Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10104
2019-01-17 
Два одинаковых однородных массивных стержня соединены легким шарниром О. Один из стержней кладут на опору А так, что точка касания делит его в отношении 3:5 (см. рис.). Положение опоры В для второго стержня подбирают таким образом, чтобы система была в положении равновесия, показанном на рисунке (первый стержень горизонтален, второй наклонен под углом $\alpha = 45^{ \circ}$). При каких значениях коэффициента трения между опорами и стержнями это возможно? Трением в шарнире пренебречь.
Решение:
I способ решения:
Обозначим коэффициент трения между опорами и стержнями через $\mu$, длину стержней через $L$, массу - через $m$.
Все силы, действующие на стержни, изображены на Рис. По третьему закону Ньютона, сила, с которой горизонтальный стержень действует через шарнир на наклоненный стержень, равна по величине и обратна по направлению силе, с которой наклоненный стержень действует на горизонтальный. Удобно разложить эти силы на вертикальные и горизонтальные составляющие. На Рис. они обозначены через $N$ и $F$, соответственно. Силы реакции $\vec{R}_{A}$ и $\vec{R}_{B}$, действующие на стержни со стороны опор A и B, также оказывается целесообразным разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие $N_{A}$ и $F_{A}$, $N_{B}$ и $F_{B}$, соответственно. Обратите внимание, что в случае опоры B проекции $N_{B}$ и $F_{B}$ не совпадают с силой нормальной реакции опоры и силой трения, соответственно. Для того чтобы получить последние, $R_{B \parallel }$ и $R_{B \perp}$, необходимо спроецировать силу $\vec{R}_{B}$ на оси нормальную и параллельную наклонному стержню. Наконец, на стержни действует притяжение со стороны земли. На Рис. силы $F$ изображены в предположении, что шарнир расталкивает стержни. Противоположный случай будет рассмотрен позже.
Выпишем второй закон Ньютона для горизонтального стержня в проекции на вертикальную и горизонтальную оси:
$Ox : F_{A} - F = 0$;
$Oy : N_{A} + N - mg = 0$. (1)
Аналогично для второго стержня имеем
$Ox : F - F_{B} = 0$;
$Oy : N_{B} - N - mg = 0$. (2)
Рассмотрим относительно шарнира моменты всех сил, действующих на левый стержень (сумма всех моментов в равновесии должна быть равна нулю):
$N_{A} \frac{5L}{8} = mg \frac{L}{2}$. (3)
Решая систему получившихся уравнений (10), (11) и (12), получаем
$F_{A} = F_{B} = F; N_{A} = \frac{4}{5} mg; N_{B} = \frac{6}{5} mg$. (4)
Обозначим через $x$ расстояние от шарнира O до точки, в которой необходимо разместить опору B. Тогда для второго стержня правило моментов дает
$x(N_{B} \cos \alpha + F_{B} \sin \alpha) = mg \frac{L}{2} \cos \alpha$. (5)
По условию, угол наклона второго стержня равен $45^{ \circ}$, а значит, $\cos \alpha = \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2}}$. Таким образом, из (5) для положения опоры B получаем:
$x = \frac{ \frac{L}{2} }{s + \frac{6}{5} }$, (6)
где мы для удобства ввели обозначение $s = F/mg$. Из последнего выражения видно, при разных значения горизонтальной проекции силы в шарнире $F$, опору B нужно размещать в разных местах. При этом величина $x$ лежит в интервале $[0, L]$ при любом неотрицательном значении параметра $s$.
Мы нашли положение опоры B, считая, что равновесие системы существует. Однако для ответа на вопрос задачи, необходимо иное: нужно исследовать, при каких значениях коэффициента трения $\mu$ между стержнями и опорами это положение равновесие вообще возможно. В некотором смысле, это "обратная" задача. Обычно в задаче известен коэффициент трения, и необходимо найти, например, действующие в системе силы. Здесь же, напротив, мы сами распоряжаемся силами, а именно, горизонтальной проекцией силы в шарнире $F$, и пытаемся разобраться, при каких значениях $\mu$ можно подобрать такое значение $F$, чтобы система была в равновесии.
