Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1016
2016-09-17 
На конце жёсткого невесомого стержня длиной $l$, закреплённого шарнирно другим своим концом в точке О и находящегося в поле тяжести $\vec{g}$, прикреплён груз массой $m$ (см. рисунок). В начальный момент времени, когда груз находится в положении устойчивого равновесия, ему сообщают направленную влево скорость $u$ и далее раскачивают его следующим образом: когда груз останавливается, ему сообщают скорость $u$ в плоскости рисунка перпендикулярно стержню по направлению к устойчивому положению равновесия. Чему равна полная энергия маятника через достаточно большой промежуток времени? Потенциальная энергия отсчитывается от точки О, трение отсутствует.
Решение:
Описанный в условии процесс будет протекать следующим образом. Если энергия маятника $E$ не превосходит величину $mgl$, то груз остановится на высоте $h$, определяемой из соотношения $E = mgh$, и получит дополнительное приращение энергии $\Delta E = mu^{2}/2$. Поскольку начальная энергия маятника равна $— mgl$, после $n$ толчков он будет иметь энергию $E_{n} = -mgl + (nmu^{2}/2)$.
Если $E_{n} = mgl$, то есть $n = \frac{2mgl}{mu^{2}/2} = \frac{4gl}{u^{2}}$ - целое число, то маятник будет бесконечно долго двигаться вверх по окружности до остановки в верхней точке, а значит, следующий толчок никогда не произойдёт, и энергия маятника спустя длительное время будет равна $Е_{ \infty} = E_{n} = mgl$.
Если $E_{n} > mgl$, а величина $\frac{4gl}{u^{2}}$ не является целым числом, то маятник будет двигаться по окружности без остановок — процессы с изменением энергии происходить не будут. Следовательно, через достаточно большой промежуток времени энергия маятника будет совпадать с наименьшим $E_{n}$, превосходящим $mgl$; при этом $n$ — наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $n > \frac{4gl}{u^{2}}$. Отсюда $n = \left [ \frac{4gl}{u^{2}} \right ] + 1$, и $n - \frac{4gl}{u^{2}} = 1 - \left \{ \frac{4gl}{u^{2}} \right \}$, где через $[x]$ и $\{ x \}$ обозначены целая и дробная части $x$ соответственно. Таким образом, в данном случае спустя длительное время энергия маятника будет равна:
$E_{ \infty} = mgl + \frac{mu^{2}}{2} \left ( 1 - \left \{ \frac{4gl}{u^{2}} \right \} \right )$.
На конце жёсткого невесомого стержня длиной $l$, закреплённого шарнирно другим своим концом в точке О и находящегося в поле тяжести $\vec{g}$, прикреплён груз массой $m$ (см. рисунок). В начальный момент времени, когда груз находится в положении устойчивого равновесия, ему сообщают направленную влево скорость $u$ и далее раскачивают его следующим образом: когда груз останавливается, ему сообщают скорость $u$ в плоскости рисунка перпендикулярно стержню по направлению к устойчивому положению равновесия. Чему равна полная энергия маятника через достаточно большой промежуток времени? Потенциальная энергия отсчитывается от точки О, трение отсутствует.
Решение:
Описанный в условии процесс будет протекать следующим образом. Если энергия маятника $E$ не превосходит величину $mgl$, то груз остановится на высоте $h$, определяемой из соотношения $E = mgh$, и получит дополнительное приращение энергии $\Delta E = mu^{2}/2$. Поскольку начальная энергия маятника равна $— mgl$, после $n$ толчков он будет иметь энергию $E_{n} = -mgl + (nmu^{2}/2)$.
Если $E_{n} = mgl$, то есть $n = \frac{2mgl}{mu^{2}/2} = \frac{4gl}{u^{2}}$ - целое число, то маятник будет бесконечно долго двигаться вверх по окружности до остановки в верхней точке, а значит, следующий толчок никогда не произойдёт, и энергия маятника спустя длительное время будет равна $Е_{ \infty} = E_{n} = mgl$.
Если $E_{n} > mgl$, а величина $\frac{4gl}{u^{2}}$ не является целым числом, то маятник будет двигаться по окружности без остановок — процессы с изменением энергии происходить не будут. Следовательно, через достаточно большой промежуток времени энергия маятника будет совпадать с наименьшим $E_{n}$, превосходящим $mgl$; при этом $n$ — наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $n > \frac{4gl}{u^{2}}$. Отсюда $n = \left [ \frac{4gl}{u^{2}} \right ] + 1$, и $n - \frac{4gl}{u^{2}} = 1 - \left \{ \frac{4gl}{u^{2}} \right \}$, где через $[x]$ и $\{ x \}$ обозначены целая и дробная части $x$ соответственно. Таким образом, в данном случае спустя длительное время энергия маятника будет равна:
$E_{ \infty} = mgl + \frac{mu^{2}}{2} \left ( 1 - \left \{ \frac{4gl}{u^{2}} \right \} \right )$.
