Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10157
2019-02-12 
В калориметре со льдом находится резистор. Сопротивление резистора зависит от температуры $T$, измеряемой в градусах Цельсия, по закону: $R(T) = R_{0} + \chi T$, где $R_{0}$ и $\chi$ - постоянные величины. Резистор подключают к источнику постоянного напряжения $U$. Определите зависимость температуры содержимого калориметра от времени вплоть до момента времени, когда температура станет равна $T_{*} (0^{ \circ} C < T_{*} < 100^{ \circ} C)$. Постройте график полученной зависимости. Масса льда $m$, начальная температура $0^{ \circ} C$. Удельная теплоемкость плавления льда $\lambda$, удельная теплоемкость воды $c$. Теплопотерями и теплоемкостью резистора пренебречь. Считайте, что содержимое калориметра перемешивается и все время находится в состоянии теплового равновесия.
Решение:
Пока плавится лёд, температура содержимого калориметра не изменяется, а значит, сопротивление резистора остается постоянным и равным $R(T = 0^{ \circ} C) = R_{0}$. При этом тепло на резисторе выделяется с постоянной мощностью $P = U^{2}/R_{0}$.
Определим, сколько времени $t_{1}$ потребуется на то, чтобы расплавить весь лёд:
$\lambda m = \frac{U^{2} }{R_{0} } t_{1} \Leftrightarrow t_{1} =\frac{ \lambda m R_{0}}{U^{2} }$. (1)
После того, как весь лёд растает, содержимое калориметра начнет нагреваться, сопротивление резистора будет изменяться со временем, а следовательно, мощность выделяемого тепла уже не будет постоянной.
Будем пока отсчитывать время от момента начала нагрева воды в калориметре, то есть сдвинем начало отсчета времени на величину $t_{1}$. Пусть функция $T = T(t)$ отражает зависимость температуры содержимого калориметра от времени, при этом $T(t = 0) = 0^{ \circ} C$. Согласно условию, сопротивление резистора зависит от температуры. Поскольку температура зависит от времени по закону $T(t)$, получаем, что сопротивление меняется со временем по закону: $R(t) = R_{0}(1 + \gamma T(t))$.
Рассмотрим два очень близких момента времени $t$ и $t + \Delta t$. Обозначим изменение температуры содержимого калориметра за интервал времени $\Delta t$ через $\Delta T$. Можно считать, что на протяжении этого очень маленького интервала времени $\Delta t$, мощность тепловыделения на резисторе не успевает сильно измениться и остается постоянной и равной $P(t) = U^{2}/R(t)$. Поскольку теплопотерями можно пренебречь, все тепло, выделившееся на резисторе ($\Delta Q = P(t) \Delta t$), идет на нагрев воды ($\Delta Q = cm \Delta T$). Учитывая, что изменение температуры $\Delta T$ приводит к изменению сопротивления резистора на величину $\Delta R = \gamma R_{0} \Delta T$, cоставим уравнение теплового баланса:
$\frac{U^{2}}{R(t)} \Delta t = cm \Delta T = \frac{cm}{ \gamma R_{0} } \Delta R$ (2)
Перепишем это уравнение в виде:
$\frac{ \Delta t}{ \Delta R} = aR$, (3)
где $a = cm/ \gamma R_{0} U^{2}$.
Одинаковые уравнения в математике имеют одинаковые решения. Сделаем в уравнении (3) формальную замену $t \rightarrow x, R \rightarrow \tau$. Тогда оно приобретет вид:
$\frac{ \Delta x}{ \Delta \tau} = a \tau$. (4)
Если в последнем уравнении под $\tau$ понимать время, под $x$ - координату, то, поскольку интервал $\Delta \tau$ по предположению мал, дробь $\Delta x/ \Delta \tau$ будет иметь смысл мгновенной скорости. Тогда на уравнение (4) можно смотреть как на закон изменения мгновенной скорости некоторого тела со временем: $v( \tau) = a \tau$. В этом выражении сразу угадывается закон изменения скорости тела при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью, параметр $a$ играет роль ускорения. Как меняется координата при таком движении, известно:
$x( \tau) = x_{0} + \frac{a \tau^{2} }{2}$,
здесь $x_{0}$ - начальная координат. Ее величину невозможно найти из уравнения (4), она определяется из начальных условий.
