Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10156
2019-02-12 
Ночью по дороге ехали друг за другом две одинаковые машины. Водитель задней машины Алексей заметил, что его фары отражаются в блестящем кузове передней машины и что видимое расстояние между отражениями фар меняется, когда изменяется дистанция между машинами. При этом расстояние между отражениями фар в $x$ раз отличается от ширины машины, в которой отражаются фары. Зависимость величины $x$ от времени представлена на графике. Скорость передней машины $v_{1} = 20 м/с$. Найдите скорость машины Алексея, если известно, что она постоянна. Считайте, что поверхность машины сзади представляет собой плоское вертикальное зеркало и что расстояние между фарами совпадает с шириной автомобиля. Расстояние между автомобилями в начальный момент времени равно 3 м.
Решение:
Обозначим искомую скорость второго автомобиля через $v_{2}$.
Пусть водитель Алексей располагается в точке A, удаленной от линии фар его машины на расстояние $l$ (см. рис.). Как будет видно из дальнейшего, ответ не зависит от того, где именно "по ширине" автомобиля он находится. Обозначим расстояние между автомобилями в некоторый момент времени через $L$, ширину автомобилей или, что тоже самое, расстояние между фарами $S_{1}$ и $S_{2}$, через $b$.
Поскольку можно считать, что сзади автомобиль представляет собой вертикальное плоское зеркало, изображения фар второго автомобиля будут располагаться в точках $S_{1}^{ \prime}$ и $S_{2}^{ \prime}$, удаленных от задней поверхности второго автомобиля на такое же расстояние $L$. Алексей из точки A будет видеть (пунктирные линии) отражения своих фар в точках $s_{1}$ и $s_{2}$ на задней поверхности первого автомобиля. По условию, Алексей видит, что расстояние $a$ между отражениями фар в $x$ раз отличается от ширины машины, в которой отражаются фары. Следовательно, на графике из условия представлена зависимость от времени величины $x = a/b$. Выразим эту величину через расстояния $L$ и $l$.
Из рисунка видно, что треугольники $As_{1}s_{2}$ и $AS_{1}^{ \prime}S_{2}^{ \prime}$ подобны, высоты этих треугольников, проведенные из точки A, равны $h_{1} = l + L$ и $h_{2} = l + 2L$ соответственно. Для подобных треугольников выполняется соотношение
$\frac{s_{1}s_{2}}{h_{1}} = \frac{S_{1}^{ \prime}S_{2}^{ \prime}}{h_{2} } \Leftrightarrow \frac{a}{l + L} = \frac{b}{l + 2L}$.
Отсюда сразу получаем, что
$x = \frac{a}{b} = \frac{l + L}{l + 2L}$ (1)
Из этого выражения, в частности, видно, что ответ не зависит от того, где "по ширине" автомобиля располагается водитель, так как коэффициент подобия треугольников не изменится, если посадить водителя правее или левее.
Обозначим относительную скорость автомобилей через $u = v_{1} - v_{2}$. Тогда закон изменения расстояния между автомобилями с течением времени можно записать в виде
$L = L_{0} + ut$,
где $L_{0} = 3 м$ - расстояние между автомобилями в момент времени $t = 0$. Подставляя последнее выражение в формулу (1), окончательно получаем
$x(t) = \frac{l + L_{0} + ut }{l + 2L_{0} + 2ut }$ (2)
Это выражение содержит две неизвестных, поэтому для того, чтобы найти скорость $u$ (а значит, и искомую скорость второго автомобиля), необходимы два уравнения. Эти уравнения можно получить, использовав (2) для двух разных точек на графике, например, для моментов времени 0 с и 5 с:
$t = 0 с : 0,60 = \frac{l + 3 м}{l + 2 \cdot 3 м}$
$t = 5 с : 0,52 = \frac{l + 3 м + u \cdot 5 с}{l + 2 \cdot 3 м + 2u \cdot 5 с}$ (3)
Решая полученную систему уравнений (3), находим, что $u \approx 3 м/с$. Таким образом, скорость второго автомобиля равна
$v_{2} = v_{1} - u \approx 20 м/с - 3 м/с = 17 м/с$.
Ответ: Скорость второго автомобиля равна $v_{2} \approx 17 м/с$.
