Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10122
2019-01-29 
Десантник массой $m$ спускается с вертолета на землю по тросу с постоянной относительно земли скоростью $v$. Трос невесомый и упругий, его жесткость равна $k$, длина в нерастянутом состоянии - $L$. Какая тепловая мощность выделяется за счет трения десантника о трос? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Направим координатную ось Ox вниз, поместим начало координат в точку крепления троса к вертолету (см. рис.). Обозначим через $x$ координату точки на нерастянутом жгуте, в которой десантник окажется к моменту времени $t$ (то есть под десантником остается кусок жгута длиной $L - x$). Растяжение жгута в этот момент времени обозначим через $\Delta l$. Тогда расстояние, на которое опустился десантник равно
$vt = x + \Delta l$.
Поскольку десантник двигается равномерно, из второго закона Ньютона заключаем, что равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю. Следовательно, сила тяжести равна по величине силе трения: $mg = F_{тр}$.
С другой стороны, по третьему закону Ньютона, сила трения равна возникающей в тросе силе упругости: $F_{тр} = F_{упр}$. Остается разобраться с жесткостью жгута. Когда мы растягиваем часть жгута, жесткость этой части больше, чем у всего жгута. Действительно, для того чтобы растянуть, например, треть жгута на $\Delta x$, требуется в 3 раза больше усилий, чем для того, чтобы растянуть на на ту же величину $\Delta x$ весь жгут. Не составляет труда понять, что жесткость части жгута длиной $x$ равна $kL/x$ (где $L$ - длина всего жгута в нерастянутом состоянии). Следовательно,
$mg = k \frac{L}{x} \Delta l$.
Чтобы найти выделившееся тепло, выпишем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия десантника переходит в тепло и в потенциальную энергию жгута:
$mgvt = Q + \frac{k \frac{L}{x} ( \Delta l)^{2} }{2}$
Решая систему из всех выписанных уравнений, для величины выделившегося тепла имеем:
$Q = mgvt \frac{1 + \frac{mg}{2kL} }{1 + \frac{mg}{kL} }$
Таким образом, мощность тепловыделения равна
$N = \frac{Q}{t} = mgv \frac{1 + \frac{mg}{2kL} }{1 + \frac{mg}{kL} }$
Ответ: $N = mgv \frac{1 + \frac{mg}{2kL} }{1 + \frac{mg}{kL} }$.
Десантник массой $m$ спускается с вертолета на землю по тросу с постоянной относительно земли скоростью $v$. Трос невесомый и упругий, его жесткость равна $k$, длина в нерастянутом состоянии - $L$. Какая тепловая мощность выделяется за счет трения десантника о трос? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Направим координатную ось Ox вниз, поместим начало координат в точку крепления троса к вертолету (см. рис.). Обозначим через $x$ координату точки на нерастянутом жгуте, в которой десантник окажется к моменту времени $t$ (то есть под десантником остается кусок жгута длиной $L - x$). Растяжение жгута в этот момент времени обозначим через $\Delta l$. Тогда расстояние, на которое опустился десантник равно
$vt = x + \Delta l$.
Поскольку десантник двигается равномерно, из второго закона Ньютона заключаем, что равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю. Следовательно, сила тяжести равна по величине силе трения: $mg = F_{тр}$.
С другой стороны, по третьему закону Ньютона, сила трения равна возникающей в тросе силе упругости: $F_{тр} = F_{упр}$. Остается разобраться с жесткостью жгута. Когда мы растягиваем часть жгута, жесткость этой части больше, чем у всего жгута. Действительно, для того чтобы растянуть, например, треть жгута на $\Delta x$, требуется в 3 раза больше усилий, чем для того, чтобы растянуть на на ту же величину $\Delta x$ весь жгут. Не составляет труда понять, что жесткость части жгута длиной $x$ равна $kL/x$ (где $L$ - длина всего жгута в нерастянутом состоянии). Следовательно,
$mg = k \frac{L}{x} \Delta l$.
Чтобы найти выделившееся тепло, выпишем закон сохранения энергии. Потенциальная энергия десантника переходит в тепло и в потенциальную энергию жгута:
$mgvt = Q + \frac{k \frac{L}{x} ( \Delta l)^{2} }{2}$
Решая систему из всех выписанных уравнений, для величины выделившегося тепла имеем:
$Q = mgvt \frac{1 + \frac{mg}{2kL} }{1 + \frac{mg}{kL} }$
Таким образом, мощность тепловыделения равна
$N = \frac{Q}{t} = mgv \frac{1 + \frac{mg}{2kL} }{1 + \frac{mg}{kL} }$
Ответ: $N = mgv \frac{1 + \frac{mg}{2kL} }{1 + \frac{mg}{kL} }$.
