть случай $1/2 < f/F < 2$. Тут, как мы показали, тело оторвется от шара, но не улетит от него на бесконечность. Как известно из аналогии с движением космических тел, движение будет происходить по эллиптической траектории. Расстояние $L$ наибольшего удаления тела от центра шара можно при желании вычислить из законов сохранения:
$\frac{mV^{2}}{2} + \frac{kqQ}{R} = \frac{mu^{2} }{2} + \frac{kQq}{L}, uL = VR$,
здесь мы обозначили скорость тела в точке наибольшего удаления (апогее) через $u$. Удобно снова переписать вклады $kQq$ в виде $-fR^{2}$. Решая систему уравнений, получим $L = R \frac{f + F}{2f - F}$. Знаменатель выражения обращается в ноль (а ответ в бесконечность) при стремлении $f/F = 1/2$, что как упоминалось, соответствует бесконечному удалению по параболической траектории.
Случай одноименных зарядов $Q$ и $q$, очевидно, соответствует отрицательной силе $f$. Можно просто считать, что $f = - kQq/R^{2}$, тогда знак силы $f$ будет положительным для всех предыдущих формул, и станет отрицательным при одноименных зарядах. Формула для угла отрыва остается справедливой, пока тот не обращается в ноль (при $-1 < f/F < 0$). В противном случае тело отрывается от шара сразу. В любом случае, при разноименных зарядах тело всегда улетает от шара на бесконечное расстояние.
Итак, осталось лишь собрать все результаты для различных значений $z = f/F$ в ответ.
Ответ: Возможно несколько различных режимов движения, соответствующих разным значениям параметра $z = - \frac{kQq}{|q|ER^{2}}$.
I. При $z \in (- \infty, 1/2]$ тело улетает на бесконечное расстояние от шара.
- При $z < - 1$ угол, характеризующий момент отрыва, равен нулю, тело отрывается сразу же.
- При $-2 < z \leq 1/2$ угол отрыва задается выражением $\alpha = arccos(2/3 - f/(3F))$.
II. При $z \in (1/2, 2]$ угол отрыва задается той же формулой, но тело после отрыва движется вокруг шара по эллипсу, периодически удаляясь на максимальное расстояние $L = R(f + F)/(2F - f)$ от его центра.
- При $z \in (2, 5)$ тело, оторвется от шара, угол отрыва задается прежней формулой. Однако, сразу после выключения поля оно продолжит скользить по шару и больше не оторвется.
- При $z > 5$ поле не выключится, тело вообще не оторвется.
Диэлектрический равномерно заряженный шар радиуса $R$ расположен в однородном электрическом поле напряженности $E$, см. рис. На шар в точку с наибольшим электрическим потенциалом поместили маленькое тело массой $m$ с зарядом $q > 0$. Тело отпустили, и оно начало соскальзывать с шара. Если в процессе движения тело отрывается от шара, поле $E$ отключают, и в дальнейшем более не включают. При всевозможных значениях заряда шара $Q$ исследуйте, на какое максимальное расстояние тело может удалиться от шара. Также укажите точки, в которых тело отрывается от шара в процессе движения. Шар считайте скользким и неподвижным, силой тяжести пренебречь.
Решение:
Рассмотрим пока случай, когда заряды $q$ и $Q$ имеют разные знаки. Пока тело не оторвалось от шара, на него будет действовать сила, равная по модулю $f = |kqQ|/R^{2}$, притягивающая тело к центру шара, и сила со стороны однородного поля, направленная вниз по рисунку и равная по модулю $F = | q | E$.
Под действием этих сил тело сдвигается по шару, постепенно разгоняясь. В некоторый момент (будем считать, что что в этот момент положение тела задается углом $\alpha$, см. рис.) скорость движения тела по шару $V$ станет такой большой, что тело оторвется. Этот момент характеризуется условием, что сумма проекций сил $F$ и $f$ на направление к центру окружности сравнялась с центростремительной силой $mV^{2}/R$:
$\frac{mV^{2}}{R} = f + F \cos \alpha$ (1)
Скорость, которую тело успело набрать к данному моменту, легко выразить из закона сохранения энергии, так как работу совершает только сила $F$, вдоль которой тело сдвинулось на расстояние $R( 1 - \cos \alpha)$:
$\frac{mV^{2}}{2} = FR( 1 - \cos \alpha) \Leftrightarrow \frac{mV^{2} }{R} = 2F(1 - \cos \alpha)$ (2)
Подставляя это значение в (1), получим
$2F(1 - \cos \alpha) = f + F \cos \alpha \Leftrightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3} - \frac{f}{3F}$. (3)
Итак, при $f = 0$ тело оторвется при $\alpha \approx 48^{ \circ}$. С ростом $f$ соответствующий косинус будет уменьшаться, а угол $\alpha$ увеличиваться. Заметим, что отрыв тела от шара вообще может не произойти - если полученный косинус окажется меньше -1. Это происходит при $f/F \geq 5$
Если отрыв произошел, по условию сила $F$ моментально отключается, и на тело действует лишь сила притяжения к сфере. Воспользовавшись аналогией с движением спутника вокруг Земли, легко понять, что тело может
- упасть обратно на шар
- полететь вокруг шара по кругу
- полететь вокруг шара по эллипсу
- улететь от шара по параболе
- улететь от шара по гиперболе
Тело не упадет обратно на шар, если в момент отрыва и выключения внешнего поля оно имело "первую космическую" скорость, точнее, ее электростатический аналог. Скорость эта достигается, если центростремительная сила $mV^{2}/R$ при движении по окружности радиуса $R$ не меньше, чем проекция силы $f$ на направление к центру окружности: $mV^{2}/R \geq f$. Подставляя сюда скорость из (2), а затем $\cos \alpha$ из (3), получим
$f \leq \frac{mV^{2} }{R} = 2F(1 - \cos \alpha ) = 2F \left ( 1 - \frac{2}{3} + \frac{f}{3F} \right ) \Leftrightarrow \frac{f}{F} \leq 2$
Если это условие не выполняется, в момент выключения поля $E$ тело не полетит прочь от шара, а вновь коснется его и продолжит скользить по нему. Можно заметить, что при $f/F = 2$ величина угла отрыва $\alpha$ обращается в $90^{ \circ}$. Физически это означает, что если сила $f$ слишком большая, отрыв тела происходит лишь когда тело оказалось на "нижней" половиине шара, и сила $F$ при это направлена так, что не прижимает тело к шару, а отрывает от него. В момент выключения силы $F$ тело снова прижимется к шару - уже насовсем.
