Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10095
2019-01-17 
Внутри вертикального гладкого полого конуса находится тонкий горизонтальный ледяной диск (см. рис.). К конусу подключен нагреватель: мощность нагревателя в начальный момент времени равняется $P_{0} = 5 кВт$. Диск при этом движется вниз со скоростью 1 см/с. Тепло от нагревателя идёт на плавление ледяного диска. Конус хорошо проводит тепло, а диск равномерно плавится по краям. Высота конуса $h = 25 см$. Какой должна быть зависимость мощности нагревателя от времени, чтобы диск продолжал двигаться вниз с постоянной скоростью 1 см/с? Постройте график. Теплопотерями пренебречь.
Решение:
На протяжении решения задачи греческими буквами мы будем обозначать различные постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов нам будут неизвестны, но и не важны.
Заметим, что радиус диска прямо пропорционален высоте, на которой находится диск. $R_{D} = \alpha h$. При равномерном движении высота, на которой находится диск, линейно уменьшается со временем:
$\tilde{h}(t) = h - \beta t$
Отсюда и радиус диска линейно уменьшается со временем.
$R_{D}(t) = \alpha \tilde{h}(t) = \alpha (h - \beta t) = \alpha h - \alpha \beta t = R_{0} - \gamma t$
3a $R_{0}$ мы обозначили здесь радиус диска в начальный момент времени.
Мощность, которую тратит нагреватель, пропорциональна изменению площади диска за единицу времени. Действительно, мощность за единицу времени это теплота, которую нагреватель передал ледяному диску. Эта теплота идёт на плавление льда. А количество растаявшего льда, соответственно, прямо пропорционально теплоте, которую льду передали. В свою очередь, изменение площади диска пропорционально радиусу диска. Действительно, если радиус уменьшился на маленькое значение $\delta R$, то площадь уменьшилась на $2 \pi R \delta R$.
Отсюда можно записать:
$P(t) = \nu R_{D} (t)$
Подставляя уже полученное выражение для зависимости радиуса диска от времени (значения коэффициентов пропорциональности нам всё ещё не известны), получаем
$P(t) = \nu(R_{0} - \gamma t) = P_{0} - \mu t$
И видим, что зависимость мощности от времени представляет собой линейную функцию, и т.е. её графиком будет прямая. Однако, нам неизвестен коэффициент $\mu$. Но его несложно определить из условия того, что мощность должна обнулиться, когда диск дойдёт до низа конуса. Это произойдёт через 25 секунд после начального момента, поэтому $\mu = P_{0}/25$. Осталось лишь построить график.
Ответ: Итоговый график изображён на рис.
Внутри вертикального гладкого полого конуса находится тонкий горизонтальный ледяной диск (см. рис.). К конусу подключен нагреватель: мощность нагревателя в начальный момент времени равняется $P_{0} = 5 кВт$. Диск при этом движется вниз со скоростью 1 см/с. Тепло от нагревателя идёт на плавление ледяного диска. Конус хорошо проводит тепло, а диск равномерно плавится по краям. Высота конуса $h = 25 см$. Какой должна быть зависимость мощности нагревателя от времени, чтобы диск продолжал двигаться вниз с постоянной скоростью 1 см/с? Постройте график. Теплопотерями пренебречь.
Решение:
На протяжении решения задачи греческими буквами мы будем обозначать различные постоянные коэффициенты. Значения этих коэффициентов нам будут неизвестны, но и не важны.
Заметим, что радиус диска прямо пропорционален высоте, на которой находится диск. $R_{D} = \alpha h$. При равномерном движении высота, на которой находится диск, линейно уменьшается со временем:
$\tilde{h}(t) = h - \beta t$
Отсюда и радиус диска линейно уменьшается со временем.
$R_{D}(t) = \alpha \tilde{h}(t) = \alpha (h - \beta t) = \alpha h - \alpha \beta t = R_{0} - \gamma t$
3a $R_{0}$ мы обозначили здесь радиус диска в начальный момент времени.
Мощность, которую тратит нагреватель, пропорциональна изменению площади диска за единицу времени. Действительно, мощность за единицу времени это теплота, которую нагреватель передал ледяному диску. Эта теплота идёт на плавление льда. А количество растаявшего льда, соответственно, прямо пропорционально теплоте, которую льду передали. В свою очередь, изменение площади диска пропорционально радиусу диска. Действительно, если радиус уменьшился на маленькое значение $\delta R$, то площадь уменьшилась на $2 \pi R \delta R$.
Отсюда можно записать:
$P(t) = \nu R_{D} (t)$
Подставляя уже полученное выражение для зависимости радиуса диска от времени (значения коэффициентов пропорциональности нам всё ещё не известны), получаем
$P(t) = \nu(R_{0} - \gamma t) = P_{0} - \mu t$
И видим, что зависимость мощности от времени представляет собой линейную функцию, и т.е. её графиком будет прямая. Однако, нам неизвестен коэффициент $\mu$. Но его несложно определить из условия того, что мощность должна обнулиться, когда диск дойдёт до низа конуса. Это произойдёт через 25 секунд после начального момента, поэтому $\mu = P_{0}/25$. Осталось лишь построить график.
Ответ: Итоговый график изображён на рис.
