Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10099
2019-01-17 
Конструкция, показанная на рисунке, сделана из однородной проволоки и состоит из кольца A радиуса $R$ и равностороннего треугольника B. К точкам C и D подключили напряжение. На каком расстоянии $x$ от точки C должна находиться точка D, чтобы общее сопротивление схемы было максимальным?
Решение:
Обозначим сопротивление трети окружности через $Z$, сопротивление стороны треугольника через $Y$, сопротивление части $x$ через $X$. Тогда общее сопротивление схемы будет выглядеть так, как показано на рисунке:
Обозначим сопротивление круга и двух сторон треугольника через A. Тогда общее сопротивление схемы можно записать следующим образом:
$R_{общ} = \frac{(A + Y - X)X}{A + Y + X - X} = \frac{ - X^{2} + X (A + Y) }{A + Y}$.
Знаменатель $R_{общ}$ является константой, не зависящей от $X$, тогда как числитель представляет собой параболу ветвями вниз. Вершина данной параболы (т.е. максимально возможное сопротивление) находится в точке $X = - \frac{b}{2a} = \frac{A + Y}{2}$. Рассмотрим сопротивления $Y$ и $Z$. Сопротивление $Z$ пропорционально одной трети длины окружности, т.е. $Z = \rho \frac{2 \pi R}{3}$, где $\rho$ - сопротивление единицы длины проволоки, $R$ - радиус окружности. Сопротивление $Y$ стороны треугольника можно выразить следующим образом: $Y = \rho \sqrt{3}R$. Рассмотрим сопротивление A:
$A = \frac{Z \left ( 2 \frac{YZ}{Y + Z} \right ) }{Z + 2 \frac{YZ}{Y + Z} } = \frac{2YZ^{2} }{3YZ + Z^{2} }$.
Выразим искомую длину $x$ как сопротивление $X$, деленное на удельное сопротивление $\rho: x = \frac{X}{ \rho}$. Введем величины $z, y$ и $\alpha$ также: $y = Y/ \rho, z = \frac{Z}{ \rho}$ и $\alpha = \frac{A}{ \rho}$. Тогда выражение для длины $x$ будет записываться аналогичным образом:
$x = \frac{ \alpha y}{2} = \frac{1}{2} \frac{2yz^{2} + 3y^{2}z + yz^{2} }{3yz + z^{2} } = \frac{1}{2} \frac{3y(y + z)}{2(3y + z)}$.
Подставим значения $y$ и $z$:
$x = \frac{1}{2} \frac{3 \sqrt{3} R \left ( \sqrt{3}R + \frac{2 \pi R}{3} \right ) }{3 \sqrt{3} R + \frac{2 \pi R}{3} } = \frac{3 \sqrt{3}R }{2} \frac{3 \sqrt{3} + 2 \pi }{9 \sqrt{3} + 2 \pi} = R \frac{27 + 6 \sqrt{3} \pi }{18 \sqrt{3} + 4 \pi } \approx 1,4R$
Таким образом, Ответ: $x = R \frac{}{} \approx 1,4R$
Конструкция, показанная на рисунке, сделана из однородной проволоки и состоит из кольца A радиуса $R$ и равностороннего треугольника B. К точкам C и D подключили напряжение. На каком расстоянии $x$ от точки C должна находиться точка D, чтобы общее сопротивление схемы было максимальным?
Решение:
Обозначим сопротивление трети окружности через $Z$, сопротивление стороны треугольника через $Y$, сопротивление части $x$ через $X$. Тогда общее сопротивление схемы будет выглядеть так, как показано на рисунке:
Обозначим сопротивление круга и двух сторон треугольника через A. Тогда общее сопротивление схемы можно записать следующим образом:
$R_{общ} = \frac{(A + Y - X)X}{A + Y + X - X} = \frac{ - X^{2} + X (A + Y) }{A + Y}$.
Знаменатель $R_{общ}$ является константой, не зависящей от $X$, тогда как числитель представляет собой параболу ветвями вниз. Вершина данной параболы (т.е. максимально возможное сопротивление) находится в точке $X = - \frac{b}{2a} = \frac{A + Y}{2}$. Рассмотрим сопротивления $Y$ и $Z$. Сопротивление $Z$ пропорционально одной трети длины окружности, т.е. $Z = \rho \frac{2 \pi R}{3}$, где $\rho$ - сопротивление единицы длины проволоки, $R$ - радиус окружности. Сопротивление $Y$ стороны треугольника можно выразить следующим образом: $Y = \rho \sqrt{3}R$. Рассмотрим сопротивление A:
$A = \frac{Z \left ( 2 \frac{YZ}{Y + Z} \right ) }{Z + 2 \frac{YZ}{Y + Z} } = \frac{2YZ^{2} }{3YZ + Z^{2} }$.
Выразим искомую длину $x$ как сопротивление $X$, деленное на удельное сопротивление $\rho: x = \frac{X}{ \rho}$. Введем величины $z, y$ и $\alpha$ также: $y = Y/ \rho, z = \frac{Z}{ \rho}$ и $\alpha = \frac{A}{ \rho}$. Тогда выражение для длины $x$ будет записываться аналогичным образом:
$x = \frac{ \alpha y}{2} = \frac{1}{2} \frac{2yz^{2} + 3y^{2}z + yz^{2} }{3yz + z^{2} } = \frac{1}{2} \frac{3y(y + z)}{2(3y + z)}$.
Подставим значения $y$ и $z$:
$x = \frac{1}{2} \frac{3 \sqrt{3} R \left ( \sqrt{3}R + \frac{2 \pi R}{3} \right ) }{3 \sqrt{3} R + \frac{2 \pi R}{3} } = \frac{3 \sqrt{3}R }{2} \frac{3 \sqrt{3} + 2 \pi }{9 \sqrt{3} + 2 \pi} = R \frac{27 + 6 \sqrt{3} \pi }{18 \sqrt{3} + 4 \pi } \approx 1,4R$
Таким образом, Ответ: $x = R \frac{}{} \approx 1,4R$
