Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10160
2019-02-12 
Над $\nu$ молями идеального газа совершают процесс, в котором давление газа $p$ и его объем $V$ в любой момент связаны соотношением $(p + p_{0})(V + V_{0}) = 25p_{0}V_{0}$. Постоянные $p_{0}$ и $V_{0}$ известны. Максимальное значение давления газа, зафиксированное в процессе, равно $9p_{0}$, а максимальное значение объема газа было равно $14V_{0}$. Найдите максимальную и минимальную температуру газа в ходе эксперимента.
Решение:
Процесс, совершаемый газом, в любой момент удовлетворяет системе уравнений
$(p + p_{0} )(V + V_{0}) = 25p_{0} V_{0}, pV = \nu RT$. (1)
Следует искать минимальное решение этой системы относительно переменной $T$.
Приведем вычисление этой задачи в безразмерных переменных. Разумеется, к верному ответу приведут и другие эквивалентные расчеты.
Введем $p^{ \prime} = p/p_{0}$ и $V^{ \prime} = V/V_{0}$ - безразмерные давление и объем. Температура $T$ в этих переменных $T = p_{0} V_{0}p^{ \prime} V^{ \prime} / \nu R$ пропорциональна произведению $p^{ \prime} V^{ \prime}$. Первое уравнение системы (1) примет вид $(p^{ \prime} + 1)(V^{ \prime} + 1) = 25$ или $p^{ \prime}V^{ \prime} = 24 - (p^{ \prime} + V^{ \prime})$. Понятно, что температура максимальна, когда максимально произведение $p^{ \prime}V^{ \prime}$. Но это происходит тогда, когда то, что вычитается из 24 в этом выражении минимально, т.е. когда прямая $p^{ \prime} + V^{ \prime} = K$ имеет минимальный коэффициент $K$. Наоборот, при максимальном $K$ температура системы минимальна. Выбрав произвольную точку на графике $p^{ \prime}(V^{ \prime})$, следует посмотреть, какая прямая множества $p^{ \prime} + V^{ \prime} = K$ проходит через нее: если наинизшая из возможных - это максимум температуры в процессе, если наивысшая - это минимум.
В безразмерных переменных график $p^{ \prime} (V^{ \prime})$ - симметричная относительно прямой $p^{ \prime} = V^{ \prime}$ гипербола - вогнутая кривая (см. рис.)., поэтому в точке $p^{ \prime} = V^{ \prime}$ она пересечется с самой нижней из обсуждаемого множества прямых. Решив $p^{ \prime} V^{ \prime} = 24 - (p^{ \prime} + V^{ \prime})$ в предположении $p^{ \prime} = V^{ \prime}$, получим $p^{ \prime} = V^{ \prime} = 4$ (отрицательный корень отбрасываем), что соответствует температуре $T = \frac{16 p_{0} V_{0}}{ \nu R}$.
Точка пересечения графика $p^{ \prime} (V^{ \prime} )$ с наивысшей прямой
вида $p^{ \prime} + V^{ \prime} = K$, очевидно, имеет место на границе промежутка, в котором меняется давление и объем системы. Пользуясь уравнением (1), найдем, что максимальному давлению $p^{ \prime} = 9$ соответсвует объем $V^{ \prime} = 1,5$, а максимальному объему $V^{ \prime} = 14$ - давление $p^{ \prime} = 2/3$. Сравнивая $p^{ \prime} + V^{ \prime}$ в этих точках, получим, что $9 + 1,5 < 14 + 2/3$, поэтому наинизшая температура наблюдается в точке, где $p^{ \prime} = 2/3 V^{ \prime} = 14$, т.е. при $T = \frac{p_{0} V_{0} p^{ \prime} V^{ \prime}}{ \nu R} = \frac{28p_{0} V_{0}}{3 \nu R}$.
Ответ: $T_{max} = \frac{16p_{0}V_{0}}{ \nu R}, T_{min} = \frac{28p_{0}V_{0}}{3 \nu R}$.
