Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10142
2019-01-29 
Металлическая плоскость $AA^{ \prime}$ снабжена датчиком, который регистрирует электрический заряд $Q$ ее заштрихованной части (полуплоскости, см. рис.). Плоскость заземлена, ее размеры велики. Над плоскостью стали медленно перемещать точечный заряд $q$. В результате его взаимодействия с плоскостью электроны металла сложным образом перераспределялись по плоскости. При различных значениях координаты $x$ точечного заряда дан график зависимости показаний датчика $Q(x)$. Определить траекторию заряда, если известно, что это некоторый четырехугольник, расположенный в плоскости рисунка. Минимальная высота заряда над плоскостью при движении по данной траектории равна $h_{0}$.
Решение:
Заштрихованная полуплоскость будет иметь отличный от нуля заряд, потому что свободные электроны металла взаимодействуют с зарядом $q$ и перераспределяются по заземленной плоскости (говорят, "на плоскости индуцируется заряд"). При этом из метода зеркальных изображений в электростатике известно, что поле этих электронов над плоскостью будет таким же, как если бы самой плоскости и электронов на ней не было, зато под плоскостью, зеркально по отношению к заряду $q$, располагался бы заряд $- q$, см. рис.
На самом деле, конечно, под плоскостью никакого заряда нет, в реальности заряд электронов как-то размазан по самой плоскости. Больше всего зарядов индуцировано напротив заряда, к краям плоскости плотность индуцированного заряда убывает. Из метода зеркальных изображений следует, что в любой точке над плоскостью напряженность поля такого изображения в точности такая же, как от поля системы индуцированных электронов. Отметим, что подробно познакомиться с методом зеркальных изображений можно, например, в учебнике Е.И. Бутиков, А.А. Быков, А.С. Кондратьев "Физика в примерах и задачах" в разделе "Электростатика".
Хотя неизвестно, как именно распределен заряд по плоскости, из метода зеркальных изображений также следует, что суммарный заряд плоскости равен $-q$. Действительно, если поле над плоскостью такое же, как от изображения, то, окружив плоскость замкнутой поверхностью $S$ и вычислив поток электрического поля через эту поверхность, получим такой же результат, как для потока через эту поверхность от изображения $-q$; с другой стороны, по теореме Гаусса поток через $S$ однозначно задается зарядом тела (системы тел), находящихся внутри $S$. Значит, если изображение $-q$ и индуцированные электроны создают одинаковое поле на поверхности $S$, то и суммарный заряд индуцированных электронов равен $-q$.
Теперь понятно, что когда заряд будет располагаться ровно над серединой плоскости, где-то на прямой $OO^{ \prime}$, датчик будет показывать $Q_{0} = -q/2$. Такие точки на графике действительно есть, они соответствуют $x = 0$. Именно в этих точках заряд пересекал $OO^{ \prime}$.
Из графика видно, что на некоторых участках изменение координаты $x$ заряда не сопровождается изменением показаний датчика: см. горизонтальные участки на интервалах $x \in (3x_{0}, 9x_{0})$ и $x \in (-12x_{0}, - 6x_{0})$. Покажем, что траектория заряда над плоскостью при этом должна быть прямолинейным отрезком, продолжение которого проходит через О, см. рис.
Действительно, зададим некоторое положение заряда над плоскостью, например, с помощью координат $a, b$, отсчитанных от точки О. Показания датчика могут зависеть от трех параметров системы: $q, a$ и $b$. Заметим, что дополнительных параметров размерности длины, не зависящих от $a$ и $b$, в системе нет. Однако, поскольку показания датчика $Q(q,a,b)$ имеют размерность заряда, размерности параметров $a$ и $b$ в функции $Q(q,a,b)$ должны сократиться. Поэтому с необходимостью
$Q(q,a,b) \equiv q \cdot f (a/b)$,
где $f(a/b)$ - некоторая неизвестная нам функция.
Но ведь это означает, что если при движении заряда над плоскостью угол $\gamma$ неизменен ($tg \gamma = b/a$), индуцированный заряд $Q$ постоянен.
Величина этого заряда зависит от угла $\gamma$. При $\gamma = 0$ индуцированный заряд, как уже отмечалось, равен $Q_{0} = -q/2$. Отклонение $Q$ от этого значения связано с ненулевой величиной угла $\gamma$. Из графика видно, что на интервалах постоянного $Q$ (при $x \in (3x_{0}, 9x_{0}$) и $x \in (-12x_{0}, - 6x_{0})$) отклонение заряда от симметричного значения $Q_{0}$ одинаковы и составляют 6 клеток. Это значит, что траектория содержит отрезки, представленные на рис.), у которых $\gamma$ одинаков по модулю. (На этом же рисунке внизу мы схематично приводим исходный график $Q(x)$ для удобства).
Правильно расположить эти отрезки над плоскостью (правильно масштабировать график по оси ординат) помогает известное значение $h_{0}$ - из рисунка понятно, что минимальное $h$ реализуется при $x = 3x_{0}$. Осталось лишь соединить полученные точки отрезки и получить искомый четырехугольник, см. рис.
Ответ: Траектория представлена на рис.
