Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10097
2019-01-17 
Студент Кикулов взял шарики с газом и соединил их друг с другом в одну цепочку одинаковыми невесомыми пружинками. Газ в шариках легче воздуха, поэтому он закрепил конструкцию за крайний шарик на земле (см. рис.). Студент сбросил камень с высоты верхнего шарика и увидел, что каждую секунду камень пролетает мимо следующего шарика. С какой начальной скоростью он сбросил камень? Размером шарика и начальной длиной пружины пренебречь по сравнению с растяжением любой пружины, ускорение свободного падения - $g = 9,8м/с^{2}$.
Решение:
Будем нумеровать шарики сверху вниз. Рассмотрим два шарика сверху. На первый (крайний верхний) шарик действуют три силы: сила тяжести $F_{mg}$, сила Архимеда $F_{A}$ и сила упругости пружины $F = k \Delta x_{1}$. На второй сверху шарик действуют сила упругости первой пружины $F = k \Delta x_{1}$, силы Архимеда, сила тяжести и сила упругости второй пружины $F = k \Delta x_{2}$. Следовательно, в состоянии равновесия, для первого шарика верно:
$F_{A} - mg = k \Delta x_{1}$.
Для второго шарика выполняется следующее равенство:
$F_{A} + k \Delta x_{1} = mg + k \Delta x_{2}$,
откуда легко получить следующее соотношение: $\Delta x_{2} = 2 \Delta x_{1}$. Значит, начальная скорость должна быть такой, чтобы за вторую секунду камень пролетал бы в два раза большее расстояние, нежели за первую:
$\Delta x_{1} = v_{0}t + \frac{gt^{2}}{2}$,
$\Delta x_{2} = (v_{0} + gt)t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Применяя соотношение $\Delta x_{2} = 2 \Delta x_{1}$, получим следующее:
$2 \left (v_{0}t + \frac{gt^{2} }{2} \right ) = (v_{0} + gt)t + \frac{gt^{2} }{2}$
$2v_{0}t + gt^{2} = v_{0}t + \frac{3}{2} gt^{2}$
Откуда легко получить ответ:
$v_{0} = \frac{1}{2} gt = 4,9 м/с$.
Докажем, что это верно для расстояния между $n$-м и $(n+1)$-м шариком. Уравнение Ньютона для $n$-го шарика:
$k \Delta x_{n-1} + F_{A} = mg + k \Delta x_{n}$,
откуда $x_{n} = \frac{ F_{A} - mg}{k} + \Delta x_{n-1}$, т.е. $x_{n} = nx_{1}$. С точки зрения пролетающего камня, расстояние между $n$-м и $(n+1)$-м шариками он пролетает за время $t = 1 сек$. При этом начальная скорость камня, подлетающего к $n$-му шарику, $v = v_{0} + g(n - 1)t$.
$\Delta x_{n} = (v_{0} + g(n - 1)t)t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Таким образом, приравнивая $nx_{1}$ и $x_{n}$, получим:
$n \left (v_{0}t + \frac{gt^{2} }{2} \right ) = v_{0}t + g(n - 1)t^{2} + \frac{gt^{2}}{2}$
$(n - 1)v_{0}t = \frac{gt^{2} }{2} (n - 1)$
Откуда получаем Ответ: $v_{0} = \frac{1}{2}gt$.
Студент Кикулов взял шарики с газом и соединил их друг с другом в одну цепочку одинаковыми невесомыми пружинками. Газ в шариках легче воздуха, поэтому он закрепил конструкцию за крайний шарик на земле (см. рис.). Студент сбросил камень с высоты верхнего шарика и увидел, что каждую секунду камень пролетает мимо следующего шарика. С какой начальной скоростью он сбросил камень? Размером шарика и начальной длиной пружины пренебречь по сравнению с растяжением любой пружины, ускорение свободного падения - $g = 9,8м/с^{2}$.
Решение:
Будем нумеровать шарики сверху вниз. Рассмотрим два шарика сверху. На первый (крайний верхний) шарик действуют три силы: сила тяжести $F_{mg}$, сила Архимеда $F_{A}$ и сила упругости пружины $F = k \Delta x_{1}$. На второй сверху шарик действуют сила упругости первой пружины $F = k \Delta x_{1}$, силы Архимеда, сила тяжести и сила упругости второй пружины $F = k \Delta x_{2}$. Следовательно, в состоянии равновесия, для первого шарика верно:
$F_{A} - mg = k \Delta x_{1}$.
Для второго шарика выполняется следующее равенство:
$F_{A} + k \Delta x_{1} = mg + k \Delta x_{2}$,
откуда легко получить следующее соотношение: $\Delta x_{2} = 2 \Delta x_{1}$. Значит, начальная скорость должна быть такой, чтобы за вторую секунду камень пролетал бы в два раза большее расстояние, нежели за первую:
$\Delta x_{1} = v_{0}t + \frac{gt^{2}}{2}$,
$\Delta x_{2} = (v_{0} + gt)t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Применяя соотношение $\Delta x_{2} = 2 \Delta x_{1}$, получим следующее:
$2 \left (v_{0}t + \frac{gt^{2} }{2} \right ) = (v_{0} + gt)t + \frac{gt^{2} }{2}$
$2v_{0}t + gt^{2} = v_{0}t + \frac{3}{2} gt^{2}$
Откуда легко получить ответ:
$v_{0} = \frac{1}{2} gt = 4,9 м/с$.
Докажем, что это верно для расстояния между $n$-м и $(n+1)$-м шариком. Уравнение Ньютона для $n$-го шарика:
$k \Delta x_{n-1} + F_{A} = mg + k \Delta x_{n}$,
откуда $x_{n} = \frac{ F_{A} - mg}{k} + \Delta x_{n-1}$, т.е. $x_{n} = nx_{1}$. С точки зрения пролетающего камня, расстояние между $n$-м и $(n+1)$-м шариками он пролетает за время $t = 1 сек$. При этом начальная скорость камня, подлетающего к $n$-му шарику, $v = v_{0} + g(n - 1)t$.
$\Delta x_{n} = (v_{0} + g(n - 1)t)t + \frac{gt^{2} }{2}$.
Таким образом, приравнивая $nx_{1}$ и $x_{n}$, получим:
$n \left (v_{0}t + \frac{gt^{2} }{2} \right ) = v_{0}t + g(n - 1)t^{2} + \frac{gt^{2}}{2}$
$(n - 1)v_{0}t = \frac{gt^{2} }{2} (n - 1)$
Откуда получаем Ответ: $v_{0} = \frac{1}{2}gt$.