Начнем исследовать систему. Рассмотрим сначала поподробнее случай, изображенный на Рис.: сила в шарнире расталкивает стержни. Положение равновесия определяется отсутствием проскальзывания между опорами и стержнями. Для того, чтобы стержни не проскальзывали, необходимо, чтобы касательная составляющая силы реакции опоры $R_{ \parallel}$ не превосходила перпендикулярную составляющую $R_{ \perp}$, умноженную на коэффициент трения:
$R_{ \parallel} \leq \mu R_{ \perp}$.
Для опоры A данное условие сводится к следующему:
$F_{A} \leq \mu N_{A} \Leftrightarrow s \leq \frac{4}{5} \mu$ (7)
Исследуем теперь проскальзывание стержня на опоре B. Касательная и нормальная составляющие силы реакции $\vec{R}_{B}$ равны, соответственно,
$R_{B \parallel} = |N_{B} - F_{B} | \sin \alpha = \frac{| 6mg/5 - F |}{ \sqrt{2} }, R_{B \perp} = (N_{B} + F_{B} ) \cos \alpha = \frac{6mg/5 + F}{ \sqrt{2} }$. (8)
Рассмотрим сперва случай $F \leq 6mg/5$ или, что тоже самое $s \leq 6/5$. Найдем, возможно ли равновесие систем при таких значениях силы $F$ в шарнире и чему должен быть равен при этом коэффициент трения ц. Условие отсутствия проскальзывания дает в этом случае
$\mu \left ( \frac{6}{5} mg + F \right ) \geq \frac{6}{5} mg - F \Leftrightarrow s \geq \frac{6}{5} \frac{1 - \mu}{1 + \mu}$. (9)
Рассматривая совместно неравенства (7) и (9), легко видеть, что для существования решения (т.е. такого значения силы $F$, при котором возможно равновесие), необходимо, чтобы выполнялось условие
$\frac{6}{5} \frac{1 - \mu}{1 + \mu} \leq \frac{4}{5} \mu \Leftrightarrow \mu \geq \frac{1}{2}$. (10)
Исследуем теперь случай
$F \geq 6mg/5 \Leftrightarrow s \geq 6/5$. (11)
Неравенство, аналогичное (9), имеет вид
$\mu \left ( \frac{6}{5} mg + F \right ) \geq F - \frac{6}{5} mg \Leftrightarrow s(1- \mu) \leq \frac{6}{5} (1 + \mu)$. (12)
При $\mu < 1$ неравенства (7) и (11) не имеют решений одновременно. При $\mu \leq 1$ условие (12) выполняется автоматически. Для существования совместного решения неравенств (7) и (12) необходимо
$\frac{6}{5} \leq \frac{4}{5} \mu \Leftrightarrow \mu \geq \frac{3}{2}$. (13)
Таким образом, в области $F > 6mg/5$ не существует никаких положений равновесия с новыми по сравнению с областью $F \leq 6mg/5$ значениями коэффициента трения $\mu$.
Остается рассмотреть случай, когда сила $F$ в шарнире стягивает стержни. Данная ситуация изображена на Рис. Аналогично, можно ввести расстояние $x$ от шарнира до опоры B. Из правила моментов получаем:
$x(F_{B} \sin \alpha - N_{B} \cos \alpha) = mg \frac{L}{2} \cos \alpha \Leftrightarrow x = \frac{ \frac{L}{2} }{ \frac{6}{5} - s }$, (14)
где, как и раньше, мы используем обозначение $s = F/mg$.
Касательная и нормальная составляющие силы реакции опоры $\vec{R}_{B}$ в этом случае равны
$R_{B \parallel} = (N_{B} + F_{B}) \sin \alpha = \frac{ \frac{6mg}{5} + F}{ \sqrt{2}}, R_{B \perp} = (N_{B} - F_{B}) \cos \alpha = \frac{ \frac{6mg}{5} - F}{ \sqrt{2} }$. (15)
Условие непроскальзывания сводится к неравенству
$\mu \left ( \frac{6}{5} - s \right ) \geq \frac{6}{5} + s \Leftrightarrow \mu \geq \frac{ \frac{6}{5} + s }{ \frac{6}{5} - s } \geq 1$, (16)
Из последней оценки видно, что коэффициенты трения, при которых возможно равновесие, заведомо не меньше 1. Следовательно, данная область также не доставляет нам качественно новых значений $\mu$.
