Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10117
2019-01-29 
Юному физику на Новый год подарили паяльник, омметр и целое ведро одинаковых резисторов сопротивлением 1 Ом. В первый день он соединил два резистора последовательно. Во второй день припаял к схеме третий резистор параллельно (см. рис.). На третий день - добавил один резистор последовательно. На четвертый - припаял еще один резистор параллельно. Так он собирал свою схему в течение года, каждый день припаивая поочередно последовательно или параллельно по одному резистору. Каждый день юный физик измерял сопротивление получавшейся схемы омметром и записывал результат измерения в тетрадь. К концу года он обратил внимание, что в последнее время записывает в свою тетрадь два чередующихся значения $R_{1}$ и $R_{2}$. Определите величины $R_{1}$ и $R_{2}$.
Решение:
Согласно условию, через достаточно большой промежуток времени после начала сбора схемы юный физик обратил внимание, что он стал записывать в тетрадь два чередующихся значения. То есть величины полного сопротивления схемы после добавления очередного резистора последовательно или параллельно вышли на некоторые предельные значения. Естественно, с точки зрения математики, предельного значения мы никогда в данном случае достигнуть не можем, лишь можем сколь угодно близко подойти к нему. Но с физической точки зрения, ввиду того, что у омметра есть предел точности измерения, показания прибора с какого-то момента действительно перестанут меняться, и мы на самом деле будем видеть два чередующихся значения.
Определим значения $R_{1}$ и $R_{2}$, которые юный физик записывает в свою тетрадь. Для этого воспользуемся Рис. На нем схематично показано, что после добавления одного резистора последовательно, схема с сопротивлением $R_{1}$ переходит в схему с сопротивлением $R_{2}$. В свою очередь, схема с сопротивлением $R_{2}$ после добавления одного резистора параллельно переходит в схему с сопротивлением $R_{1}$. Составим соответствующую систему уравнений:
$R_{1} + 1 Ом = R_{2}, \frac{R_{2} \cdot 1 Ом }{R_{2} + 1 Ом } = R_{1}$.
Решая систему, получаем, что
$R_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, R_{2} = \frac{1 + \sqrt{5} }{2} Ом$
Ответ: $R_{1} = ( - 1 + \sqrt{5})/2 Ом, R_{2} = (1 + \sqrt{5})/2 Ом$.
Примечание:
Последовательность сопротивлений, записанных юным физиком можно связать с так называемой последовательностью Фибоначчи, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...
Действительно, не составляет труда рассчитать значения сопротивлений нескольких первых схем (все значения имеют размерность "Ом"): 2/1, 2/3, 5/3, 5/8, 13/8, 13/21, 34/21 ...
Нетрудно увидеть закономерность. Юный физик записывает в свою тетрадь отношение нечетного члена последовательности Фиббоначи либо к предыдущему члену, либо к последующему. Таким образом, если обозначить $n$-ый член последовательности Фибоначчи через $x_{n}$, то предельным значениям $R_{1}$ и $R_{2}$ сопротивления схемы в конце года соответствуют пределы отношений $x_{n}/x_{n+1} \rightarrow x$ и $x_{n}/x_{n-1} \rightarrow 1/x$. Последние, не сложно найти используя рекуррентную формулу:
$x_{n+ 1} = x_{n} + x_{n-1} \Leftrightarrow \frac{x_{n + 1}}{x_{n} } = 1 + \frac{x_{n - 1} }{x_{n} }$
В пределе больших $n$ имеем $x_{n+1}/x_{n} = x_{n}/x_{n - 1} = 1/x$. Следовательно,
$\frac{1}{x} = 1 + x \Leftrightarrow x^{2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 1 + \sqrt{5} }{2}, \frac{1}{x} = \frac{1 + \sqrt{5} }{2}$
Примечание:
Полученные в качестве ответа числа $(1 + \sqrt{5})/2$ и $(-1 + \sqrt{5})/2$ имеют непосредственное отношение к так называемому золотому сечению. Золотым сечением называется деление величины (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается как раз квадратичной иррациональностью $(1 + \sqrt{5})/2$, которое также называют золотым числом.
