Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10137
2019-01-29 
Из проволоки спаяли большую решетку, ячейки которой имеют вид маленьких правильных шестиугольников. Затем из нее вырезали большой квадрат ABCD, ориентированный так, как показано на рисунке. К сторонам AB и CD прикрепили длинные контакты, между которыми измерили сопротивление. Чему оно получилось равным, если сопротивление каждого ребра решетки равно $R$? Считайте, что в квадрат попадает очень много ячеек.
После этого из другой части решетки вырезали квадрат $A^{ \prime} B^{ \prime} C^{ \prime} D^{ \prime}$ такого же размера, но повернутый на $45^{ \circ}$. Вновь измерили сопротивление, теперь между контактами, прикрепленными к сторонам $A^{ \prime}B^{ \prime}$ и $C^{ \prime} D^{ \prime}$. Какое сопротивление получилось на этот раз?
Решение:
Рассмотрим сначала первый эксперимент (Рис. a). Заметим, что в силу симметрии вдоль вертикальной координаты, точки решетки, имеющие одинаковую горизонтальную координату, находятся под одинаковым напряжением. Иными словами напряжение между всеми точками на любой вертикальной прямой равно нулю (про такие точки говорят, что они имеют одинаковый электрический потенциал).
Узлы, имеющие одинаковый потенциал (через них на рисунке проведены пунктирные линии) можно объединить в одну точку, и сопротивление решетки при этом не изменится. Сделав это получим изображенную на Рис. a эквивалентную схему. Каждое сопротивление в ней получилось из параллельного соединения $n$ сопротивлений $R$, а значит равно $R/n$, где $n$ - определяется количеством ячеек, попавших в квадрат. Чтобы найти $n$ заметим, что расстояние между сопротивлениями по вертикали равно $1,5a$, а размер решетки по вертикали равен $L$. Значит $n = L/(1,5a)$. Расстояние между сопротивлениями по горизонтали равно $\sqrt{3}a/2$, а значит всего в эквивалентной схеме последовательно соединено
$m = \frac{L}{ \sqrt{3}a/2 }$
сопротивлений.
Тогда получаем, что полное сопротивление измеренное в первом эксперименте, равно
$R_{0} = m \frac{R}{n} = \sqrt{3} R$.
Перед тем как вычислять сопротивление, измеренное во втором эксперименте, рассмотрим вспомогательную задачу: что получилось бы, если бы напряжение приложили между сторонами AD и BC первого квадрата, см. Рис. б. Рассуждая аналогично, объединим точки с равными потенциалами (напряжение между этими точками равно нулю). В результате придем к эквивалентной схеме, изображенной на Рис. б. В отличии от предыдущего случая в этой схеме чередуются сопротивления двух сортов: полученные из параллельного соединения $m$ сопротивлений $R$ и из параллельного соединения $m/2$ сопротивлений $R$. Сопротивлений каждого из сортов в схеме будет $n$ штук. Числа $n$ и $m$, как легко проверить, здесь такие же как и в предыдущем случае. Тогда получаем полное сопротивление
$R_{0} = n \frac{R}{m} + n \frac{R}{m/2} = \frac{3nR}{m} = \sqrt{3}R$.
Таким образом, в нашей вспомогательной задаче мы получили тот же самый ответ, что и в первом случае. Теперь, чтобы найти результат, полученный во втором эксперименте, нужно "наложить" друг на друга два уже рассмотренных случая. При этом ответ получится снова $\sqrt{3}R$. Пояснить это можно следующим образом.
Пусть, для определенности, к контактам прикладывают напряжение $U_{0}$.
Если смотреть на решётку "издали" (не различая отдельные ячейки), то она будет похожа на некую сплошную пластину. Направим ось х по отрезку AD, а ось у по AB. Вдоль этих осей наша пластина однородна. Следовательно, при подключении напряжения U0 между контактами AB и CD (как в первом случае), напряжение будет меняться линейно вдоль координаты $x$. То есть можно написать, что
$U_{1}(x) = \frac{U_{0}x}{L}$ (1)
Под $U(x)$ здесь подразумевается напряжение между контактом AB и точками схемы на вертикальной линии с горизонтальной координатой $x$.
