Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10135
2019-01-29 
Идеальный газ участвует в процессе, в ходе которого его давление, объем и температура меняются. Зависимость от времени давления и объема газа представлена на графиках. Постройте график зависимости от времени для температуры газа. В начальный момент температура газа была равна $T_{0}$, величина $t_{0}$ известна.
Решение:
Запишем зависимость давления и объема от времени в виде формул. При временах $0 \leq t \leq t_{0}$
$p(t) = p_{0} + \frac{p_{0}}{t_{0}} t = p_{0} \left ( 1 + \frac{t}{t_{0} } \right ), V(t) = 2V_{0} - \frac{V_{0} }{t_{0} } t = 2V_{0} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева температура пропорциональна произведению этих величин:
$T(t) = \frac{p(t)V(t) }{ \nu R} = \frac{3p_{0}V_{0} }{ \nu R} \left ( 1 + \frac{t}{t_{0} } \right ) \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$, (1)
здесь $R$ - универсальная газовая постоянная, $\nu$ - количество вещества газа. Поскольку при $t = 0$ это выражение равно $3p_{0}V_{0}/ \nu R$, а с другой стороны по условию это $T_{0}$, ф-лу (1) можно переписать:
$T(t) = T_{0} \left ( 1 + \frac{t}{t_{0} } \right ) \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$.
График этой зависимости - парабола, ветви которой направлены вниз, а корни $t = - t_{0}$ и $t = 3t_{0}$. Вершина параболы в точке $t = t_{0}$, значение в вершине $T(t_{0}) = 4T_{0}/3$. Итак, на интервале $0 \leq t \leq t_{0}$ температура возрастает со временем, достигая в точке $t = t_{0}$ максимума.
Для исследования температуры при временах $t_{0} \leq t \leq 2t_{0}$, используем для зависимости давления и объема от времени формулы
$p(t) = 2p_{0}, V(t) = 3V_{0} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$.
Рассуждая аналогично, получим
$T(t) = \frac{6p_{0}V_{0} }{ \nu R} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right ) = 2T_{0} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$
что на этом интервале соответствует линейному убыванию температуры от $T(t_{0}) = 4T_{0}/3$ до $T(2t_{0}) = 2T_{0}/3$. Наконец, при больших временах $p(t) = 2p_{0}, V(t) = V_{0}$, поэтому температура $T(t) = 2p_{0}V_{0} = 2T_{0}/3$ не меняется.
Изобразив всю полученную информацию на одном графике, получим ответ.
Идеальный газ участвует в процессе, в ходе которого его давление, объем и температура меняются. Зависимость от времени давления и объема газа представлена на графиках. Постройте график зависимости от времени для температуры газа. В начальный момент температура газа была равна $T_{0}$, величина $t_{0}$ известна.
Решение:
Запишем зависимость давления и объема от времени в виде формул. При временах $0 \leq t \leq t_{0}$
$p(t) = p_{0} + \frac{p_{0}}{t_{0}} t = p_{0} \left ( 1 + \frac{t}{t_{0} } \right ), V(t) = 2V_{0} - \frac{V_{0} }{t_{0} } t = 2V_{0} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева температура пропорциональна произведению этих величин:
$T(t) = \frac{p(t)V(t) }{ \nu R} = \frac{3p_{0}V_{0} }{ \nu R} \left ( 1 + \frac{t}{t_{0} } \right ) \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$, (1)
здесь $R$ - универсальная газовая постоянная, $\nu$ - количество вещества газа. Поскольку при $t = 0$ это выражение равно $3p_{0}V_{0}/ \nu R$, а с другой стороны по условию это $T_{0}$, ф-лу (1) можно переписать:
$T(t) = T_{0} \left ( 1 + \frac{t}{t_{0} } \right ) \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$.
График этой зависимости - парабола, ветви которой направлены вниз, а корни $t = - t_{0}$ и $t = 3t_{0}$. Вершина параболы в точке $t = t_{0}$, значение в вершине $T(t_{0}) = 4T_{0}/3$. Итак, на интервале $0 \leq t \leq t_{0}$ температура возрастает со временем, достигая в точке $t = t_{0}$ максимума.
Для исследования температуры при временах $t_{0} \leq t \leq 2t_{0}$, используем для зависимости давления и объема от времени формулы
$p(t) = 2p_{0}, V(t) = 3V_{0} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$.
Рассуждая аналогично, получим
$T(t) = \frac{6p_{0}V_{0} }{ \nu R} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right ) = 2T_{0} \left ( 1 - \frac{t}{3t_{0} } \right )$
что на этом интервале соответствует линейному убыванию температуры от $T(t_{0}) = 4T_{0}/3$ до $T(2t_{0}) = 2T_{0}/3$. Наконец, при больших временах $p(t) = 2p_{0}, V(t) = V_{0}$, поэтому температура $T(t) = 2p_{0}V_{0} = 2T_{0}/3$ не меняется.
Изобразив всю полученную информацию на одном графике, получим ответ.
