Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10124
2019-01-29 
Электронная пушка испускает электроны под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к направлению однородного магнитного поля индукции $B$. Вылетев, электрон движется в вакууме пока не попадёт на экран, расположенный на расстоянии $L$ от пушки перпендикулярно магнитному полю. Электрон оставляет на экране светящийся след. В ходе эксперимента скорость вылета электронов из пушки менялась от очень малой до очень большой. Найдите координаты всех точек, которые луч "нарисует" на экране. Масса и заряд электрона равны $m$ и $e$, силой тяжести пренебречь.
Решение:
Обозначим точку, где расположена пушка, символом O. Вылетев из пушки с некоторой скоростью $V$, электроны начнут двигаться по спирали, навитой вокруг линий магнинтого поля. В проекции на направление магнитного поля скорость электрона равна $V \cos \alpha$ (см. рис.) и не меняется, так как сила Лоренца, действующая на электрон, всегда перпендикулярна магнитному полю. Двигаясь с этой скоростью вдоль направления магнитного поля, частица пройдет расстояние $L$ до экрана за время $t = \frac{L}{V \cos \alpha}$.
Вторая компонента скорости $V \sin \alpha$ будет меняться под действием силы Лоренца, поэтому удобнее рассмотреть соответствующее движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, см. рис. В этой проекции траектория электрона - окружность, радиус $R$ которой легко определяется, если приравнять силу Лоренца $eBV \sin \alpha$ центростремительной силе $\frac{m(V \sin \alpha)^{2}}{R}$, откуда
$R = \frac{mV \sin \alpha}{eB}$.
Направление силы Лоренца определяется по правилу, обратному "правилу левой руки" (пальцы против скорости электрона, силовые линии "входят в ладонь"), так как заряд электрона отрицательный.
Двигаясь по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, частица будет совершать один оборот за период $T = \frac{2 \pi R}{V \sin \alpha}$, т.е. вращаться с угловой скоростью $\omega = 2 \pi /T = eB/m$. Значит, за время $t$ она повернется по окружности, изображенной на рис., на угол $\phi = \omega t = eBL/(mV \cos \alpha)$. Итак, в момент попадания на экран частица будет находиться на окружности радиуса $R$, под углом $\phi$ к первоначальному положению на окружности, т.е. координаты светящейся точки на экране, если центр координат поместить в центре окуржности, будут
$x = R \sin \phi, y = - R \cos \phi$.
Однако, центр данной окружности смещен относительно пушки O на $R$ вдоль оси у. Это смещение разное для разных начальных скоростей электрона. Поэтому, чтобы указать все светящиеся точки в единой системе координат, разумно связать начало координат с пушкой - с точкой O. Тогда координаты светящейся точки на экране будут
$x = R \sin \phi, y = R(1 - \cos \phi)$, где $R = \frac{mV \sin \alpha}{eB}, \phi = \frac{eBL}{mV \cos \alpha}$
Ответ: Координаты светящихся точек на экране задаются выражениями
$x = \frac{mV}{2eB} \sin \left ( \frac{2eBL}{ \sqrt{3}mV } \right ), y = \frac{mV}{2eB} \left ( 1 - \cos \left ( \frac{2eBL}{ \sqrt{3} mV } \right ) \right )$,
когда параметр $V$ пробегает значения от нуля до бесконечности.
Электронная пушка испускает электроны под углом $\alpha = 30^{ \circ}$ к направлению однородного магнитного поля индукции $B$. Вылетев, электрон движется в вакууме пока не попадёт на экран, расположенный на расстоянии $L$ от пушки перпендикулярно магнитному полю. Электрон оставляет на экране светящийся след. В ходе эксперимента скорость вылета электронов из пушки менялась от очень малой до очень большой. Найдите координаты всех точек, которые луч "нарисует" на экране. Масса и заряд электрона равны $m$ и $e$, силой тяжести пренебречь.
Решение:
Обозначим точку, где расположена пушка, символом O. Вылетев из пушки с некоторой скоростью $V$, электроны начнут двигаться по спирали, навитой вокруг линий магнинтого поля. В проекции на направление магнитного поля скорость электрона равна $V \cos \alpha$ (см. рис.) и не меняется, так как сила Лоренца, действующая на электрон, всегда перпендикулярна магнитному полю. Двигаясь с этой скоростью вдоль направления магнитного поля, частица пройдет расстояние $L$ до экрана за время $t = \frac{L}{V \cos \alpha}$.
Вторая компонента скорости $V \sin \alpha$ будет меняться под действием силы Лоренца, поэтому удобнее рассмотреть соответствующее движение в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, см. рис. В этой проекции траектория электрона - окружность, радиус $R$ которой легко определяется, если приравнять силу Лоренца $eBV \sin \alpha$ центростремительной силе $\frac{m(V \sin \alpha)^{2}}{R}$, откуда
$R = \frac{mV \sin \alpha}{eB}$.
Направление силы Лоренца определяется по правилу, обратному "правилу левой руки" (пальцы против скорости электрона, силовые линии "входят в ладонь"), так как заряд электрона отрицательный.
Двигаясь по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, частица будет совершать один оборот за период $T = \frac{2 \pi R}{V \sin \alpha}$, т.е. вращаться с угловой скоростью $\omega = 2 \pi /T = eB/m$. Значит, за время $t$ она повернется по окружности, изображенной на рис., на угол $\phi = \omega t = eBL/(mV \cos \alpha)$. Итак, в момент попадания на экран частица будет находиться на окружности радиуса $R$, под углом $\phi$ к первоначальному положению на окружности, т.е. координаты светящейся точки на экране, если центр координат поместить в центре окуржности, будут
$x = R \sin \phi, y = - R \cos \phi$.
Однако, центр данной окружности смещен относительно пушки O на $R$ вдоль оси у. Это смещение разное для разных начальных скоростей электрона. Поэтому, чтобы указать все светящиеся точки в единой системе координат, разумно связать начало координат с пушкой - с точкой O. Тогда координаты светящейся точки на экране будут
$x = R \sin \phi, y = R(1 - \cos \phi)$, где $R = \frac{mV \sin \alpha}{eB}, \phi = \frac{eBL}{mV \cos \alpha}$
Ответ: Координаты светящихся точек на экране задаются выражениями
$x = \frac{mV}{2eB} \sin \left ( \frac{2eBL}{ \sqrt{3}mV } \right ), y = \frac{mV}{2eB} \left ( 1 - \cos \left ( \frac{2eBL}{ \sqrt{3} mV } \right ) \right )$,
когда параметр $V$ пробегает значения от нуля до бесконечности.