Предположим теперь, что $f/F < 2$. Оторвавшееся тело будет либо летать вокруг шара, либо удалится от него на бесконечно большое расстояние - если скорость тела в момент отрыва была достаточно велика, точнее, если она больше либо равна "второй космической скорости". Опрелить значение этой скорости можно по закону сохранения энергии. Кинетическая энергия тела в момент отрыва, $mV^{2}/2$ конкурирует с потенциальной энергией взаимодействия зарядов $kqQ/R$ (напомним, потенциальная энегрия отрицательна, поскольку мы рассматриваем случай, когда $Q$ и $q$ и меют разные знаки). Если же тело удалилось от шара бесконечно далеко, его потенциальная энергия должна увеличиться до нуля за счет уменьшения кинетической энергии. Чтобы кинетической энергии хватило на обнуление потенциальной, в момент отрыва должно выполняться неравенство
$\frac{mV^{2}}{2} + \frac{kQq}{R} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{mV^{2} }{2} - fR \geq 0 \Leftrightarrow \frac{mV^{2} }{R} \geq 2f$.
Здесь мы учли $kQq = -fR^{2}$, верное из определения силы $f = k|Qq|/R^{2}$. Подставляя вместо $mV^{2}/R$ выражения (2, 3), получим
$2f \leq 2F(1 - \cos \alpha) = 2F \left ( 1 - \frac{2}{3} + \frac{f}{3F} \right ) \Leftrightarrow \frac{f}{F} \leq \frac{1}{2}$
При $f/F = 1/2$ кинетической энергии только-только хватит на удаление от шара; этому соответствует удаление по параболической траектории. При $f/F < 1/2$ на бесконечном удалении от шара тело будет иметь некоторую кинетическую энергию; этому соответствует удаление по гиперболической траектории.
Осталось рассмотреть случай $1/2 < f/F < 2$. Тут, как мы показали, тело оторвется от шара, но не улетит от него на бесконечность. Как известно из аналогии с движением космических тел, движение будет происходить по эллиптической траектории. Расстояние $L$ наибольшего удаления тела от центра шара можно при желании вычислить из законов сохранения:
$\frac{mV^{2}}{2} + \frac{kqQ}{R} = \frac{mu^{2} }{2} + \frac{kQq}{L}, uL = VR$,
здесь мы обозначили скорость тела в точке наибольшего удаления (апогее) через $u$. Удобно снова переписать вклады $kQq$ в виде $-fR^{2}$. Решая систему уравнений, получим $L = R \frac{f + F}{2f - F}$. Знаменатель выражения обращается в ноль (а ответ в бесконечность) при стремлении $f/F = 1/2$, что как упоминалось, соответствует бесконечному удалению по параболической траектории.
Случай одноименных зарядов $Q$ и $q$, очевидно, соответствует отрицательной силе $f$. Можно просто считать, что $f = - kQq/R^{2}$, тогда знак силы $f$ будет положительным для всех предыдущих формул, и станет отрицательным при одноименных зарядах. Формула для угла отрыва остается справедливой, пока тот не обращается в ноль (при $-1 < f/F < 0$). В противном случае тело отрывается от шара сразу. В любом случае, при разноименных зарядах тело всегда улетает от шара на бесконечное расстояние.
Итак, осталось лишь собрать все результаты для различных значений $z = f/F$ в ответ.
Ответ: Возможно несколько различных режимов движения, соответствующих разным значениям параметра $z = - \frac{kQq}{|q|ER^{2}}$.
I. При $z \in (- \infty, 1/2]$ тело улетает на бесконечное расстояние от шара.
- При $z < - 1$ угол, характеризующий момент отрыва, равен нулю, тело отрывается сразу же.
- При $-2 < z \leq 1/2$ угол отрыва задается выражением $\alpha = arccos(2/3 - f/(3F))$.
II. При $z \in (1/2, 2]$ угол отрыва задается той же формулой, но тело после отрыва движется вокруг шара по эллипсу, периодически удаляясь на максимальное расстояние $L = R(f + F)/(2F - f)$ от его центра.
- При $z \in (2, 5)$ тело, оторвется от шара, угол отрыва задается прежней формулой. Однако, сразу после выключения поля оно продолжит скользить по шару и больше не оторвется.
- При $z > 5$ поле не выключится, тело вообще не оторвется.