На этом заканчивается анализ всех возможных случаев. Ответом является объединение всех найденных областей изменения коэффициентов трения $\mu$, а именно неравенств (10), (13) и (16). Таким образом, равновесие системы, при котором левый стержень горизонтален и делится точкой касания опоры A в отношении 3:5, а правый стержень наклонен под углом $45^{ \circ}$ возможно при $\mu \geq 1/2$.
Ответ: равновесие системы, при котором левый стержень горизонтален и делится точкой касания опоры A в отношении 3:5, а правый стержень наклонен под углом $45^{ \circ}$ возможно при $\mu > 1/2$.
Замечание: В принципе, можно не рассматривать отдельно случай, когда сила в шарнире стягивает стержни, и не выписывать заново все формулы. Достаточно допустить, что сила $F$ в формулах (1)-(12) может быть отрицательна, это как раз соответствует случаю стягивания.
II способ решения:
Обозначим длину стержней через $L$, массу - через $m$. Пусть расстояние от шарнира O до опоры B равно $\gamma L (0 < \gamma < 1)$. Необходимо понять, для каких $\mu$ возможно подобрать значение $\gamma$, чтобы система находилась в равновесии.
Рассмотрим силы, действующие на первый стержень. Нормальную составляющую силы реакции со стороны опоры A обозначим за $N_{A}$, силу трения - за $F_{A}$, а силу со стороны шарнира представим как сумму двух компонент $F$ и $N$ (см. Рис.). Помимо этого, на стержень действует сила тяжести. Заметим, что направление силы трения выбрано условно (может оказаться, что она направлена противоположно, тогда мы получим отрицательное значение).
Условия того, что данный стержень находится в равновесии запишутся следующим образом:
$F_{A} - F = 0$,
$N_{A} + N - mg = 0$,
$mg \frac{L}{8} - N \frac{5L}{8} = 0$,
$| F_{A} | \leq \mu N_{A}$.
Теперь рассмотрим второй стержень. Силы, действующие на него, изображены на Рис. Из условия равновесия шарнира и третьего закона Ньютона следует, что сила, действующая со стороны шарнира на второй стержень, противоположна силе, действующей на первый стержень. Силу реакции со стороны опоры B разложим на составляющую перпендикулярную стержню $R_{B \perp}$ и составляющую параллельную стержню $R_{B \parallel}$ (такие сложные обозначения для этих проекций введены исключительно для единообразия с обозначениями в I способе решения). Запишем условия равновесия второго стержня (сразу используем $\alpha = 45^{ \circ}$):
$F + R_{B \parallel} \frac{ \sqrt{2}}{2} - R_{B \perp} \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0$,
$R_{B \perp} \frac{ \sqrt{2} }{2} + R_{B \parallel} \frac{ \sqrt{2} }{2} - mg - N = 0$,
$mg \left ( \gamma L - \frac{L}{2} \right ) \frac{ \sqrt{2} }{2} + F \gamma L \frac{ \sqrt{2} }{2} + N \gamma L \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0$,
$|R_{ B \parallel} | \leq \mu R_{B \perp}$.
Используя полученные шесть уравнений и два неравенства, выразим все силы через силу тяжести $mg$ и найдем ограничения на $\mu$ и $\gamma$ (с учетом условия $0 < \gamma < 1$ и того, что коэффициент трения неотрицателен). Нетрудно получить следующее:
$N_{A} = \frac{4}{5} mg$,
$R_{B \perp} = \frac{ \sqrt{2} }{4 \gamma} mg$,
$N = \frac{1}{5} mg$,
$F = F_{A} = \left ( \frac{1}{2 \gamma} - \frac{6}{5} \right ) mg$,
$R_{ B \parallel} = \left ( \frac{6}{5} - \frac{1}{4 \gamma} \right ) \sqrt{2} mg$,
$|F_{A} | \leq \mu N_{A}$,
$|R_{B \parallel}| \leq \mu R_{B \perp}$,
$0 < \gamma < 1$.
