Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1013
2016-09-17 
На гладкой горизонтальной поверхности лежат два клина с массами $M_{1}$ и $M_{2}$ и углами при основаниях $\alpha$ и $\beta$ (см. рисунок). На клинья опускают без начальной скорости гладкий цилиндр массой $M$ так, что он касается клиньев своими образующими. Найдите отношение скоростей клиньев после того, как цилиндр коснётся горизонтальной поверхности.
Решение:
В системе отсчёта, в которой горизонтальная скорость цилиндра равна нулю (см. рис.), смещение цилиндра по вертикали за малое время на $\Delta y < 0$ вызывает смещения клиньев по горизонтали, равные $ \Delta y ctg \alpha - \Delta y ctg \beta$. Поскольку в неподвижной системе отсчёта центр цилиндра смещается по горизонтали ещё на некоторое расстояние $\Delta x$, то суммарные смещения клиньев относительно поверхности равны $\Delta x_{1} = \Delta x + \Delta y ctg \alpha$ и $\Delta x_{2} = \Delta x — \Delta y ctg \beta$. Поэтому скорости левого и правого клиньев $v_{1}$ и $v_{2}$ и проекции скорости цилиндра $v_{x}$ и $v_{y}$ связаны соотношениями: $v_{1} = v_{x} + v_{y} ctg \alpha$ и $v_{2} = v_{x} — v_{y} ctg \beta$. Проекция импульса данной системы тел на горизонтальное направление во время движения постоянна и равна нулю: $M_{1}v_{1} + M_{2}v_{2} + Mv_{x} = 0$. Исключая $v_{x}$ и $v_{y}$ из написанных уравнений, получим, что отношение скоростей клиньев равно:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = - \frac{M tg \beta + M_{2}( tg \alpha + tg \beta)}{M tg \alpha + M_{1}( tg \alpha + tg \beta)}$.
Заметим, что контакт цилиндра с обоими клиньями сохраняется до момента его соприкосновения с горизонтальной поверхностью, и полученное отношение будет справедливо и после этого момента, когда скорости клиньев достигнут максимума и далее уже не будут изменяться.
На гладкой горизонтальной поверхности лежат два клина с массами $M_{1}$ и $M_{2}$ и углами при основаниях $\alpha$ и $\beta$ (см. рисунок). На клинья опускают без начальной скорости гладкий цилиндр массой $M$ так, что он касается клиньев своими образующими. Найдите отношение скоростей клиньев после того, как цилиндр коснётся горизонтальной поверхности.
Решение:
В системе отсчёта, в которой горизонтальная скорость цилиндра равна нулю (см. рис.), смещение цилиндра по вертикали за малое время на $\Delta y < 0$ вызывает смещения клиньев по горизонтали, равные $ \Delta y ctg \alpha - \Delta y ctg \beta$. Поскольку в неподвижной системе отсчёта центр цилиндра смещается по горизонтали ещё на некоторое расстояние $\Delta x$, то суммарные смещения клиньев относительно поверхности равны $\Delta x_{1} = \Delta x + \Delta y ctg \alpha$ и $\Delta x_{2} = \Delta x — \Delta y ctg \beta$. Поэтому скорости левого и правого клиньев $v_{1}$ и $v_{2}$ и проекции скорости цилиндра $v_{x}$ и $v_{y}$ связаны соотношениями: $v_{1} = v_{x} + v_{y} ctg \alpha$ и $v_{2} = v_{x} — v_{y} ctg \beta$. Проекция импульса данной системы тел на горизонтальное направление во время движения постоянна и равна нулю: $M_{1}v_{1} + M_{2}v_{2} + Mv_{x} = 0$. Исключая $v_{x}$ и $v_{y}$ из написанных уравнений, получим, что отношение скоростей клиньев равно:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = - \frac{M tg \beta + M_{2}( tg \alpha + tg \beta)}{M tg \alpha + M_{1}( tg \alpha + tg \beta)}$.
Заметим, что контакт цилиндра с обоими клиньями сохраняется до момента его соприкосновения с горизонтальной поверхностью, и полученное отношение будет справедливо и после этого момента, когда скорости клиньев достигнут максимума и далее уже не будут изменяться.