Юному физику на Новый год подарили паяльник, омметр и целое ведро одинаковых резисторов сопротивлением 1 Ом. В первый день он соединил два резистора последовательно. Во второй день припаял к схеме третий резистор параллельно (см. рис.). На третий день - добавил один резистор последовательно. На четвертый - припаял еще один резистор параллельно. Так он собирал свою схему в течение года, каждый день припаивая поочередно последовательно или параллельно по одному резистору. Каждый день юный физик измерял сопротивление получавшейся схемы омметром и записывал результат измерения в тетрадь. К концу года он обратил внимание, что в последнее время записывает в свою тетрадь два чередующихся значения $R_{1}$ и $R_{2}$. Определите величины $R_{1}$ и $R_{2}$.
Решение:
Согласно условию, через достаточно большой промежуток времени после начала сбора схемы юный физик обратил внимание, что он стал записывать в тетрадь два чередующихся значения. То есть величины полного сопротивления схемы после добавления очередного резистора последовательно или параллельно вышли на некоторые предельные значения. Естественно, с точки зрения математики, предельного значения мы никогда в данном случае достигнуть не можем, лишь можем сколь угодно близко подойти к нему. Но с физической точки зрения, ввиду того, что у омметра есть предел точности измерения, показания прибора с какого-то момента действительно перестанут меняться, и мы на самом деле будем видеть два чередующихся значения.
Определим значения $R_{1}$ и $R_{2}$, которые юный физик записывает в свою тетрадь. Для этого воспользуемся Рис. На нем схематично показано, что после добавления одного резистора последовательно, схема с сопротивлением $R_{1}$ переходит в схему с сопротивлением $R_{2}$. В свою очередь, схема с сопротивлением $R_{2}$ после добавления одного резистора параллельно переходит в схему с сопротивлением $R_{1}$. Составим соответствующую систему уравнений:
$R_{1} + 1 Ом = R_{2}, \frac{R_{2} \cdot 1 Ом }{R_{2} + 1 Ом } = R_{1}$.
Решая систему, получаем, что
$R_{1} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, R_{2} = \frac{1 + \sqrt{5} }{2} Ом$
Ответ: $R_{1} = ( - 1 + \sqrt{5})/2 Ом, R_{2} = (1 + \sqrt{5})/2 Ом$.
Примечание:
Последовательность сопротивлений, записанных юным физиком можно связать с так называемой последовательностью Фибоначчи, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ...
Действительно, не составляет труда рассчитать значения сопротивлений нескольких первых схем (все значения имеют размерность "Ом"): 2/1, 2/3, 5/3, 5/8, 13/8, 13/21, 34/21 ...
Нетрудно увидеть закономерность. Юный физик записывает в свою тетрадь отношение нечетного члена последовательности Фиббоначи либо к предыдущему члену, либо к последующему. Таким образом, если обозначить $n$-ый член последовательности Фибоначчи через $x_{n}$, то предельным значениям $R_{1}$ и $R_{2}$ сопротивления схемы в конце года соответствуют пределы отношений $x_{n}/x_{n+1} \rightarrow x$ и $x_{n}/x_{n-1} \rightarrow 1/x$. Последние, не сложно найти используя рекуррентную формулу:
$x_{n+ 1} = x_{n} + x_{n-1} \Leftrightarrow \frac{x_{n + 1}}{x_{n} } = 1 + \frac{x_{n - 1} }{x_{n} }$
В пределе больших $n$ имеем $x_{n+1}/x_{n} = x_{n}/x_{n - 1} = 1/x$. Следовательно,
$\frac{1}{x} = 1 + x \Leftrightarrow x^{2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 1 + \sqrt{5} }{2}, \frac{1}{x} = \frac{1 + \sqrt{5} }{2}$
Примечание:
Полученные в качестве ответа числа $(1 + \sqrt{5})/2$ и $(-1 + \sqrt{5})/2$ имеют непосредственное отношение к так называемому золотому сечению. Золотым сечением называется деление величины (например, длины отрезка) на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается как раз квадратичной иррациональностью $(1 + \sqrt{5})/2$, которое также называют золотым числом.
