Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10103
2019-01-17 
Девочка Маша ходит с постоянной скоростью $u = 3 м/с$ по прямому мосту длиной $L = 100 м$ от одного конца до другого и обратно. Мальчик Саша не спеша ходит за Машей со скоростью $v = 1 м/с$ по тому же мосту. Всякий раз когда Маша проходит мимо Саши, он разворачивается и опять идет в ее сторону. В начальный момент времени Саша и Маша находились у левого конца моста. Где произошла их 3-я встреча (начальный момент не считается)? Каково среднее расстояние между Сашей и Машей за большой промежуток времени.
Решение:
Поместим начало координат около левого конца моста и направим ось Ox вдоль него. На Рис. схематично изображена зависимость координат мальчика и девочки от времени. Глядя на этот график можно догадаться, что через большое время Саша и Маша будут встречаться примерно в одних и тех же точках. Эти точки будут расположены симметрично относительно центра моста, поэтому обозначим их расстояния от левого конца как $\frac{L}{2} \pm x$. Между встречами Саша проходит путь $2x$, а Маша $L$. Они делают это за одинаковое время, поэтому можно записать:
$\frac{2x}{v} = \frac{L}{u} \Leftrightarrow x = \frac{L}{2} \frac{v}{u}$. (1)
Таким образом, "установившееся" расстояние от мест встречи до ближайшего конца моста будет
$l_{*} = \frac{L}{2} \left ( 1 - \frac{v}{u} \right )$.
Рассмотрим далее, как происходит приближение к этому "установившемуся" режиму. Пусть n-ая встреча между Сашей и Машей произошла на расстоянии $l_{n}$ от того конца моста, от которого в тот момент удалялась Маша. Обозначим через $l_{n} + 1$ расстояние от противоположного конца моста до места следующей встречи. Между этими встречами Саша пройдет путь $L - l_{n} - l_{n+1}$, а Маша путь $L - l_{n} + l_{n+1}$ (см. Рис.). Тогда можно отметить, что:
$\frac{L - l_{n} - l_{n + 1} }{v} = \frac{L - l_{n} + l_{n + 1} }{u}$, (2)
и, следовательно:
$l_{n+1} = zL - zl_{n}$, где $z = \frac{u - v}{u + v}$. (3)
Учитывая, что со временем $l_{n}$ должно приближаться к $l_{*}$, удобно ввести новую переменную $h_{n} = l_{n} - l_{*}$ и получить уравнение:
$h_{n + 1} = - zh_{n}, h_{n} = (- 1)^{n}z^{n}h_{0}$. (4)
Полученное выражение, в принципе, решает задачу.
Из условий задачи следует, что $z = 1/2, l_{*} = 100/3 м, h_{0} = l_{0} - l_{*} = - l_{*}$. Тогда
$h_{3} = \frac{1}{8} l_{*} = 4 \frac{1}{6} м$. (5)
Таким образом, 3-я встреча произойдет на расстоянии $l_{*} + h_{3} = 37,5 м$ от правого конца моста.
Осталось разобраться со средним расстоянием между Сашей и Машей за большой промежуток времени. Будем считать, что "установившийся" режим уже наступил и рассчитаем среднее расстояние в этом случае. При это первые несколько встреч, т.е. "переходный режим" будут давать небольшие поправки к среднему, тем меньшие, чем больше время усреднения. В одном полупериоде установившегося режима расстояние линейно меняется от нуля (момент встречи) до некоторого максимального $r_{max}$ и затем опять до нуля (следующая встреча). Т.к. расстояние меняется со временем линейно, легко понять, что среднее расстояние будет равно $r_{max}/2$. Для определения $r_{max}$ отметим, что максимальное расстояние достигается в момент когда Маша доходит до конца моста, через время (L/2 + x)/u от предыдущей встречи. За это время Саша проходит путь $\frac{ \frac{L}{2} + x}{u}$ от предыдущей встречи. За это время Саша проходит путь $\frac{ \left ( \frac{L}{2} + x \right )v }{u} $ и
$r_{max} = \left ( L/2 + x \right ) \left ( 1 - \frac{v}{u} \right ) = \frac{L}{2} \left ( 1 - \left ( \frac{v}{u} \right )^{2} \right ) $. (6)
Из этого следует, что среднее расстояние будет равно $r_{max}/2 \approx 22,2 м$.
Ответ: Третья встреча произойдет на расстоянии 37,5 м от правого конца моста, среднее расстояние приблизительно равно 22,2 м.