Последние три условия задают некоторое множество пар значений $( \gamma, \mu)$, при которых вся система находится в равновесии. Поймем, как устроено это множество, графическим способом. Рассмотрим подробнее первое неравенство:
$|F_{A}| \leq \mu N_{A} \Leftrightarrow \left | \frac{1}{2 \gamma} - \frac{6}{5} \right | \leq \frac{4}{5} \mu \Leftrightarrow |5 - 12 \gamma | \leq 8 \gamma \mu$.
Данное неравенство можно решать относительно $\gamma$, считая $\mu$ параметром. Нетрудно показать, что оно задает область между гиперболами
$\gamma = \frac{5}{4}(2 \mu + 3), \gamma = \frac{5}{4}(3 - 2 \mu)$.
Эта область показана на Рис. горизонтальной штриховкой.
Перейдем ко второму условию:
$|R_{B \parallel}| \leq \mu R_{B \perp} \Leftrightarrow \left |2 \frac{6}{5} - \frac{1}{4 \gamma} \right | \leq \frac{ \mu}{4 \gamma} \Leftrightarrow |24 \gamma - 5| \leq 5 \mu \Leftrightarrow \frac{5}{24} (1 - \mu) \leq \gamma \leq \frac{5}{24} (1 + \mu)$.
Это двойное неравенство задает область, показанную вертикальной штриховкой на Рис. Искомая область является пересечением двух штрихованных областей (разумеется, с учетом $0 < \gamma < 1$ и $\mu > 0$).
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти проекцию полученной области на ось $\mu$. Видно, что эта проекция соответствует лучу $\mu \geq \mu_{*}$, где $\mu_{*}$ определяется из следующего уравнения (пересечение гиперболы и прямой):
$\frac{5}{24} (1 + \mu_{*} ) = \frac{5}{4(2 \mu_{*} + 3 ) }$.
Положительное решение этого квадратного уравнения - $\mu_{*} = 1/2$.
Ответ: равновесие системы возможно при $\mu \geq 1/2$.
Два одинаковых однородных массивных стержня соединены легким шарниром О. Один из стержней кладут на опору А так, что точка касания делит его в отношении 3:5 (см. рис.). Положение опоры В для второго стержня подбирают таким образом, чтобы система была в положении равновесия, показанном на рисунке (первый стержень горизонтален, второй наклонен под углом $\alpha = 45^{ \circ}$). При каких значениях коэффициента трения между опорами и стержнями это возможно? Трением в шарнире пренебречь.
Решение:
I способ решения:
Обозначим коэффициент трения между опорами и стержнями через $\mu$, длину стержней через $L$, массу - через $m$.
Все силы, действующие на стержни, изображены на Рис. По третьему закону Ньютона, сила, с которой горизонтальный стержень действует через шарнир на наклоненный стержень, равна по величине и обратна по направлению силе, с которой наклоненный стержень действует на горизонтальный. Удобно разложить эти силы на вертикальные и горизонтальные составляющие. На Рис. они обозначены через $N$ и $F$, соответственно. Силы реакции $\vec{R}_{A}$ и $\vec{R}_{B}$, действующие на стержни со стороны опор A и B, также оказывается целесообразным разложить на вертикальные и горизонтальные составляющие $N_{A}$ и $F_{A}$, $N_{B}$ и $F_{B}$, соответственно. Обратите внимание, что в случае опоры B проекции $N_{B}$ и $F_{B}$ не совпадают с силой нормальной реакции опоры и силой трения, соответственно. Для того чтобы получить последние, $R_{B \parallel }$ и $R_{B \perp}$, необходимо спроецировать силу $\vec{R}_{B}$ на оси нормальную и параллельную наклонному стержню. Наконец, на стержни действует притяжение со стороны земли. На Рис. силы $F$ изображены в предположении, что шарнир расталкивает стержни. Противоположный случай будет рассмотрен позже.
