Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10126
2019-01-29 
Плоский заряженный конденсатор емкостью $C_{F} = 1 мкФ$ имел воздушную прослойку между пластинами. Его целиком заполнили жидкостью с относительной диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, у которой имеется сильная зависимость от температуры: $\epsilon(T) = 1 + (T/T_{*})^{2}$, где $T$ - температура жидкости в градусах Цельсия, $T_{*} = 31,623^{ \circ} C$. Оказалось, что из-за добавок, случайно попавших в жидкость, она слабо проводит электрический ток, в результате чего конденсатор стал медленно разряжаться через жидкость. В момент начала разрядки заряд конденсатора был равен $Q = 10 мКл$. Не закипит ли жидкость внутри конденсатора? Теплоемкость всей жидкости в конденсаторе $C = 1,4 Дж/^{ \circ} C$, температура кипения жидкости $T_{1} = 30^{ \circ} C$, начальная температура конденсатора $T_{0} = 0^{ \circ} C$. Тепловыми потерями и теплоемкостью пластин конденсатора пренебречь.
Решение:
Чтобы изучить процесс разрядки конденсатора, рассмотрим произвольный малый промежуток времени $\Delta t$ процесса в течение которого заряд конденсатора $q$ уменьшился на $\Delta q$. При этом через конденсатор тек некоторый ток $I = \Delta q/ \Delta t$, который подчинялся закону Ома $I = U/ R$, где $U$ - напряжение на конденсаторе в рассматриваемый момент, $R$ - электрическое сопротивление слоя жидкости в конденсаторе.
При протекании тока в конденсаторе выделяется джоулево тепло $I^{2}R \Delta t$, которое можно записать в виде
$\frac{ \Delta q}{ \Delta t} \frac{U}{R} \Delta t = \Delta q \frac{q}{ \epsilon C_{F} }$.
Каждая из дробей в левой части представляет здесь ток $I$, кроме того в последней формуле мы воспользовались тем, что напряжение конденсатора связано с его текущим зарядом $q$ и емкостью $\epsilon C_{F}$ по закону $U = \frac{q}{ \epsilon C_{F}}$.
Полученное тепло обеспечивает нагрев жидкости $\frac{ \Delta qq}{ \epsilon C_{F}} = C \Delta T$. Запишем данное соотношение в виде
$\frac{ \Delta qq}{ \epsilon CC_{F}} = \epsilon (T) \Delta T$
Оно справедливо для каждого малого промежутка времени, поэтому напишем такие соотношения для каждого промежутка и просуммируем их почленно. Для простоты будем предполагать, что промежутки времени выбраны так, что все $\Delta q$ одинаковые, и на $n$-том промежутке $q = Q - n \Delta q$. Число таких промежутков $N = Q/ \Delta q$ считаем очень большим. Суммирование левых частей таких уравнений тогда будет состоять из $N$ слагаемых
$\frac{ \Delta q}{CC_{F} } (Q + (Q - \Delta q) + (Q - 2 \Delta q) + \cdots + 2 \Delta q + \Delta q )$,
образующих арифметическую прогрессию. Вычисляя ее, находим результат
$S = \frac{Q}{2} \frac{N \Delta q}{CC_{F}} = \frac{Q^{2}}{2CC_{F}} \sim 35,7$
Суммирование правых частей - слагаемых $\epsilon (T) \Delta T$ - соответствует площади под графиком $\epsilon (T)$ на интервале температур от $T_{0}$ до конечной температуры $T^{ \prime}$ жидкости. График этот по условию имеет вид параболы $\epsilon (T) = 1 + T^{2}/1000$. При увеличении $T^{ \prime}$ площадь под графиком становится все больше. Если площадь на интервале $T \in (0, 30)$ больше $S$, выравнивание суммарных вкладов левой и правой части происходит до того, как $T^{ \prime}$ достигает $30^{ \circ}$, и жидкость не закипит.
Осталось лишь оценить площадь под параболой $\epsilon (T) = 1 + T^{2}/1000$, разбив интервал от $0^{ \circ} C$ до $30^{ \circ} C$ на небольшие отрезки $\Delta T$ и, соответственно, график под ней на прямоугольники площадью $\epsilon (T) \Delta T$. Суммируя площади получим примерно 39. Это больше $S$, т.е. жидкость не закипит.
Ответ: Нет, не закипит.