Девочка Маша ходит с постоянной скоростью $u = 3 м/с$ по прямому мосту длиной $L = 100 м$ от одного конца до другого и обратно. Мальчик Саша не спеша ходит за Машей со скоростью $v = 1 м/с$ по тому же мосту. Всякий раз когда Маша проходит мимо Саши, он разворачивается и опять идет в ее сторону. В начальный момент времени Саша и Маша находились у левого конца моста. Где произошла их 3-я встреча (начальный момент не считается)? Каково среднее расстояние между Сашей и Машей за большой промежуток времени.
Решение:
Поместим начало координат около левого конца моста и направим ось Ox вдоль него. На Рис. схематично изображена зависимость координат мальчика и девочки от времени. Глядя на этот график можно догадаться, что через большое время Саша и Маша будут встречаться примерно в одних и тех же точках. Эти точки будут расположены симметрично относительно центра моста, поэтому обозначим их расстояния от левого конца как $\frac{L}{2} \pm x$. Между встречами Саша проходит путь $2x$, а Маша $L$. Они делают это за одинаковое время, поэтому можно записать:
$\frac{2x}{v} = \frac{L}{u} \Leftrightarrow x = \frac{L}{2} \frac{v}{u}$. (1)
Таким образом, "установившееся" расстояние от мест встречи до ближайшего конца моста будет
$l_{*} = \frac{L}{2} \left ( 1 - \frac{v}{u} \right )$.
Рассмотрим далее, как происходит приближение к этому "установившемуся" режиму. Пусть n-ая встреча между Сашей и Машей произошла на расстоянии $l_{n}$ от того конца моста, от которого в тот момент удалялась Маша. Обозначим через $l_{n} + 1$ расстояние от противоположного конца моста до места следующей встречи. Между этими встречами Саша пройдет путь $L - l_{n} - l_{n+1}$, а Маша путь $L - l_{n} + l_{n+1}$ (см. Рис.). Тогда можно отметить, что:
$\frac{L - l_{n} - l_{n + 1} }{v} = \frac{L - l_{n} + l_{n + 1} }{u}$, (2)
и, следовательно:
$l_{n+1} = zL - zl_{n}$, где $z = \frac{u - v}{u + v}$. (3)
Учитывая, что со временем $l_{n}$ должно приближаться к $l_{*}$, удобно ввести новую переменную $h_{n} = l_{n} - l_{*}$ и получить уравнение:
$h_{n + 1} = - zh_{n}, h_{n} = (- 1)^{n}z^{n}h_{0}$. (4)
Полученное выражение, в принципе, решает задачу.
Из условий задачи следует, что $z = 1/2, l_{*} = 100/3 м, h_{0} = l_{0} - l_{*} = - l_{*}$. Тогда
$h_{3} = \frac{1}{8} l_{*} = 4 \frac{1}{6} м$. (5)
Таким образом, 3-я встреча произойдет на расстоянии $l_{*} + h_{3} = 37,5 м$ от правого конца моста.
Осталось разобраться со средним расстоянием между Сашей и Машей за большой промежуток времени. Будем считать, что "установившийся" режим уже наступил и рассчитаем среднее расстояние в этом случае. При это первые несколько встреч, т.е. "переходный режим" будут давать небольшие поправки к среднему, тем меньшие, чем больше время усреднения. В одном полупериоде установившегося режима расстояние линейно меняется от нуля (момент встречи) до некоторого максимального $r_{max}$ и затем опять до нуля (следующая встреча). Т.к. расстояние меняется со временем линейно, легко понять, что среднее расстояние будет равно $r_{max}/2$. Для определения $r_{max}$ отметим, что максимальное расстояние достигается в момент когда Маша доходит до конца моста, через время (L/2 + x)/u от предыдущей встречи. За это время Саша проходит путь $\frac{ \frac{L}{2} + x}{u}$ от предыдущей встречи. За это время Саша проходит путь $\frac{ \left ( \frac{L}{2} + x \right )v }{u} $ и
$r_{max} = \left ( L/2 + x \right ) \left ( 1 - \frac{v}{u} \right ) = \frac{L}{2} \left ( 1 - \left ( \frac{v}{u} \right )^{2} \right ) $. (6)
Из этого следует, что среднее расстояние будет равно $r_{max}/2 \approx 22,2 м$.
Ответ: Третья встреча произойдет на расстоянии 37,5 м от правого конца моста, среднее расстояние приблизительно равно 22,2 м.
