Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10098
2019-01-17 
Две одинаковые тележки массы $M$ могут скользить без трения по горизонтальным рельсам. На тележках установлены мачты со спицами, жестко закрепленными под углом $\alpha$ к горизонту. По спицам могут скользить без трения бусины массой $m$, скрепленные одной нитью. В начальный момент тележки удерживают, затем отпускают. С каким ускорением будут сближаться тележки?
Решение:
Система симметрична, поэтому можно рассматривать только половину: одну бусинку и одну тележку. Ускорение тележки по горизонтали такое же, как и ускорение бусинки вдоль спицы — иначе нить либо порвется, либо будет растягиваться, обозначим его за $a$. В силу симметрии задачи, ускорение, с которым вдвигаются тележки, будет удвоенным ускорением тележки: $2a$.
Рассмотрим силы, действующие на бусинку вдоль спицы: это силы натяжения нити $T$ и проекция силы тяжести бусинки $mg \sin \alpha$. Также, бусинка движется в горизонтальном направлении с ускорением $a$, так как спица жестко закреплена с мачтой и тележкой, что означает, что система является неинерциальной, проекция горизонтального ускорения вдоль спицы : $a \cos \alpha$. Таким образом, закон Ньютона вдоль спицы для бусины массой $m$ будет выглядеть следующим образом:
$ma = mg \sin \alpha - T + ma \cos \alpha$.
Запишем уравнение Ньютона для бусины на ось, перпендикулярную спице. Бусинка не движется перпендикулярно спице, значит ускорение бусины вдоль этой оси — 0, на бусину действует сила реакции опоры $N$ и проекция силы тяжести $mg \cos \alpha$. Также, проекция горизонтального ускорения а системы на ось, перпендикулярную спице, равно $a \sin \alpha$:
$0 = N + ma \sin \alpha - mg \cos \alpha$.
Теперь рассмотри силы, действующие на тележку массой $M$ вдоль горизонтальной оси. Это сила натяжения нити $T$, проекция силы натяжения нити $T \cos \alpha$ и сила проекция силы реакции опоры бусинки $N \sin \alpha$:
$Ma = T - T \cos \alpha + N \sin \alpha$.
Решая систему уравнений, получим:
$a = \frac{mg \sin \alpha}{M + 2m(1 - \cos \alpha) }$.
Ответ: $a_{сближения} = \frac{2mg \sin \alpha}{M + 2m(1 - \cos \alpha)}$.
Две одинаковые тележки массы $M$ могут скользить без трения по горизонтальным рельсам. На тележках установлены мачты со спицами, жестко закрепленными под углом $\alpha$ к горизонту. По спицам могут скользить без трения бусины массой $m$, скрепленные одной нитью. В начальный момент тележки удерживают, затем отпускают. С каким ускорением будут сближаться тележки?
Решение:
Система симметрична, поэтому можно рассматривать только половину: одну бусинку и одну тележку. Ускорение тележки по горизонтали такое же, как и ускорение бусинки вдоль спицы — иначе нить либо порвется, либо будет растягиваться, обозначим его за $a$. В силу симметрии задачи, ускорение, с которым вдвигаются тележки, будет удвоенным ускорением тележки: $2a$.
Рассмотрим силы, действующие на бусинку вдоль спицы: это силы натяжения нити $T$ и проекция силы тяжести бусинки $mg \sin \alpha$. Также, бусинка движется в горизонтальном направлении с ускорением $a$, так как спица жестко закреплена с мачтой и тележкой, что означает, что система является неинерциальной, проекция горизонтального ускорения вдоль спицы : $a \cos \alpha$. Таким образом, закон Ньютона вдоль спицы для бусины массой $m$ будет выглядеть следующим образом:
$ma = mg \sin \alpha - T + ma \cos \alpha$.
Запишем уравнение Ньютона для бусины на ось, перпендикулярную спице. Бусинка не движется перпендикулярно спице, значит ускорение бусины вдоль этой оси — 0, на бусину действует сила реакции опоры $N$ и проекция силы тяжести $mg \cos \alpha$. Также, проекция горизонтального ускорения а системы на ось, перпендикулярную спице, равно $a \sin \alpha$:
$0 = N + ma \sin \alpha - mg \cos \alpha$.
Теперь рассмотри силы, действующие на тележку массой $M$ вдоль горизонтальной оси. Это сила натяжения нити $T$, проекция силы натяжения нити $T \cos \alpha$ и сила проекция силы реакции опоры бусинки $N \sin \alpha$:
$Ma = T - T \cos \alpha + N \sin \alpha$.
Решая систему уравнений, получим:
$a = \frac{mg \sin \alpha}{M + 2m(1 - \cos \alpha) }$.
Ответ: $a_{сближения} = \frac{2mg \sin \alpha}{M + 2m(1 - \cos \alpha)}$.