Возвращаясь в последнем уравнении к исходным переменным, имеем
$t(R) = t_{0} + \frac{aR^{2} }{2}$,
Таким образом, мы получили зависимость времени от сопротивления резистора. Обращая эту функцию, получаем зависимость сопротивления резистора от времени:
$R(t) = \sqrt{ \frac{2(t - t_{0} )}{a} } $, (5)
Величину параметра $t_{0}$ можно найти из того условия, что в момент времени $t = 0$ сопротивление должно быть равно $R(t = 0) = R_{0}$ (начальное условие). Отсюда получаем
$R(t) = \sqrt{ \frac{2t}{a} + R_{0}^{2} }$,
Наконец, вспоминая связь температуры резистора и его сопротивления ($R(T) = R_{0} + \chi T$), а также то, что мы сдвигали начало отсчета времени, для зависимости температуры содержимого калориметра от времени окончательно имеем:
$R(t) = R_{0}, t \in [0, t_{1} ]$
$R(t) = \sqrt{ \frac{2 \gamma R_{0} U^{2} }{cm} (t - t_{1} ) + R_{0}^{2} }, t \in [t_{1}, t-{2} ]$, (6)
где $t_{2}$ - момент времени, когда температура достигает значения $T_{*}$. Для того чтобы найти $t_{2}$ еще раз необходимо использовать связь температуры реостата и его сопротивления ($R(T) = R_{0}(1 + \gamma T)$):
$R_{0}(1 + \gamma T_{*} ) = \sqrt{ \frac{2 \gamma R_{0}U^{2} }{cm} (t_{2} - t_{1} ) + R_{0}^{2} } \Leftrightarrow t_{2} + \frac{cmR_{0} }{2 \gamma U^{2} } ((1 + \gamma T_{*} )^{2} - 1 ) + t_{1}$. (7)
График зависимости сопротивления реостата от времени представлен на рисунке.
Ответ: Зависимость сопротивления реостата от времени дается выражением (36), где $t_{1}$ и $t_{2}$ определены в (1) и (6) соответственно. График зависимости температуры от времени представлен на рисунке.
Замечание: Уравнение 2 можно решить без использования аналогии с кинематикой, для этого необходима техника решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.
В калориметре со льдом находится резистор. Сопротивление резистора зависит от температуры $T$, измеряемой в градусах Цельсия, по закону: $R(T) = R_{0} + \chi T$, где $R_{0}$ и $\chi$ - постоянные величины. Резистор подключают к источнику постоянного напряжения $U$. Определите зависимость температуры содержимого калориметра от времени вплоть до момента времени, когда температура станет равна $T_{*} (0^{ \circ} C < T_{*} < 100^{ \circ} C)$. Постройте график полученной зависимости. Масса льда $m$, начальная температура $0^{ \circ} C$. Удельная теплоемкость плавления льда $\lambda$, удельная теплоемкость воды $c$. Теплопотерями и теплоемкостью резистора пренебречь. Считайте, что содержимое калориметра перемешивается и все время находится в состоянии теплового равновесия.
Решение:
Пока плавится лёд, температура содержимого калориметра не изменяется, а значит, сопротивление резистора остается постоянным и равным $R(T = 0^{ \circ} C) = R_{0}$. При этом тепло на резисторе выделяется с постоянной мощностью $P = U^{2}/R_{0}$.
Определим, сколько времени $t_{1}$ потребуется на то, чтобы расплавить весь лёд:
$\lambda m = \frac{U^{2} }{R_{0} } t_{1} \Leftrightarrow t_{1} =\frac{ \lambda m R_{0}}{U^{2} }$. (1)
После того, как весь лёд растает, содержимое калориметра начнет нагреваться, сопротивление резистора будет изменяться со временем, а следовательно, мощность выделяемого тепла уже не будет постоянной.
Будем пока отсчитывать время от момента начала нагрева воды в калориметре, то есть сдвинем начало отсчета времени на величину $t_{1}$. Пусть функция $T = T(t)$ отражает зависимость температуры содержимого калориметра от времени, при этом $T(t = 0) = 0^{ \circ} C$. Согласно условию, сопротивление резистора зависит от температуры. Поскольку температура зависит от времени по закону $T(t)$, получаем, что сопротивление меняется со временем по закону: $R(t) = R_{0}(1 + \gamma T(t))$.
