Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1011
2016-09-17 
В тонком гладком трубопроводе скользит гибкий шнурок (см. рисунок). Участки АВ и ВС трубопровода представляют собой полуокружности радиусом $R$; длина шнурка $L = 2 \pi R$. В некоторый момент времени нижний конец шнурка находится в точке С, а верхний — в точке А. Найдите все точки на шнурке, в которых сила его натяжения в этот момент равна нулю.
Решение:
Найдём из энергетических соображений ускорение шнурка $a$ в данный момент времени. Приращение кинетической энергии шнурка массой $m$ за малый промежуток времени $\Delta t$ равно $\Delta W = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - \frac{mv^{2}}{2} \approx mv \Delta v = mva \Delta t$. Уменьшение его потенциальной энергии за то же время связано фактически с «перемещением» малого отрезка шнурка длиной $\Delta x = v \Delta t$ и массой $(m/L) \Delta x$ сверху вниз на расстояние $h = 4R$, то есть $\Delta U = \frac{m}{L} \Delta x \cdot gh = \frac{m}{L} v \Delta t \cdot g \cdot 4R$. Из закона сохранения механической энергии получаем: $a = gh/L = 4gR/L = 2g/ \pi$.
Мысленно разрежем теперь шнурок в какой-нибудь точке на два куска. Очевидно, что если место разреза выбрано так, что ускорения этих кусков совпадают, то сила натяжения шнурка в данной точке равна нулю, и наоборот. Пусть длины кусков равны $l^{ \prime}$ и $l^{ \prime \prime}$, причём $l^{ \prime} + l^{ \prime \prime} = L$. Применяя найденную выше формулу для ускорения и подставляя в неё вместо $h$ разности высот концов этих кусков $h^{ \prime}$ и $h^{ \prime \prime}$ получаем $h^{ \prime}/ l^{ \prime} = h^{ \prime \prime} / l^{ \prime \prime} = h/L = 4R/L = 2/ \pi$. Легко видеть, что этому условию удовлетворяют точки $A_{1}, B$ и $A_{2}$ (см. рис.).
В тонком гладком трубопроводе скользит гибкий шнурок (см. рисунок). Участки АВ и ВС трубопровода представляют собой полуокружности радиусом $R$; длина шнурка $L = 2 \pi R$. В некоторый момент времени нижний конец шнурка находится в точке С, а верхний — в точке А. Найдите все точки на шнурке, в которых сила его натяжения в этот момент равна нулю.
Решение:
Найдём из энергетических соображений ускорение шнурка $a$ в данный момент времени. Приращение кинетической энергии шнурка массой $m$ за малый промежуток времени $\Delta t$ равно $\Delta W = \frac{m(v + \Delta v)^{2}}{2} - \frac{mv^{2}}{2} \approx mv \Delta v = mva \Delta t$. Уменьшение его потенциальной энергии за то же время связано фактически с «перемещением» малого отрезка шнурка длиной $\Delta x = v \Delta t$ и массой $(m/L) \Delta x$ сверху вниз на расстояние $h = 4R$, то есть $\Delta U = \frac{m}{L} \Delta x \cdot gh = \frac{m}{L} v \Delta t \cdot g \cdot 4R$. Из закона сохранения механической энергии получаем: $a = gh/L = 4gR/L = 2g/ \pi$.
Мысленно разрежем теперь шнурок в какой-нибудь точке на два куска. Очевидно, что если место разреза выбрано так, что ускорения этих кусков совпадают, то сила натяжения шнурка в данной точке равна нулю, и наоборот. Пусть длины кусков равны $l^{ \prime}$ и $l^{ \prime \prime}$, причём $l^{ \prime} + l^{ \prime \prime} = L$. Применяя найденную выше формулу для ускорения и подставляя в неё вместо $h$ разности высот концов этих кусков $h^{ \prime}$ и $h^{ \prime \prime}$ получаем $h^{ \prime}/ l^{ \prime} = h^{ \prime \prime} / l^{ \prime \prime} = h/L = 4R/L = 2/ \pi$. Легко видеть, что этому условию удовлетворяют точки $A_{1}, B$ и $A_{2}$ (см. рис.).