Плоский заряженный конденсатор емкостью $C_{F} = 1 мкФ$ имел воздушную прослойку между пластинами. Его целиком заполнили жидкостью с относительной диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, у которой имеется сильная зависимость от температуры: $\epsilon(T) = 1 + (T/T_{*})^{2}$, где $T$ - температура жидкости в градусах Цельсия, $T_{*} = 31,623^{ \circ} C$. Оказалось, что из-за добавок, случайно попавших в жидкость, она слабо проводит электрический ток, в результате чего конденсатор стал медленно разряжаться через жидкость. В момент начала разрядки заряд конденсатора был равен $Q = 10 мКл$. Не закипит ли жидкость внутри конденсатора? Теплоемкость всей жидкости в конденсаторе $C = 1,4 Дж/^{ \circ} C$, температура кипения жидкости $T_{1} = 30^{ \circ} C$, начальная температура конденсатора $T_{0} = 0^{ \circ} C$. Тепловыми потерями и теплоемкостью пластин конденсатора пренебречь.
Решение:
Чтобы изучить процесс разрядки конденсатора, рассмотрим произвольный малый промежуток времени $\Delta t$ процесса в течение которого заряд конденсатора $q$ уменьшился на $\Delta q$. При этом через конденсатор тек некоторый ток $I = \Delta q/ \Delta t$, который подчинялся закону Ома $I = U/ R$, где $U$ - напряжение на конденсаторе в рассматриваемый момент, $R$ - электрическое сопротивление слоя жидкости в конденсаторе.
При протекании тока в конденсаторе выделяется джоулево тепло $I^{2}R \Delta t$, которое можно записать в виде
$\frac{ \Delta q}{ \Delta t} \frac{U}{R} \Delta t = \Delta q \frac{q}{ \epsilon C_{F} }$.
Каждая из дробей в левой части представляет здесь ток $I$, кроме того в последней формуле мы воспользовались тем, что напряжение конденсатора связано с его текущим зарядом $q$ и емкостью $\epsilon C_{F}$ по закону $U = \frac{q}{ \epsilon C_{F}}$.
Полученное тепло обеспечивает нагрев жидкости $\frac{ \Delta qq}{ \epsilon C_{F}} = C \Delta T$. Запишем данное соотношение в виде
$\frac{ \Delta qq}{ \epsilon CC_{F}} = \epsilon (T) \Delta T$
Оно справедливо для каждого малого промежутка времени, поэтому напишем такие соотношения для каждого промежутка и просуммируем их почленно. Для простоты будем предполагать, что промежутки времени выбраны так, что все $\Delta q$ одинаковые, и на $n$-том промежутке $q = Q - n \Delta q$. Число таких промежутков $N = Q/ \Delta q$ считаем очень большим. Суммирование левых частей таких уравнений тогда будет состоять из $N$ слагаемых
$\frac{ \Delta q}{CC_{F} } (Q + (Q - \Delta q) + (Q - 2 \Delta q) + \cdots + 2 \Delta q + \Delta q )$,
образующих арифметическую прогрессию. Вычисляя ее, находим результат
$S = \frac{Q}{2} \frac{N \Delta q}{CC_{F}} = \frac{Q^{2}}{2CC_{F}} \sim 35,7$
Суммирование правых частей - слагаемых $\epsilon (T) \Delta T$ - соответствует площади под графиком $\epsilon (T)$ на интервале температур от $T_{0}$ до конечной температуры $T^{ \prime}$ жидкости. График этот по условию имеет вид параболы $\epsilon (T) = 1 + T^{2}/1000$. При увеличении $T^{ \prime}$ площадь под графиком становится все больше. Если площадь на интервале $T \in (0, 30)$ больше $S$, выравнивание суммарных вкладов левой и правой части происходит до того, как $T^{ \prime}$ достигает $30^{ \circ}$, и жидкость не закипит.
Осталось лишь оценить площадь под параболой $\epsilon (T) = 1 + T^{2}/1000$, разбив интервал от $0^{ \circ} C$ до $30^{ \circ} C$ на небольшие отрезки $\Delta T$ и, соответственно, график под ней на прямоугольники площадью $\epsilon (T) \Delta T$. Суммируя площади получим примерно 39. Это больше $S$, т.е. жидкость не закипит.
Ответ: Нет, не закипит.
