Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10115
2019-01-29 
На дно стакана площадью $S = 0,1 м^{2}$ намёрз лёд (см, рис), В стакан начинают наливать воду при температуре $T = 40^{ \circ} C$. Какой будет зависимость уровня воды в стакане от времени, если скорость наливания воды в стакан $\mu = 1 л/с$, плотность воды $\rho_{w} = 1000 кг/м^{3}$, льдa $\rho_{i} = 900 кг/м^{3}$. Удельная теплоёмкость воды равняется $C = 4200 Дж/кг \cdot ^{ \circ} С$, Удельная теплота плавления льда равняется $\lambda = 330 кДж/кг$. Считать, что процессы теплопередачи происходят быстро.
Решение:
Приведём два способа решения задачи.
Первый способ.
В стакане одновременно находятся лёд и вода, значит, температура системы равняется $0^{ \circ} С$. Уровень воды в стакане зависит от суммарного объёма льда и жидкости внутри. Выясним, как меняется этот суммарный объём со временем. Рассмотрим процесс за промежуток времени $\tau$. В стакан наливают $m_{w} = \rho_{w} \mu \tau$ воды, кроме того, некое количество $m_{i}$ льда тает (за счёт того, что мы доливаем тёплую воду). Вычислим это количество, пользуясь уравнением теплового баланса.
$m_{w}C(T - 0) = \lambda m_{i}$
$m_{i} = \frac{m_{w}CT }{ \lambda}$
Осталось выяснить, как меняется объём растаявшей части льда. В форме льда он занимал объём $V_{i} = m_{i} / \rho_{i}$, в форме воды - $V_{i} = m_{i}/ \rho_{w}$. Тогда изменение объёма равняется
$\delta V_{i} = V_{i}^{ \prime} - V_{i} = m_{i} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right )$
Суммируя, за время $\tau$ объём системы изменился на
$\Delta V_{ \tau} = \mu \tau + \delta V_{i} = \mu \tau + m_{i} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right )$
$\Delta V_{ \tau} = \mu \tau + \frac{m_{w}CT }{ \lambda } \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right ) = \mu \tau + \frac{ \rho_{w} \mu \tau CT }{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right )$
Заметим: все слагаемые в правой части пропорциональны т, т.е. объём системы (а значит и уровень жидкости) меняется линейно со временем.
$\Delta V_{ \tau} = \tau \left ( \mu + \frac{ \rho_{w} \mu CT }{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right ) \right )$
И изменение уровня воды в стакане от времени тогда можно записать как
$\Delta h = \frac{ \delta V_{ \tau} }{S} = \tau \frac{ \mu + \frac{ \rho_{w} \mu CT }{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right ) }{S}$
Выражение в правой части является довольно громоздким, однако, все входящие туда параметры заданы. Осталось лишь подставить их численные значения и получить ответ.
Ответ: Уровень воды в стакане увеличивается со скоростью 0,944 см/с.
Второй способ.
Сосчитаем, какое количество льда растопит один литр доливаемой воды. Литр доливаемой воды передаст льду энергию, равную
$E_{w} = m_{w}C(T - 0) = 1 кг \cdot 4200 Дж/кг^{ \circ}С \cdot 40^{ \circ} C = 168000 Дж$
Из условия сохранения энергии $E_{w} = m_{i} \lambda$, где $m_{i}$ - масса растопленного льда, получаем, что будет растоплено
$m_{i} = E/ \lambda = 168000/330000 = 0, 509 кг \: льда$
Начальный объём этого льда равнялся $m_{i}/ \rho_{i} = 5,65 \cdot 10^{-4} м^{3}$, конечный равняется $m_{i}/ \rho_{w} = 5, 09 \cdot 10^{-4} м^{3}$.
Таким образом, суммарный объём системы изменился на
$\Delta V = 1 \cdot 10^{-3} м^{3} + 5,09 \cdot 10^{-4} м^{3} - 5,65 \cdot 10^{-4} м^{3} = 9,44 \cdot 10^{-4} м^{3}$
И тогда при доливании одного литра воды уровень в стакане изменится на
$\Delta h = \frac{ \Delta V}{S} = \frac{9,44 \cdot 10^{-4} м^{3}}{0,1 м^{2}} = 9,44 \cdot 10^{-3} м = 0,944 см$
Осталось понять, что воду в стакан наливают равномерно, следовательно, и уровень её будет линейно зависеть от времени. Учитывая скорость наливания воды в 1 л/с, получаем ответ:
Ответ: Уровень воды в стакане увеличивается со скоростью 0,944 см/с.