Выпишем второй закон Ньютона для горизонтального стержня в проекции на вертикальную и горизонтальную оси:
$Ox : F_{A} - F = 0$;
$Oy : N_{A} + N - mg = 0$. (1)
Аналогично для второго стержня имеем
$Ox : F - F_{B} = 0$;
$Oy : N_{B} - N - mg = 0$. (2)
Рассмотрим относительно шарнира моменты всех сил, действующих на левый стержень (сумма всех моментов в равновесии должна быть равна нулю):
$N_{A} \frac{5L}{8} = mg \frac{L}{2}$. (3)
Решая систему получившихся уравнений (10), (11) и (12), получаем
$F_{A} = F_{B} = F; N_{A} = \frac{4}{5} mg; N_{B} = \frac{6}{5} mg$. (4)
Обозначим через $x$ расстояние от шарнира O до точки, в которой необходимо разместить опору B. Тогда для второго стержня правило моментов дает
$x(N_{B} \cos \alpha + F_{B} \sin \alpha) = mg \frac{L}{2} \cos \alpha$. (5)
По условию, угол наклона второго стержня равен $45^{ \circ}$, а значит, $\cos \alpha = \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2}}$. Таким образом, из (5) для положения опоры B получаем:
$x = \frac{ \frac{L}{2} }{s + \frac{6}{5} }$, (6)
где мы для удобства ввели обозначение $s = F/mg$. Из последнего выражения видно, при разных значения горизонтальной проекции силы в шарнире $F$, опору B нужно размещать в разных местах. При этом величина $x$ лежит в интервале $[0, L]$ при любом неотрицательном значении параметра $s$.
Мы нашли положение опоры B, считая, что равновесие системы существует. Однако для ответа на вопрос задачи, необходимо иное: нужно исследовать, при каких значениях коэффициента трения $\mu$ между стержнями и опорами это положение равновесие вообще возможно. В некотором смысле, это "обратная" задача. Обычно в задаче известен коэффициент трения, и необходимо найти, например, действующие в системе силы. Здесь же, напротив, мы сами распоряжаемся силами, а именно, горизонтальной проекцией силы в шарнире $F$, и пытаемся разобраться, при каких значениях $\mu$ можно подобрать такое значение $F$, чтобы система была в равновесии.
Начнем исследовать систему. Рассмотрим сначала поподробнее случай, изображенный на Рис.: сила в шарнире расталкивает стержни. Положение равновесия определяется отсутствием проскальзывания между опорами и стержнями. Для того, чтобы стержни не проскальзывали, необходимо, чтобы касательная составляющая силы реакции опоры $R_{ \parallel}$ не превосходила перпендикулярную составляющую $R_{ \perp}$, умноженную на коэффициент трения:
$R_{ \parallel} \leq \mu R_{ \perp}$.
Для опоры A данное условие сводится к следующему:
$F_{A} \leq \mu N_{A} \Leftrightarrow s \leq \frac{4}{5} \mu$ (7)
Исследуем теперь проскальзывание стержня на опоре B. Касательная и нормальная составляющие силы реакции $\vec{R}_{B}$ равны, соответственно,
$R_{B \parallel} = |N_{B} - F_{B} | \sin \alpha = \frac{| 6mg/5 - F |}{ \sqrt{2} }, R_{B \perp} = (N_{B} + F_{B} ) \cos \alpha = \frac{6mg/5 + F}{ \sqrt{2} }$. (8)
Рассмотрим сперва случай $F \leq 6mg/5$ или, что тоже самое $s \leq 6/5$. Найдем, возможно ли равновесие систем при таких значениях силы $F$ в шарнире и чему должен быть равен при этом коэффициент трения ц. Условие отсутствия проскальзывания дает в этом случае
$\mu \left ( \frac{6}{5} mg + F \right ) \geq \frac{6}{5} mg - F \Leftrightarrow s \geq \frac{6}{5} \frac{1 - \mu}{1 + \mu}$. (9)
Рассматривая совместно неравенства (7) и (9), легко видеть, что для существования решения (т.е. такого значения силы $F$, при котором возможно равновесие), необходимо, чтобы выполнялось условие
$\frac{6}{5} \frac{1 - \mu}{1 + \mu} \leq \frac{4}{5} \mu \Leftrightarrow \mu \geq \frac{1}{2}$. (10)
Исследуем теперь случай
$F \geq 6mg/5 \Leftrightarrow s \geq 6/5$. (11)
Неравенство, аналогичное (9), имеет вид
$\mu \left ( \frac{6}{5} mg + F \right ) \geq F - \frac{6}{5} mg \Leftrightarrow s(1- \mu) \leq \frac{6}{5} (1 + \mu)$. (12)
При $\mu < 1$ неравенства (7) и (11) не имеют решений одновременно. При $\mu \leq 1$ условие (12) выполняется автоматически. Для существования совместного решения неравенств (7) и (12) необходимо
$\frac{6}{5} \leq \frac{4}{5} \mu \Leftrightarrow \mu \geq \frac{3}{2}$. (13)
Таким образом, в области $F > 6mg/5$ не существует никаких положений равновесия с новыми по сравнению с областью $F \leq 6mg/5$ значениями коэффициента трения $\mu$.
