2016-09-17
На вершине клина массой $M$ с высотой $h$ и углами $\alpha$ и $\beta$ при основании удерживаются два небольших тела одинаковой массой $m$ (см. рисунок). Клин стоит на гладкой горизонтальной плоскости. После освобождения тела соскальзывают с клина в разные стороны и застревают внизу в специальных улавливателях, установленных в конце каждой из наклонных плоскостей клина. На какое расстояние сдвинется клин после соскальзывания тел?
Решение:
Поместим начало системы координат в левый угол клина и направим ось $X$ вправо по горизонтали. Пусть $x_{1}$ и $x_{2}$ — координаты верхушки клина до и после соскальзывания грузов, a $x_{0}$ — расстояние по оси $X$ от верхушки до центра масс клина. Так как при соскальзывании грузов координата центра масс всей системы $X_{ц.м.}$ остаётся неизменной, то имеем уравнение:
$(M+2m)X_{ц.м.} = const = M(x_{1} + x_{0}) + 2mx_{1} = M (x_{2} + x_{0}) + m(x_{2} - h ctg \alpha) + m(x_{2} + h ctg \beta)$.
Из него для смещения клина получаем:
$\Delta = x_{2} - x_{1} = \frac{m}{M + 2m} (ctg \alpha - ctg \beta) h$.
Заметим, что при $\alpha < \beta$ клин смещается вправо.