Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10123
2019-01-29 
Высокий цилиндрический стакан плавает в жидкости плотностью $\rho$. На дне стакана лежит вогнутое зеркало с радиусом кривизны $R$; оптическая ось зеркала совпадает с осью стакана (см. рис.). На высоте $H$ над поверхностью жидкости строго над серединой стакана расположена лампочка. При какой суммарной массе стакана и зеркала в нем изображение лампочки окажется на уровне поверхности жидкости? Радиус дна стакана $r$.
Решение:
Пусть стакан плавает, погрузившись в воду на глубину $h$. Тогда расстояние от оптического центра зеркала до источника света $H + h$, а расстояние от него до изображения источника (по условию оно должно быть на уровне поверхности жидкости) должно быть равно $h$. Вогнутое зеркало собирает свет, как и собирающая линза, имея при этом фокусное расстояние $F = R/2$. Поэтому для данной оптической системы можно применить известную формулу линзы
$\frac{1}{H + h} + \frac{1}{h} = \frac{2}{R} \Rightarrow \frac{H + h}{h(H + h)} = \frac{2}{R} \Rightarrow 2h(H + h) = (H + 2h)R$.
Раскрывая скобки в этом выражении и решая квадратное уравнение на $h$, получим
$2h^{2} + 2h(H - R) - HR = 0 \Rightarrow h = \frac{R - H}{2} \pm \frac{ \sqrt{H^{2} + R^{2} } }{2}$.
Заметим, что выражение под корнем соответствует гипотенузе треугольника с катетами $R$ и $H$, поэтому оно всегда больше, чем $|R - H|$ - разность длин катетов этого же треугольника. Это значит, что при любых $R$ и $H$ знак $h$ определяется знаком перед корнем, поэтому одно из полученных решений положительно, а другое - отрицательно. Отрицательный корень уравнения следует отбросить, так как глубина погружения стакана должна быть положительной.
Чтобы реализовалась именно такая глубина погружения, сила тяжести $Mg$, действующая на стакан вместе с зеркалом, должна уравновешиваться силой Архимеда $F_{A} = \rho gV$, где объем погруженной части стакана $V = \pi r^{2}h$. Отсюда легко выразить искомую массу
$M = \rho \pi r^{2} h = \frac{(R - H) \rho \pi r^{2} }{2} + \frac{ \rho \pi r^{2} \sqrt{H^{2} + R^{2} } }{2}$. (1)
Ответ: Масса стакана с линзой должна задаваться ф-лой (1). Этот ответ положительный и существует для любых начальных условий.
Высокий цилиндрический стакан плавает в жидкости плотностью $\rho$. На дне стакана лежит вогнутое зеркало с радиусом кривизны $R$; оптическая ось зеркала совпадает с осью стакана (см. рис.). На высоте $H$ над поверхностью жидкости строго над серединой стакана расположена лампочка. При какой суммарной массе стакана и зеркала в нем изображение лампочки окажется на уровне поверхности жидкости? Радиус дна стакана $r$.
Решение:
Пусть стакан плавает, погрузившись в воду на глубину $h$. Тогда расстояние от оптического центра зеркала до источника света $H + h$, а расстояние от него до изображения источника (по условию оно должно быть на уровне поверхности жидкости) должно быть равно $h$. Вогнутое зеркало собирает свет, как и собирающая линза, имея при этом фокусное расстояние $F = R/2$. Поэтому для данной оптической системы можно применить известную формулу линзы
$\frac{1}{H + h} + \frac{1}{h} = \frac{2}{R} \Rightarrow \frac{H + h}{h(H + h)} = \frac{2}{R} \Rightarrow 2h(H + h) = (H + 2h)R$.
Раскрывая скобки в этом выражении и решая квадратное уравнение на $h$, получим
$2h^{2} + 2h(H - R) - HR = 0 \Rightarrow h = \frac{R - H}{2} \pm \frac{ \sqrt{H^{2} + R^{2} } }{2}$.
Заметим, что выражение под корнем соответствует гипотенузе треугольника с катетами $R$ и $H$, поэтому оно всегда больше, чем $|R - H|$ - разность длин катетов этого же треугольника. Это значит, что при любых $R$ и $H$ знак $h$ определяется знаком перед корнем, поэтому одно из полученных решений положительно, а другое - отрицательно. Отрицательный корень уравнения следует отбросить, так как глубина погружения стакана должна быть положительной.
Чтобы реализовалась именно такая глубина погружения, сила тяжести $Mg$, действующая на стакан вместе с зеркалом, должна уравновешиваться силой Архимеда $F_{A} = \rho gV$, где объем погруженной части стакана $V = \pi r^{2}h$. Отсюда легко выразить искомую массу
$M = \rho \pi r^{2} h = \frac{(R - H) \rho \pi r^{2} }{2} + \frac{ \rho \pi r^{2} \sqrt{H^{2} + R^{2} } }{2}$. (1)
Ответ: Масса стакана с линзой должна задаваться ф-лой (1). Этот ответ положительный и существует для любых начальных условий.