Остается рассмотреть случай, когда сила $F$ в шарнире стягивает стержни. Данная ситуация изображена на Рис. Аналогично, можно ввести расстояние $x$ от шарнира до опоры B. Из правила моментов получаем:
$x(F_{B} \sin \alpha - N_{B} \cos \alpha) = mg \frac{L}{2} \cos \alpha \Leftrightarrow x = \frac{ \frac{L}{2} }{ \frac{6}{5} - s }$, (14)
где, как и раньше, мы используем обозначение $s = F/mg$.
Касательная и нормальная составляющие силы реакции опоры $\vec{R}_{B}$ в этом случае равны
$R_{B \parallel} = (N_{B} + F_{B}) \sin \alpha = \frac{ \frac{6mg}{5} + F}{ \sqrt{2}}, R_{B \perp} = (N_{B} - F_{B}) \cos \alpha = \frac{ \frac{6mg}{5} - F}{ \sqrt{2} }$. (15)
Условие непроскальзывания сводится к неравенству
$\mu \left ( \frac{6}{5} - s \right ) \geq \frac{6}{5} + s \Leftrightarrow \mu \geq \frac{ \frac{6}{5} + s }{ \frac{6}{5} - s } \geq 1$, (16)
Из последней оценки видно, что коэффициенты трения, при которых возможно равновесие, заведомо не меньше 1. Следовательно, данная область также не доставляет нам качественно новых значений $\mu$.
На этом заканчивается анализ всех возможных случаев. Ответом является объединение всех найденных областей изменения коэффициентов трения $\mu$, а именно неравенств (10), (13) и (16). Таким образом, равновесие системы, при котором левый стержень горизонтален и делится точкой касания опоры A в отношении 3:5, а правый стержень наклонен под углом $45^{ \circ}$ возможно при $\mu \geq 1/2$.
Ответ: равновесие системы, при котором левый стержень горизонтален и делится точкой касания опоры A в отношении 3:5, а правый стержень наклонен под углом $45^{ \circ}$ возможно при $\mu > 1/2$.
Замечание: В принципе, можно не рассматривать отдельно случай, когда сила в шарнире стягивает стержни, и не выписывать заново все формулы. Достаточно допустить, что сила $F$ в формулах (1)-(12) может быть отрицательна, это как раз соответствует случаю стягивания.
II способ решения:
Обозначим длину стержней через $L$, массу - через $m$. Пусть расстояние от шарнира O до опоры B равно $\gamma L (0 < \gamma < 1)$. Необходимо понять, для каких $\mu$ возможно подобрать значение $\gamma$, чтобы система находилась в равновесии.
Рассмотрим силы, действующие на первый стержень. Нормальную составляющую силы реакции со стороны опоры A обозначим за $N_{A}$, силу трения - за $F_{A}$, а силу со стороны шарнира представим как сумму двух компонент $F$ и $N$ (см. Рис.). Помимо этого, на стержень действует сила тяжести. Заметим, что направление силы трения выбрано условно (может оказаться, что она направлена противоположно, тогда мы получим отрицательное значение).
Условия того, что данный стержень находится в равновесии запишутся следующим образом:
$F_{A} - F = 0$,
$N_{A} + N - mg = 0$,
$mg \frac{L}{8} - N \frac{5L}{8} = 0$,
$| F_{A} | \leq \mu N_{A}$.