Над $\nu$ молями идеального газа совершают процесс, в котором давление газа $p$ и его объем $V$ в любой момент связаны соотношением $(p + p_{0})(V + V_{0}) = 25p_{0}V_{0}$. Постоянные $p_{0}$ и $V_{0}$ известны. Максимальное значение давления газа, зафиксированное в процессе, равно $9p_{0}$, а максимальное значение объема газа было равно $14V_{0}$. Найдите максимальную и минимальную температуру газа в ходе эксперимента.
Решение:
Процесс, совершаемый газом, в любой момент удовлетворяет системе уравнений
$(p + p_{0} )(V + V_{0}) = 25p_{0} V_{0}, pV = \nu RT$. (1)
Следует искать минимальное решение этой системы относительно переменной $T$.
Приведем вычисление этой задачи в безразмерных переменных. Разумеется, к верному ответу приведут и другие эквивалентные расчеты.
Введем $p^{ \prime} = p/p_{0}$ и $V^{ \prime} = V/V_{0}$ - безразмерные давление и объем. Температура $T$ в этих переменных $T = p_{0} V_{0}p^{ \prime} V^{ \prime} / \nu R$ пропорциональна произведению $p^{ \prime} V^{ \prime}$. Первое уравнение системы (1) примет вид $(p^{ \prime} + 1)(V^{ \prime} + 1) = 25$ или $p^{ \prime}V^{ \prime} = 24 - (p^{ \prime} + V^{ \prime})$. Понятно, что температура максимальна, когда максимально произведение $p^{ \prime}V^{ \prime}$. Но это происходит тогда, когда то, что вычитается из 24 в этом выражении минимально, т.е. когда прямая $p^{ \prime} + V^{ \prime} = K$ имеет минимальный коэффициент $K$. Наоборот, при максимальном $K$ температура системы минимальна. Выбрав произвольную точку на графике $p^{ \prime}(V^{ \prime})$, следует посмотреть, какая прямая множества $p^{ \prime} + V^{ \prime} = K$ проходит через нее: если наинизшая из возможных - это максимум температуры в процессе, если наивысшая - это минимум.
В безразмерных переменных график $p^{ \prime} (V^{ \prime})$ - симметричная относительно прямой $p^{ \prime} = V^{ \prime}$ гипербола - вогнутая кривая (см. рис.)., поэтому в точке $p^{ \prime} = V^{ \prime}$ она пересечется с самой нижней из обсуждаемого множества прямых. Решив $p^{ \prime} V^{ \prime} = 24 - (p^{ \prime} + V^{ \prime})$ в предположении $p^{ \prime} = V^{ \prime}$, получим $p^{ \prime} = V^{ \prime} = 4$ (отрицательный корень отбрасываем), что соответствует температуре $T = \frac{16 p_{0} V_{0}}{ \nu R}$.
Точка пересечения графика $p^{ \prime} (V^{ \prime} )$ с наивысшей прямой
вида $p^{ \prime} + V^{ \prime} = K$, очевидно, имеет место на границе промежутка, в котором меняется давление и объем системы. Пользуясь уравнением (1), найдем, что максимальному давлению $p^{ \prime} = 9$ соответсвует объем $V^{ \prime} = 1,5$, а максимальному объему $V^{ \prime} = 14$ - давление $p^{ \prime} = 2/3$. Сравнивая $p^{ \prime} + V^{ \prime}$ в этих точках, получим, что $9 + 1,5 < 14 + 2/3$, поэтому наинизшая температура наблюдается в точке, где $p^{ \prime} = 2/3 V^{ \prime} = 14$, т.е. при $T = \frac{p_{0} V_{0} p^{ \prime} V^{ \prime}}{ \nu R} = \frac{28p_{0} V_{0}}{3 \nu R}$.
Ответ: $T_{max} = \frac{16p_{0}V_{0}}{ \nu R}, T_{min} = \frac{28p_{0}V_{0}}{3 \nu R}$.
