Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10141
2019-01-29 
Спираль KM, изображенная на рисунке, имеет радиус $a$ и число витков $N$. Электрическое сопротивление спирали $R$. На ее оси расположена проволока $OO^{ \prime}$; короткими прямыми отрезками проволоки конец спирали K соединили с точкой О, а конец M - с точкой $O^{ \prime}$. Внешнее магнитное поле индукции $B$ сонаправлено с осью спирали. В системе также имеется проводящая стрелка S длиной $a$, один конец которой может скользить по проволоке $OO^{ \prime}$, а другой - по спирали. Первоначально стрелка располагалась посередине спирали; затем ее начали медленно сдвигать к краю спирали так, что стрелка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определите силу, которую необходимо прикладывать для этого к стрелке в каждый момент времени. Все сопротивления, кроме сопротивления спирали, пренебрежимо малы. Самоиндукция катушки мала. Силой тяжести и силой трения пренебречь.
Решение:
Пусть для определенности стрелка перемещается к правому концу спирали. В описанной системе имеется два замкнутых контура, магнитный поток через которые меняется при движении стрелки: контур $KOS$ и контур $O^{ \prime} MS$. Обозначим сопротивления этих контуров в момент времени $t$ через $R_{1} (t)$ и $R_{2} (t)$ соответственно.
В результате изменения магнитного потока, в каждом из этих контуров появится ЭДС индукции (по закону Фарадея). Вычислим эту ЭДС. Стрелку по условию перемещают равномерно, значит магнитный поток меняется равномерно: за время $T = 2 \pi / \omega$ конец стрелки совершает полный оборот. При этом число витков левой полуспирали увеличивается на единицу, а число витков правой - уменьшается на столько же. Магнитный поток в обеих полуспиралях меняется на $B \pi a^{2}$, соответственно в каждой полуспирали ЭДС равна
$| \mathcal{E} | = \frac{B \pi a^{2} }{T} = \frac{Ba^{2} \omega }{2}$.
Таким образом, в двух упомянутых контурах возникнут токи: $I_{1} (t) = \mathcal{E}/R_{1} (t)$ в контуре $KOS$ и $I_{2}(t) = \mathcal{E}/R_{2} (t)$ в контуре $O^{ \prime}MS$.
Разберемся, как направлены эти токи. Магнитный поток контура $O^{ \prime}MS$ убывает, ведь у этого контура со временем уменьшается число витков. По правилу Ленца ток, возникающий в контуре, будет создавать внутри себя магнитное поле, чтобы компенсировать уменьшение магнитного потока. Т.е. магнитное поле тока $I_{2}$ будет направлена также, как и $B$. Рассуждая аналогично, получим, что магнитное поле тока $I_{1}$ компенсирует увеличение магнитного потока в контуре KOS, поэтому направлено противоположно внешнему магнитному полю $B$. Итак, мы получили, что при движении стрелки токи в полуспиралях будут направлены в разные стороны.
Несложно понять, что при этом данные токи будут складываться, протекая через стрелку. Суммарный ток, текущий через стрелку в данный момент, будет
$I = I_{1}(t) + I_{2} (t) = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1}(t) } + \frac{ \mathcal{E} }{R_{2}(t) } = \frac{Ba^{2} \omega }{2} \left ( \frac{1}{R_{1}(t) } + \frac{1}{R_{2}(t) } \right )$. (5)
поэтому на стрелку со стороны внешнего поля будет действовать сила Ампера $IBa$. Именно такую силу надо прикладывать к стрелке, чтобы скомпенсировать эту силу - чтобы она двигалась равномерно. Остальными силами - трения, тяжести, влиянием магнитного поля самой катушки - следует пренебречь по условию задачи.
Осталось найти зависимости $R_{1}(t)$ и $R_{2}(t)$. Первоначально, при $t = 0$, эти сопротивления были равны $R/2$, затем они убывают или возрастают на величину сопротивления одного витка $R/N$ за каждый промежуток времени $T$:
$R_{1}(t) = \frac{R}{2} + \frac{R}{N} \frac{t}{T} = \frac{R}{2} + \frac{Rt \omega}{2 N \pi} = \frac{R( \pi N + \omega t)}{2 \pi N}, R_{2}(t) = \frac{R( \pi N - \omega t)}{2 \pi N}$.
Подставляя это в (5), находим $I$, а затем силу $IBa$.
Ответ: Необходимо прикладывать силу, компенсирующую силу Ампера, направленную поперек стрелки, равную по модулю
$F_{A} = \frac{2 \pi^{2} N^{2} B^{2} a^{3} \omega }{R ( \pi^{2}N^{2} - \omega^{2} t^{2} )}$.
