Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10159
2019-02-12 
В вертикальную трубу радиуса $R$ поместили цилиндрический сосуд массой $M$. Стенки сосуда сделаны из мягкого пластика и могут легко деформироваться - изгибаться и растягиваться, в то время как дно жесткое и имеет тот же радиус, что и труба. При этом сосуд легко помещается в трубе, но не оставляет в ней зазоров (см. рис). В сосуд налили жидкость плотности $\rho$ и отпустили его, при этом оказалось, что сосуд застрял в трубе. Коэффициент трения между стенками сосуда и трубой равен $\mu$. До какого уровня следует наливать жидкость в сосуд, чтобы произошло такое заклинивание? Атмосферное давление не учитывать.
Решение:
Сосуд тянет вниз сила тяжести, а удерживает в трубе сила трения, возникающая от того, что давление столба воды в сосуде распирает стенки вбок, в результате чего стенки давят на трубу с некоторой силой $N$ (см. рис., мы изобразили силу $N$ в двух проекциях: вид сбоку и вид сверху, поскольку она неравномерно распределена по высоте вдоль стенок сосуда). Причина появления силы $N$ - закон Паскаля.
Найдем величину суммарной по модулю силы $N$, с которой жидкость, налитая до уровня $H$, давит на стенки. Давление жидкости увеличивается с глубиной: у поверхности воды оно равно нулю (атмосферным давлением в задаче предлагается пренебречь), а на глубине $H$ оно равно $p_{max} = \rho gH$. Давление увеличивается линейно, поэтому на площади контакта трубы и сосуда $2 \pi RH$ давление в среднем равно $p_{max}/2$. Действительно, для любого куска стенки, где давление больше, чем $p_{max}/2$ на величину $\Delta p$, найдется кусок такой же площади, где давление меньше, чем $p_{max}/2$ ровно на величину $\Delta p$. Понятно, что такие куски расположены симметрично относительно уровня $H/2$. Значит,
$N = 2 \pi RH p_{max}/2 = \pi \rho gRH^{2}$.
Соответствующая этой силе давления стенок сила трения не может превзойти $\mu N$.
Масса воды в сосуде $M_{0} = \rho V = \rho \pi R^{2}H$, значит сила тяжести, действующая на сосуд с водой, равна $Mg + \rho \pi R^{2}Hg$. Соответственно, условие застревания сосуда в трубе принимает вид
$Mg + \rho \pi R^{2} Hg \leq \mu \pi R \rho gH^{2}$.
Теперь нужно решить данное неравенство, содержащее квадратный трехчлен по $H$:
$\mu \pi R \rho g H^{2} - \rho \pi R^{2} gH - Mg \geq 0$.
Удобным приемом в физике является обезразмеривание, оно позволит не сделать арифметических ошибок. Разделим все слагаемые неравенства на $\rho \pi Rg$, максимально упростив вклад при квадратичном члене:
$\mu H^{2} - RH - \frac{Mg}{ \rho \pi R} \geq 0$
и введем безразмерный параметр $z = H/R$, который и будем искать. Еще раз разделим все уравнение на $R^{2}$:
$\mu z^{2} - z - a \geq 0$, где $a = \frac{Mg}{ \rho \pi R^{3} }$.
Корни неравенства ($1 \pm \sqrt{1 + 4 \mu a})/(2 \mu)$ позволяют сразу выписать ответ
$z \in \left ( - \infty, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \mu a} }{2 \mu} \right ) \cup \left ( \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \mu a} }{2 \mu}, \infty \right )$.
Осталось только выкинуть нефизические отрицательные значения $z$ и привести в качестве ответа $H = Rz$.
Ответ: Высота должна быть выше, чем $R \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \mu a}}{2 \mu}$, где $a = \frac{Mg}{ \rho \pi R^{3}}$.
В вертикальную трубу радиуса $R$ поместили цилиндрический сосуд массой $M$. Стенки сосуда сделаны из мягкого пластика и могут легко деформироваться - изгибаться и растягиваться, в то время как дно жесткое и имеет тот же радиус, что и труба. При этом сосуд легко помещается в трубе, но не оставляет в ней зазоров (см. рис). В сосуд налили жидкость плотности $\rho$ и отпустили его, при этом оказалось, что сосуд застрял в трубе. Коэффициент трения между стенками сосуда и трубой равен $\mu$. До какого уровня следует наливать жидкость в сосуд, чтобы произошло такое заклинивание? Атмосферное давление не учитывать.
Решение:
Сосуд тянет вниз сила тяжести, а удерживает в трубе сила трения, возникающая от того, что давление столба воды в сосуде распирает стенки вбок, в результате чего стенки давят на трубу с некоторой силой $N$ (см. рис., мы изобразили силу $N$ в двух проекциях: вид сбоку и вид сверху, поскольку она неравномерно распределена по высоте вдоль стенок сосуда). Причина появления силы $N$ - закон Паскаля.
Найдем величину суммарной по модулю силы $N$, с которой жидкость, налитая до уровня $H$, давит на стенки. Давление жидкости увеличивается с глубиной: у поверхности воды оно равно нулю (атмосферным давлением в задаче предлагается пренебречь), а на глубине $H$ оно равно $p_{max} = \rho gH$. Давление увеличивается линейно, поэтому на площади контакта трубы и сосуда $2 \pi RH$ давление в среднем равно $p_{max}/2$. Действительно, для любого куска стенки, где давление больше, чем $p_{max}/2$ на величину $\Delta p$, найдется кусок такой же площади, где давление меньше, чем $p_{max}/2$ ровно на величину $\Delta p$. Понятно, что такие куски расположены симметрично относительно уровня $H/2$. Значит,
$N = 2 \pi RH p_{max}/2 = \pi \rho gRH^{2}$.
Соответствующая этой силе давления стенок сила трения не может превзойти $\mu N$.
Масса воды в сосуде $M_{0} = \rho V = \rho \pi R^{2}H$, значит сила тяжести, действующая на сосуд с водой, равна $Mg + \rho \pi R^{2}Hg$. Соответственно, условие застревания сосуда в трубе принимает вид
$Mg + \rho \pi R^{2} Hg \leq \mu \pi R \rho gH^{2}$.
Теперь нужно решить данное неравенство, содержащее квадратный трехчлен по $H$:
$\mu \pi R \rho g H^{2} - \rho \pi R^{2} gH - Mg \geq 0$.
Удобным приемом в физике является обезразмеривание, оно позволит не сделать арифметических ошибок. Разделим все слагаемые неравенства на $\rho \pi Rg$, максимально упростив вклад при квадратичном члене:
$\mu H^{2} - RH - \frac{Mg}{ \rho \pi R} \geq 0$
и введем безразмерный параметр $z = H/R$, который и будем искать. Еще раз разделим все уравнение на $R^{2}$:
$\mu z^{2} - z - a \geq 0$, где $a = \frac{Mg}{ \rho \pi R^{3} }$.
Корни неравенства ($1 \pm \sqrt{1 + 4 \mu a})/(2 \mu)$ позволяют сразу выписать ответ
$z \in \left ( - \infty, \frac{1 - \sqrt{1 + 4 \mu a} }{2 \mu} \right ) \cup \left ( \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \mu a} }{2 \mu}, \infty \right )$.
Осталось только выкинуть нефизические отрицательные значения $z$ и привести в качестве ответа $H = Rz$.
Ответ: Высота должна быть выше, чем $R \frac{1 + \sqrt{1 + 4 \mu a}}{2 \mu}$, где $a = \frac{Mg}{ \rho \pi R^{3}}$.