Если же напряжение $U_{0}$ приложить к контактам AD и BC (как во вспомогательной задаче), то напряжение будет меняться линейно вдоль оси у:
$U_{1*} = \frac{U_{0}y}{L}$. (2)
При этом, в обоих случая, через квадрат будут течь одинаковые по величине токи $I_{0} = \frac{U_{0}}{R_{0}}$. В первом случае ток будет течь по горизонтали, во втором - по вертикали.
Полученные выражения для напряжений и токов можно продолжить на всю решётку. Если теперь воспользоваться принципом суперпозиции и рассмотреть ситуацию, когда напряжения приложены и в вертикальном и в горизонтальном направлениях одновременно, то на прямой $x + y = 0$ получится $U(x + y = 0) = 0$, а на прямой $x + y = \sqrt{2}L$ будет $U(x + y = \sqrt{2}L) = U_{0}(x + y)/L = \sqrt{2}U_{0}$ (напряжения являются величинами скалярными, поэтому их нужно просто сложить). Расстояние между такими прямыми в точности равно $L$ и можно считать, что отрезки $A^{ \prime}B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}D^{ \prime}$ располагаются на этих прямых (естественно, здесь подразумевается, что квадрат ABCD не вырезан, и мы имеем сейчас дело с целой сеткой).
Сложим теперь токи. В первом случае, как уже говорилось, ток $I_{0}$ будет течь вдоль оси х, а во втором случае - вдоль оси у. Токи - величины векторные, они имеют не только абсолютную величину, но и направление, поэтому при наложении суммарный ток будет равен $\sqrt{2}I_{0}$ и будет течь под углом $45^{ \circ}$.
У нас получилось, то же самое, как если бы к контактам $A^{ \prime}B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}D^{ \prime}$ приложили напряжение $\sqrt{2}U_{0}$ и получили ток $\sqrt{2}I_{0}$. Это значит, что в этом случае, как и раньше, сопротивление квадрата будет равно $\sqrt{3}R$.
Ответ: В обоих случаях получили сопротивление $\sqrt{3}R$.
Из проволоки спаяли большую решетку, ячейки которой имеют вид маленьких правильных шестиугольников. Затем из нее вырезали большой квадрат ABCD, ориентированный так, как показано на рисунке. К сторонам AB и CD прикрепили длинные контакты, между которыми измерили сопротивление. Чему оно получилось равным, если сопротивление каждого ребра решетки равно $R$? Считайте, что в квадрат попадает очень много ячеек.
После этого из другой части решетки вырезали квадрат $A^{ \prime} B^{ \prime} C^{ \prime} D^{ \prime}$ такого же размера, но повернутый на $45^{ \circ}$. Вновь измерили сопротивление, теперь между контактами, прикрепленными к сторонам $A^{ \prime}B^{ \prime}$ и $C^{ \prime} D^{ \prime}$. Какое сопротивление получилось на этот раз?
Решение:
Рассмотрим сначала первый эксперимент (Рис. a). Заметим, что в силу симметрии вдоль вертикальной координаты, точки решетки, имеющие одинаковую горизонтальную координату, находятся под одинаковым напряжением. Иными словами напряжение между всеми точками на любой вертикальной прямой равно нулю (про такие точки говорят, что они имеют одинаковый электрический потенциал).
Узлы, имеющие одинаковый потенциал (через них на рисунке проведены пунктирные линии) можно объединить в одну точку, и сопротивление решетки при этом не изменится. Сделав это получим изображенную на Рис. a эквивалентную схему. Каждое сопротивление в ней получилось из параллельного соединения $n$ сопротивлений $R$, а значит равно $R/n$, где $n$ - определяется количеством ячеек, попавших в квадрат. Чтобы найти $n$ заметим, что расстояние между сопротивлениями по вертикали равно $1,5a$, а размер решетки по вертикали равен $L$. Значит $n = L/(1,5a)$. Расстояние между сопротивлениями по горизонтали равно $\sqrt{3}a/2$, а значит всего в эквивалентной схеме последовательно соединено
$m = \frac{L}{ \sqrt{3}a/2 }$
сопротивлений.