Ночью по дороге ехали друг за другом две одинаковые машины. Водитель задней машины Алексей заметил, что его фары отражаются в блестящем кузове передней машины и что видимое расстояние между отражениями фар меняется, когда изменяется дистанция между машинами. При этом расстояние между отражениями фар в $x$ раз отличается от ширины машины, в которой отражаются фары. Зависимость величины $x$ от времени представлена на графике. Скорость передней машины $v_{1} = 20 м/с$. Найдите скорость машины Алексея, если известно, что она постоянна. Считайте, что поверхность машины сзади представляет собой плоское вертикальное зеркало и что расстояние между фарами совпадает с шириной автомобиля. Расстояние между автомобилями в начальный момент времени равно 3 м.
Решение:
Обозначим искомую скорость второго автомобиля через $v_{2}$.
Пусть водитель Алексей располагается в точке A, удаленной от линии фар его машины на расстояние $l$ (см. рис.). Как будет видно из дальнейшего, ответ не зависит от того, где именно "по ширине" автомобиля он находится. Обозначим расстояние между автомобилями в некоторый момент времени через $L$, ширину автомобилей или, что тоже самое, расстояние между фарами $S_{1}$ и $S_{2}$, через $b$.
Поскольку можно считать, что сзади автомобиль представляет собой вертикальное плоское зеркало, изображения фар второго автомобиля будут располагаться в точках $S_{1}^{ \prime}$ и $S_{2}^{ \prime}$, удаленных от задней поверхности второго автомобиля на такое же расстояние $L$. Алексей из точки A будет видеть (пунктирные линии) отражения своих фар в точках $s_{1}$ и $s_{2}$ на задней поверхности первого автомобиля. По условию, Алексей видит, что расстояние $a$ между отражениями фар в $x$ раз отличается от ширины машины, в которой отражаются фары. Следовательно, на графике из условия представлена зависимость от времени величины $x = a/b$. Выразим эту величину через расстояния $L$ и $l$.
Из рисунка видно, что треугольники $As_{1}s_{2}$ и $AS_{1}^{ \prime}S_{2}^{ \prime}$ подобны, высоты этих треугольников, проведенные из точки A, равны $h_{1} = l + L$ и $h_{2} = l + 2L$ соответственно. Для подобных треугольников выполняется соотношение
$\frac{s_{1}s_{2}}{h_{1}} = \frac{S_{1}^{ \prime}S_{2}^{ \prime}}{h_{2} } \Leftrightarrow \frac{a}{l + L} = \frac{b}{l + 2L}$.
Отсюда сразу получаем, что
$x = \frac{a}{b} = \frac{l + L}{l + 2L}$ (1)
Из этого выражения, в частности, видно, что ответ не зависит от того, где "по ширине" автомобиля располагается водитель, так как коэффициент подобия треугольников не изменится, если посадить водителя правее или левее.
Обозначим относительную скорость автомобилей через $u = v_{1} - v_{2}$. Тогда закон изменения расстояния между автомобилями с течением времени можно записать в виде
$L = L_{0} + ut$,
где $L_{0} = 3 м$ - расстояние между автомобилями в момент времени $t = 0$. Подставляя последнее выражение в формулу (1), окончательно получаем
$x(t) = \frac{l + L_{0} + ut }{l + 2L_{0} + 2ut }$ (2)
Это выражение содержит две неизвестных, поэтому для того, чтобы найти скорость $u$ (а значит, и искомую скорость второго автомобиля), необходимы два уравнения. Эти уравнения можно получить, использовав (2) для двух разных точек на графике, например, для моментов времени 0 с и 5 с:
$t = 0 с : 0,60 = \frac{l + 3 м}{l + 2 \cdot 3 м}$
$t = 5 с : 0,52 = \frac{l + 3 м + u \cdot 5 с}{l + 2 \cdot 3 м + 2u \cdot 5 с}$ (3)
Решая полученную систему уравнений (3), находим, что $u \approx 3 м/с$. Таким образом, скорость второго автомобиля равна
$v_{2} = v_{1} - u \approx 20 м/с - 3 м/с = 17 м/с$.
Ответ: Скорость второго автомобиля равна $v_{2} \approx 17 м/с$.
