2016-09-17
Тележка, состоящая из двух пар колёс, соединённых лёгким и абсолютно жёстким стержнем длиной $l$, наезжает со скоростью $v$ на наклонную плоскость с углом наклона $\alpha$ (см. рисунок). Определите скорость тележки и сразу после того, как она полностью въедет на плоскость. Вся масса $M$ каждой колёсной пары сосредоточена в её оси, удары абсолютно неупругие (то есть шины «мягкие»). Трением пренебречь.
Решение:
Рассмотрим соударение передней пары колёс с наклонной плоскостью. Поскольку удар неупругий, то в момент удара колёс о плоскость сохраняется проекция импульса тележки на эту плоскость:
$2Mv \cos \alpha = M v_{1}^{ \prime} + M v_{2}^{ \prime} \cos \alpha$,
где $v_{1}^{ \prime}$ и $v_{2}^{ \prime}$ — скорости передней и задней пар колёс после рассматриваемого удара. Поскольку длина стержня не меняется, то $v_{1}^{ \prime} \cos \alpha = v_{2}^{ \prime}$ и $v_{1}^{ \prime} = \frac{2v \cos \alpha}{1 + \cos^{2} \alpha}$. Далее передняя пара колёс тележки движется по наклонной плоскости, а задняя — по горизонтальной. Скорость передней пары колёс $u_{1}$ перед вторым ударом, когда стержень располагается параллельно наклонной плоскости, можно найти из закона сохранения механической энергии, учитывая, что скорость задней пары колёс в этот момент направлена горизонтально и равна $u_{2} = u_{1}/ \cos \alpha$:
$\frac{M (v_{1}^{ \prime})^{2}}{2} + \frac{M (v_{1}^{ \prime} \cos \alpha)^{2}}{2} = \frac{M u_{1}^{2}}{2} + \frac{M (u_{1}/ \cos \alpha)^{2}}{2} + Mgl \sin \alpha$.
Соударение задней пары колёс с наклонной плоскостью рассматривается аналогично первому удару: $Mu_{1} + Mu_{2} \co \alpha = 2Mu$. Отсюда следует, что после второго удара скорость $u$ обеих пар колёс будет одинакова, направлена вдоль наклонной плоскости и равна
$u = u_{1} = \sqrt{ \frac{4 \cos^{4} \alpha}{(1 + \cos^{2} \alpha)^{2}} - \frac{2 \sin \alpha \cos^{2} \alpha}{1 + \cos^{2} \alpha}gl }$.
Для того, чтобы тележка полностью въехала на плоскость, подкоренное выражение в последнем соотношении должно быть неотрицательным, то есть начальная скорость тележки должна удовлетворять условию $v \geq \sqrt{ \frac{ \sin \alpha (1 + \cos^{2} \alpha)}{2 \cos^{2} \alpha}gl }$.