Рассмотрим два очень близких момента времени $t$ и $t + \Delta t$. Обозначим изменение температуры содержимого калориметра за интервал времени $\Delta t$ через $\Delta T$. Можно считать, что на протяжении этого очень маленького интервала времени $\Delta t$, мощность тепловыделения на резисторе не успевает сильно измениться и остается постоянной и равной $P(t) = U^{2}/R(t)$. Поскольку теплопотерями можно пренебречь, все тепло, выделившееся на резисторе ($\Delta Q = P(t) \Delta t$), идет на нагрев воды ($\Delta Q = cm \Delta T$). Учитывая, что изменение температуры $\Delta T$ приводит к изменению сопротивления резистора на величину $\Delta R = \gamma R_{0} \Delta T$, cоставим уравнение теплового баланса:
$\frac{U^{2}}{R(t)} \Delta t = cm \Delta T = \frac{cm}{ \gamma R_{0} } \Delta R$ (2)
Перепишем это уравнение в виде:
$\frac{ \Delta t}{ \Delta R} = aR$, (3)
где $a = cm/ \gamma R_{0} U^{2}$.
Одинаковые уравнения в математике имеют одинаковые решения. Сделаем в уравнении (3) формальную замену $t \rightarrow x, R \rightarrow \tau$. Тогда оно приобретет вид:
$\frac{ \Delta x}{ \Delta \tau} = a \tau$. (4)
Если в последнем уравнении под $\tau$ понимать время, под $x$ - координату, то, поскольку интервал $\Delta \tau$ по предположению мал, дробь $\Delta x/ \Delta \tau$ будет иметь смысл мгновенной скорости. Тогда на уравнение (4) можно смотреть как на закон изменения мгновенной скорости некоторого тела со временем: $v( \tau) = a \tau$. В этом выражении сразу угадывается закон изменения скорости тела при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью, параметр $a$ играет роль ускорения. Как меняется координата при таком движении, известно:
$x( \tau) = x_{0} + \frac{a \tau^{2} }{2}$,
здесь $x_{0}$ - начальная координат. Ее величину невозможно найти из уравнения (4), она определяется из начальных условий.
Возвращаясь в последнем уравнении к исходным переменным, имеем
$t(R) = t_{0} + \frac{aR^{2} }{2}$,
Таким образом, мы получили зависимость времени от сопротивления резистора. Обращая эту функцию, получаем зависимость сопротивления резистора от времени:
$R(t) = \sqrt{ \frac{2(t - t_{0} )}{a} } $, (5)
Величину параметра $t_{0}$ можно найти из того условия, что в момент времени $t = 0$ сопротивление должно быть равно $R(t = 0) = R_{0}$ (начальное условие). Отсюда получаем
$R(t) = \sqrt{ \frac{2t}{a} + R_{0}^{2} }$,
Наконец, вспоминая связь температуры резистора и его сопротивления ($R(T) = R_{0} + \chi T$), а также то, что мы сдвигали начало отсчета времени, для зависимости температуры содержимого калориметра от времени окончательно имеем:
$R(t) = R_{0}, t \in [0, t_{1} ]$
$R(t) = \sqrt{ \frac{2 \gamma R_{0} U^{2} }{cm} (t - t_{1} ) + R_{0}^{2} }, t \in [t_{1}, t-{2} ]$, (6)
где $t_{2}$ - момент времени, когда температура достигает значения $T_{*}$. Для того чтобы найти $t_{2}$ еще раз необходимо использовать связь температуры реостата и его сопротивления ($R(T) = R_{0}(1 + \gamma T)$):
$R_{0}(1 + \gamma T_{*} ) = \sqrt{ \frac{2 \gamma R_{0}U^{2} }{cm} (t_{2} - t_{1} ) + R_{0}^{2} } \Leftrightarrow t_{2} + \frac{cmR_{0} }{2 \gamma U^{2} } ((1 + \gamma T_{*} )^{2} - 1 ) + t_{1}$. (7)
График зависимости сопротивления реостата от времени представлен на рисунке.
Ответ: Зависимость сопротивления реостата от времени дается выражением (36), где $t_{1}$ и $t_{2}$ определены в (1) и (6) соответственно. График зависимости температуры от времени представлен на рисунке.
Замечание: Уравнение 2 можно решить без использования аналогии с кинематикой, для этого необходима техника решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных.