Металлическая плоскость $AA^{ \prime}$ снабжена датчиком, который регистрирует электрический заряд $Q$ ее заштрихованной части (полуплоскости, см. рис.). Плоскость заземлена, ее размеры велики. Над плоскостью стали медленно перемещать точечный заряд $q$. В результате его взаимодействия с плоскостью электроны металла сложным образом перераспределялись по плоскости. При различных значениях координаты $x$ точечного заряда дан график зависимости показаний датчика $Q(x)$. Определить траекторию заряда, если известно, что это некоторый четырехугольник, расположенный в плоскости рисунка. Минимальная высота заряда над плоскостью при движении по данной траектории равна $h_{0}$.
Решение:
Заштрихованная полуплоскость будет иметь отличный от нуля заряд, потому что свободные электроны металла взаимодействуют с зарядом $q$ и перераспределяются по заземленной плоскости (говорят, "на плоскости индуцируется заряд"). При этом из метода зеркальных изображений в электростатике известно, что поле этих электронов над плоскостью будет таким же, как если бы самой плоскости и электронов на ней не было, зато под плоскостью, зеркально по отношению к заряду $q$, располагался бы заряд $- q$, см. рис.
На самом деле, конечно, под плоскостью никакого заряда нет, в реальности заряд электронов как-то размазан по самой плоскости. Больше всего зарядов индуцировано напротив заряда, к краям плоскости плотность индуцированного заряда убывает. Из метода зеркальных изображений следует, что в любой точке над плоскостью напряженность поля такого изображения в точности такая же, как от поля системы индуцированных электронов. Отметим, что подробно познакомиться с методом зеркальных изображений можно, например, в учебнике Е.И. Бутиков, А.А. Быков, А.С. Кондратьев "Физика в примерах и задачах" в разделе "Электростатика".
Хотя неизвестно, как именно распределен заряд по плоскости, из метода зеркальных изображений также следует, что суммарный заряд плоскости равен $-q$. Действительно, если поле над плоскостью такое же, как от изображения, то, окружив плоскость замкнутой поверхностью $S$ и вычислив поток электрического поля через эту поверхность, получим такой же результат, как для потока через эту поверхность от изображения $-q$; с другой стороны, по теореме Гаусса поток через $S$ однозначно задается зарядом тела (системы тел), находящихся внутри $S$. Значит, если изображение $-q$ и индуцированные электроны создают одинаковое поле на поверхности $S$, то и суммарный заряд индуцированных электронов равен $-q$.
Теперь понятно, что когда заряд будет располагаться ровно над серединой плоскости, где-то на прямой $OO^{ \prime}$, датчик будет показывать $Q_{0} = -q/2$. Такие точки на графике действительно есть, они соответствуют $x = 0$. Именно в этих точках заряд пересекал $OO^{ \prime}$.
Из графика видно, что на некоторых участках изменение координаты $x$ заряда не сопровождается изменением показаний датчика: см. горизонтальные участки на интервалах $x \in (3x_{0}, 9x_{0})$ и $x \in (-12x_{0}, - 6x_{0})$. Покажем, что траектория заряда над плоскостью при этом должна быть прямолинейным отрезком, продолжение которого проходит через О, см. рис.
Действительно, зададим некоторое положение заряда над плоскостью, например, с помощью координат $a, b$, отсчитанных от точки О. Показания датчика могут зависеть от трех параметров системы: $q, a$ и $b$. Заметим, что дополнительных параметров размерности длины, не зависящих от $a$ и $b$, в системе нет. Однако, поскольку показания датчика $Q(q,a,b)$ имеют размерность заряда, размерности параметров $a$ и $b$ в функции $Q(q,a,b)$ должны сократиться. Поэтому с необходимостью
$Q(q,a,b) \equiv q \cdot f (a/b)$,
где $f(a/b)$ - некоторая неизвестная нам функция.
Но ведь это означает, что если при движении заряда над плоскостью угол $\gamma$ неизменен ($tg \gamma = b/a$), индуцированный заряд $Q$ постоянен.
Величина этого заряда зависит от угла $\gamma$. При $\gamma = 0$ индуцированный заряд, как уже отмечалось, равен $Q_{0} = -q/2$. Отклонение $Q$ от этого значения связано с ненулевой величиной угла $\gamma$. Из графика видно, что на интервалах постоянного $Q$ (при $x \in (3x_{0}, 9x_{0}$) и $x \in (-12x_{0}, - 6x_{0})$) отклонение заряда от симметричного значения $Q_{0}$ одинаковы и составляют 6 клеток. Это значит, что траектория содержит отрезки, представленные на рис.), у которых $\gamma$ одинаков по модулю. (На этом же рисунке внизу мы схематично приводим исходный график $Q(x)$ для удобства).
Правильно расположить эти отрезки над плоскостью (правильно масштабировать график по оси ординат) помогает известное значение $h_{0}$ - из рисунка понятно, что минимальное $h$ реализуется при $x = 3x_{0}$. Осталось лишь соединить полученные точки отрезки и получить искомый четырехугольник, см. рис.
Ответ: Траектория представлена на рис.