Спираль KM, изображенная на рисунке, имеет радиус $a$ и число витков $N$. Электрическое сопротивление спирали $R$. На ее оси расположена проволока $OO^{ \prime}$; короткими прямыми отрезками проволоки конец спирали K соединили с точкой О, а конец M - с точкой $O^{ \prime}$. Внешнее магнитное поле индукции $B$ сонаправлено с осью спирали. В системе также имеется проводящая стрелка S длиной $a$, один конец которой может скользить по проволоке $OO^{ \prime}$, а другой - по спирали. Первоначально стрелка располагалась посередине спирали; затем ее начали медленно сдвигать к краю спирали так, что стрелка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Определите силу, которую необходимо прикладывать для этого к стрелке в каждый момент времени. Все сопротивления, кроме сопротивления спирали, пренебрежимо малы. Самоиндукция катушки мала. Силой тяжести и силой трения пренебречь.
Решение:
Пусть для определенности стрелка перемещается к правому концу спирали. В описанной системе имеется два замкнутых контура, магнитный поток через которые меняется при движении стрелки: контур $KOS$ и контур $O^{ \prime} MS$. Обозначим сопротивления этих контуров в момент времени $t$ через $R_{1} (t)$ и $R_{2} (t)$ соответственно.
В результате изменения магнитного потока, в каждом из этих контуров появится ЭДС индукции (по закону Фарадея). Вычислим эту ЭДС. Стрелку по условию перемещают равномерно, значит магнитный поток меняется равномерно: за время $T = 2 \pi / \omega$ конец стрелки совершает полный оборот. При этом число витков левой полуспирали увеличивается на единицу, а число витков правой - уменьшается на столько же. Магнитный поток в обеих полуспиралях меняется на $B \pi a^{2}$, соответственно в каждой полуспирали ЭДС равна
$| \mathcal{E} | = \frac{B \pi a^{2} }{T} = \frac{Ba^{2} \omega }{2}$.
Таким образом, в двух упомянутых контурах возникнут токи: $I_{1} (t) = \mathcal{E}/R_{1} (t)$ в контуре $KOS$ и $I_{2}(t) = \mathcal{E}/R_{2} (t)$ в контуре $O^{ \prime}MS$.
Разберемся, как направлены эти токи. Магнитный поток контура $O^{ \prime}MS$ убывает, ведь у этого контура со временем уменьшается число витков. По правилу Ленца ток, возникающий в контуре, будет создавать внутри себя магнитное поле, чтобы компенсировать уменьшение магнитного потока. Т.е. магнитное поле тока $I_{2}$ будет направлена также, как и $B$. Рассуждая аналогично, получим, что магнитное поле тока $I_{1}$ компенсирует увеличение магнитного потока в контуре KOS, поэтому направлено противоположно внешнему магнитному полю $B$. Итак, мы получили, что при движении стрелки токи в полуспиралях будут направлены в разные стороны.
Несложно понять, что при этом данные токи будут складываться, протекая через стрелку. Суммарный ток, текущий через стрелку в данный момент, будет
$I = I_{1}(t) + I_{2} (t) = \frac{ \mathcal{E} }{R_{1}(t) } + \frac{ \mathcal{E} }{R_{2}(t) } = \frac{Ba^{2} \omega }{2} \left ( \frac{1}{R_{1}(t) } + \frac{1}{R_{2}(t) } \right )$. (5)
поэтому на стрелку со стороны внешнего поля будет действовать сила Ампера $IBa$. Именно такую силу надо прикладывать к стрелке, чтобы скомпенсировать эту силу - чтобы она двигалась равномерно. Остальными силами - трения, тяжести, влиянием магнитного поля самой катушки - следует пренебречь по условию задачи.
Осталось найти зависимости $R_{1}(t)$ и $R_{2}(t)$. Первоначально, при $t = 0$, эти сопротивления были равны $R/2$, затем они убывают или возрастают на величину сопротивления одного витка $R/N$ за каждый промежуток времени $T$:
$R_{1}(t) = \frac{R}{2} + \frac{R}{N} \frac{t}{T} = \frac{R}{2} + \frac{Rt \omega}{2 N \pi} = \frac{R( \pi N + \omega t)}{2 \pi N}, R_{2}(t) = \frac{R( \pi N - \omega t)}{2 \pi N}$.
Подставляя это в (5), находим $I$, а затем силу $IBa$.
Ответ: Необходимо прикладывать силу, компенсирующую силу Ампера, направленную поперек стрелки, равную по модулю
$F_{A} = \frac{2 \pi^{2} N^{2} B^{2} a^{3} \omega }{R ( \pi^{2}N^{2} - \omega^{2} t^{2} )}$.