Тогда получаем, что полное сопротивление измеренное в первом эксперименте, равно
$R_{0} = m \frac{R}{n} = \sqrt{3} R$.
Перед тем как вычислять сопротивление, измеренное во втором эксперименте, рассмотрим вспомогательную задачу: что получилось бы, если бы напряжение приложили между сторонами AD и BC первого квадрата, см. Рис. б. Рассуждая аналогично, объединим точки с равными потенциалами (напряжение между этими точками равно нулю). В результате придем к эквивалентной схеме, изображенной на Рис. б. В отличии от предыдущего случая в этой схеме чередуются сопротивления двух сортов: полученные из параллельного соединения $m$ сопротивлений $R$ и из параллельного соединения $m/2$ сопротивлений $R$. Сопротивлений каждого из сортов в схеме будет $n$ штук. Числа $n$ и $m$, как легко проверить, здесь такие же как и в предыдущем случае. Тогда получаем полное сопротивление
$R_{0} = n \frac{R}{m} + n \frac{R}{m/2} = \frac{3nR}{m} = \sqrt{3}R$.
Таким образом, в нашей вспомогательной задаче мы получили тот же самый ответ, что и в первом случае. Теперь, чтобы найти результат, полученный во втором эксперименте, нужно "наложить" друг на друга два уже рассмотренных случая. При этом ответ получится снова $\sqrt{3}R$. Пояснить это можно следующим образом.
Пусть, для определенности, к контактам прикладывают напряжение $U_{0}$.
Если смотреть на решётку "издали" (не различая отдельные ячейки), то она будет похожа на некую сплошную пластину. Направим ось х по отрезку AD, а ось у по AB. Вдоль этих осей наша пластина однородна. Следовательно, при подключении напряжения U0 между контактами AB и CD (как в первом случае), напряжение будет меняться линейно вдоль координаты $x$. То есть можно написать, что
$U_{1}(x) = \frac{U_{0}x}{L}$ (1)
Под $U(x)$ здесь подразумевается напряжение между контактом AB и точками схемы на вертикальной линии с горизонтальной координатой $x$.
Если же напряжение $U_{0}$ приложить к контактам AD и BC (как во вспомогательной задаче), то напряжение будет меняться линейно вдоль оси у:
$U_{1*} = \frac{U_{0}y}{L}$. (2)
При этом, в обоих случая, через квадрат будут течь одинаковые по величине токи $I_{0} = \frac{U_{0}}{R_{0}}$. В первом случае ток будет течь по горизонтали, во втором - по вертикали.
Полученные выражения для напряжений и токов можно продолжить на всю решётку. Если теперь воспользоваться принципом суперпозиции и рассмотреть ситуацию, когда напряжения приложены и в вертикальном и в горизонтальном направлениях одновременно, то на прямой $x + y = 0$ получится $U(x + y = 0) = 0$, а на прямой $x + y = \sqrt{2}L$ будет $U(x + y = \sqrt{2}L) = U_{0}(x + y)/L = \sqrt{2}U_{0}$ (напряжения являются величинами скалярными, поэтому их нужно просто сложить). Расстояние между такими прямыми в точности равно $L$ и можно считать, что отрезки $A^{ \prime}B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}D^{ \prime}$ располагаются на этих прямых (естественно, здесь подразумевается, что квадрат ABCD не вырезан, и мы имеем сейчас дело с целой сеткой).
Сложим теперь токи. В первом случае, как уже говорилось, ток $I_{0}$ будет течь вдоль оси х, а во втором случае - вдоль оси у. Токи - величины векторные, они имеют не только абсолютную величину, но и направление, поэтому при наложении суммарный ток будет равен $\sqrt{2}I_{0}$ и будет течь под углом $45^{ \circ}$.
У нас получилось, то же самое, как если бы к контактам $A^{ \prime}B^{ \prime}$ и $C^{ \prime}D^{ \prime}$ приложили напряжение $\sqrt{2}U_{0}$ и получили ток $\sqrt{2}I_{0}$. Это значит, что в этом случае, как и раньше, сопротивление квадрата будет равно $\sqrt{3}R$.
Ответ: В обоих случаях получили сопротивление $\sqrt{3}R$.
