2019-01-29
В беличье колесо посадили белочку массой $m$ и положили шляпку гриба массой $m/2$. Белочка бежит так, что колесо равномерно вращается вокруг своей оси. При этом положение белочки и шляпки не меняется относительно центра колеса (см. рис.). Коэффициент трения скольжения между лапами белки и колесом $\mu_{1} = 1$, коэффициент трения скольжения шляпки о колесо $\mu_{2} = 0,58$. Найдите какие углы $\alpha$ и $\beta$ могут характеризовать положения белочки и шляпки гриба. Трением в оси колеса пренебречь.
Решение:
По условию колесо крутится, а шляпка неподвижна. Это означает, что шляпка проскальзывает по колесу, а силы, действующие на нее скомпенсированы. Изобразим силы, действующие на шляпку: силу тяжести, силу реакции колеса и силу трения о колесо (см. рис.). Если силы скомпенсированы, в проекции на оси oy и ox
$oy : (m/2)g \cos \beta = N$,
$ox : (m/2)g \sin \beta = F_{тр} = \mu_{2}N = \mu_{2} (m/2)g \cos \beta$.
Отсюда получим
$tg \beta = \mu_{2} \Rightarrow \beta = arctg \mu_{2} \approx 30^{ \circ}$.
Белочка также не сдвигается относительно колеса, поэтому силы, действующие на нее также скомпенсированы:
$mg \cos \alpha = N^{ \prime}, mg \sin \alpha = F_{тр}^{ \prime}$. (5)
Казалось бы следует, аналогично уравнениям для шляпки, написать $tg \alpha = \mu_{1}$.
Однако, дополнительно имеется условие равномерного вращения колеса вокруг своей оси. И белочка, и шляпка как-то воздействуют на колесо. Покажем, что чтобы колесо продолжало крутиться равномерно, должно выполняться условие $F_{тр} = F_{тр}^{ \prime}$. Действительно, по третьему закону Ньютона, раз колесо действует на белочку с силами $N^{ \prime}$ и $F_{тр}^{ \prime}$, то и белочка действует на колесо с такими же, только противоположными по направлению силами. Из этих сил лишь $F_{тр}^{ \prime}$ раскручивает колесо (см. рис.). Аналогично, шляпка действует на колесо своей силой трения $F_{тр}$. Так как колесо крутится равномерно, обе раскручивающие его силы скомпенсированы, т.е. $F_{тр} = F_{тр}^{ \prime}$.
Чтобы силы трения сравнялись, в общем случае лишь одна из сил трения может являться силой трения скольжения. В нашем случае это трение шляпки, белочка же движется по колесу без проскальзывания, поэтому
$mg \sin \alpha = F_{тр}^{ \prime} = (m/2)g \sin \beta, \Rightarrow \sin \alpha = \frac{ \sin \beta}{2} = \frac{ \mu_{2}^{2}}{2 \sqrt{1 + \mu_{2}^{2} } } \Rightarrow \alpha \approx 15^{ \circ}$
Легко проверить, что сила трения скольжения лап при таком угле расположения белочки, равная $\mu_{1} mg \cos \alpha$, гораздо больше, чем реализующаяся в задаче и найденная нами сила трения $F_{тр}^{ \prime}$, т.е. проскальзывание лап по колесу действительно не наступает.
Ответ: $\alpha = arcsin \left ( \frac{ \mu_{2}^{2} }{2 \sqrt{1 + \mu_{2}^{2} } } \right ) \approx 15^{ \circ}, \beta = arctg \mu_{2} \approx 30^{ \circ}$.