На дно стакана площадью $S = 0,1 м^{2}$ намёрз лёд (см, рис), В стакан начинают наливать воду при температуре $T = 40^{ \circ} C$. Какой будет зависимость уровня воды в стакане от времени, если скорость наливания воды в стакан $\mu = 1 л/с$, плотность воды $\rho_{w} = 1000 кг/м^{3}$, льдa $\rho_{i} = 900 кг/м^{3}$. Удельная теплоёмкость воды равняется $C = 4200 Дж/кг \cdot ^{ \circ} С$, Удельная теплота плавления льда равняется $\lambda = 330 кДж/кг$. Считать, что процессы теплопередачи происходят быстро.
Решение:
Приведём два способа решения задачи.
Первый способ.
В стакане одновременно находятся лёд и вода, значит, температура системы равняется $0^{ \circ} С$. Уровень воды в стакане зависит от суммарного объёма льда и жидкости внутри. Выясним, как меняется этот суммарный объём со временем. Рассмотрим процесс за промежуток времени $\tau$. В стакан наливают $m_{w} = \rho_{w} \mu \tau$ воды, кроме того, некое количество $m_{i}$ льда тает (за счёт того, что мы доливаем тёплую воду). Вычислим это количество, пользуясь уравнением теплового баланса.
$m_{w}C(T - 0) = \lambda m_{i}$
$m_{i} = \frac{m_{w}CT }{ \lambda}$
Осталось выяснить, как меняется объём растаявшей части льда. В форме льда он занимал объём $V_{i} = m_{i} / \rho_{i}$, в форме воды - $V_{i} = m_{i}/ \rho_{w}$. Тогда изменение объёма равняется
$\delta V_{i} = V_{i}^{ \prime} - V_{i} = m_{i} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right )$
Суммируя, за время $\tau$ объём системы изменился на
$\Delta V_{ \tau} = \mu \tau + \delta V_{i} = \mu \tau + m_{i} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right )$
$\Delta V_{ \tau} = \mu \tau + \frac{m_{w}CT }{ \lambda } \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right ) = \mu \tau + \frac{ \rho_{w} \mu \tau CT }{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right )$
Заметим: все слагаемые в правой части пропорциональны т, т.е. объём системы (а значит и уровень жидкости) меняется линейно со временем.
$\Delta V_{ \tau} = \tau \left ( \mu + \frac{ \rho_{w} \mu CT }{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right ) \right )$
И изменение уровня воды в стакане от времени тогда можно записать как
$\Delta h = \frac{ \delta V_{ \tau} }{S} = \tau \frac{ \mu + \frac{ \rho_{w} \mu CT }{ \lambda} \left ( \frac{1}{ \rho_{w} } - \frac{1}{ \rho_{i} } \right ) }{S}$
Выражение в правой части является довольно громоздким, однако, все входящие туда параметры заданы. Осталось лишь подставить их численные значения и получить ответ.
Ответ: Уровень воды в стакане увеличивается со скоростью 0,944 см/с.
Второй способ.
Сосчитаем, какое количество льда растопит один литр доливаемой воды. Литр доливаемой воды передаст льду энергию, равную
$E_{w} = m_{w}C(T - 0) = 1 кг \cdot 4200 Дж/кг^{ \circ}С \cdot 40^{ \circ} C = 168000 Дж$
Из условия сохранения энергии $E_{w} = m_{i} \lambda$, где $m_{i}$ - масса растопленного льда, получаем, что будет растоплено
$m_{i} = E/ \lambda = 168000/330000 = 0, 509 кг \: льда$
Начальный объём этого льда равнялся $m_{i}/ \rho_{i} = 5,65 \cdot 10^{-4} м^{3}$, конечный равняется $m_{i}/ \rho_{w} = 5, 09 \cdot 10^{-4} м^{3}$.
Таким образом, суммарный объём системы изменился на
$\Delta V = 1 \cdot 10^{-3} м^{3} + 5,09 \cdot 10^{-4} м^{3} - 5,65 \cdot 10^{-4} м^{3} = 9,44 \cdot 10^{-4} м^{3}$
И тогда при доливании одного литра воды уровень в стакане изменится на
$\Delta h = \frac{ \Delta V}{S} = \frac{9,44 \cdot 10^{-4} м^{3}}{0,1 м^{2}} = 9,44 \cdot 10^{-3} м = 0,944 см$
Осталось понять, что воду в стакан наливают равномерно, следовательно, и уровень её будет линейно зависеть от времени. Учитывая скорость наливания воды в 1 л/с, получаем ответ:
Ответ: Уровень воды в стакане увеличивается со скоростью 0,944 см/с.