Теперь рассмотрим второй стержень. Силы, действующие на него, изображены на Рис. Из условия равновесия шарнира и третьего закона Ньютона следует, что сила, действующая со стороны шарнира на второй стержень, противоположна силе, действующей на первый стержень. Силу реакции со стороны опоры B разложим на составляющую перпендикулярную стержню $R_{B \perp}$ и составляющую параллельную стержню $R_{B \parallel}$ (такие сложные обозначения для этих проекций введены исключительно для единообразия с обозначениями в I способе решения). Запишем условия равновесия второго стержня (сразу используем $\alpha = 45^{ \circ}$):
$F + R_{B \parallel} \frac{ \sqrt{2}}{2} - R_{B \perp} \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0$,
$R_{B \perp} \frac{ \sqrt{2} }{2} + R_{B \parallel} \frac{ \sqrt{2} }{2} - mg - N = 0$,
$mg \left ( \gamma L - \frac{L}{2} \right ) \frac{ \sqrt{2} }{2} + F \gamma L \frac{ \sqrt{2} }{2} + N \gamma L \frac{ \sqrt{2} }{2} = 0$,
$|R_{ B \parallel} | \leq \mu R_{B \perp}$.
Используя полученные шесть уравнений и два неравенства, выразим все силы через силу тяжести $mg$ и найдем ограничения на $\mu$ и $\gamma$ (с учетом условия $0 < \gamma < 1$ и того, что коэффициент трения неотрицателен). Нетрудно получить следующее:
$N_{A} = \frac{4}{5} mg$,
$R_{B \perp} = \frac{ \sqrt{2} }{4 \gamma} mg$,
$N = \frac{1}{5} mg$,
$F = F_{A} = \left ( \frac{1}{2 \gamma} - \frac{6}{5} \right ) mg$,
$R_{ B \parallel} = \left ( \frac{6}{5} - \frac{1}{4 \gamma} \right ) \sqrt{2} mg$,
$|F_{A} | \leq \mu N_{A}$,
$|R_{B \parallel}| \leq \mu R_{B \perp}$,
$0 < \gamma < 1$.
Последние три условия задают некоторое множество пар значений $( \gamma, \mu)$, при которых вся система находится в равновесии. Поймем, как устроено это множество, графическим способом. Рассмотрим подробнее первое неравенство:
$|F_{A}| \leq \mu N_{A} \Leftrightarrow \left | \frac{1}{2 \gamma} - \frac{6}{5} \right | \leq \frac{4}{5} \mu \Leftrightarrow |5 - 12 \gamma | \leq 8 \gamma \mu$.
Данное неравенство можно решать относительно $\gamma$, считая $\mu$ параметром. Нетрудно показать, что оно задает область между гиперболами
$\gamma = \frac{5}{4}(2 \mu + 3), \gamma = \frac{5}{4}(3 - 2 \mu)$.
Эта область показана на Рис. горизонтальной штриховкой.
Перейдем ко второму условию:
$|R_{B \parallel}| \leq \mu R_{B \perp} \Leftrightarrow \left |2 \frac{6}{5} - \frac{1}{4 \gamma} \right | \leq \frac{ \mu}{4 \gamma} \Leftrightarrow |24 \gamma - 5| \leq 5 \mu \Leftrightarrow \frac{5}{24} (1 - \mu) \leq \gamma \leq \frac{5}{24} (1 + \mu)$.
Это двойное неравенство задает область, показанную вертикальной штриховкой на Рис. Искомая область является пересечением двух штрихованных областей (разумеется, с учетом $0 < \gamma < 1$ и $\mu > 0$).
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти проекцию полученной области на ось $\mu$. Видно, что эта проекция соответствует лучу $\mu \geq \mu_{*}$, где $\mu_{*}$ определяется из следующего уравнения (пересечение гиперболы и прямой):
$\frac{5}{24} (1 + \mu_{*} ) = \frac{5}{4(2 \mu_{*} + 3 ) }$.
Положительное решение этого квадратного уравнения - $\mu_{*} = 1/2$.
Ответ: равновесие системы возможно при $\mu \geq 1/2$.
