Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10091
2019-01-17 
У моряков подводной лодки "Aperture", выполняющей задание на большой глубине, есть экспериментальный куб, неоднородный по плотности (см. рис., вид в разрезе). Каждый день моряки прикрепляют куб за нить к подводной лодке и отпускают его за борт, замеряя силу натяжения нити. Куб при измерениях всегда остаётся в толще воды. Вечером они подтачивают куб со всех сторон на 1 мм. Определите максимальное натяжение нити, зафиксированное за всё время эксперимента. Длина $a = 20 см$, плотности $\rho_{1} = 1075 кг/м^{3}, \rho_{2} = 925 кг/м^{3}$. Плотность воды равняется $\rho = 1025 кг/м^{3}$, $g$ считать равным 10 Н/кг.
Решение:
На куб, закреплённый за бортом подводной лодки, действуют три силы: сила Архимеда со стороны воды $F_{a} = \rho gV$, сила тяжести $mg$ и сила со стороны нити. Куб находится в равновесии, а значит сумма этих сил равна нулю. Таким образом, искомую силу натяжения нити мы можем найти, вычитая из силы тяжести куба силу Архимеда. Стоит отметить, что эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Первый случай означает, что сила Архимеда меньше силы тяжести, и нить тянет куб наверх, удерживая его от того, чтобы утонуть. Во втором же случае сила Архимеда со стороны жидкости больше силы тяжести куба, то есть куб стремится всплыть, а нить удерживает его от этого, и сила со стороны нити действует вниз. Таким образом, нас интересует максимум модуля разности силы Архимеда и силы тяжести куба. Исследуем, как изменяется эта величина (обозначим её за $F_{d}$) по мере того, как моряки уменьшают куб.
Плотность $\rho_{1}$ больше плотности воды, а плотность $\rho_{2}$ - меньше. А значит, что $F_{d}$ будет увеличиваться, когда моряки будут подпиливать слои куба плотностью $\rho_{2}$ и уменьшаться, когда они будут подпиливать слои плотностью $\rho_{1}$. Это также будет видно из выражения для $F_{d}$ чуть далее.
Вычислим начальное значение величины $F_{d}$ и натяжения нити:
$F_{d} = a^{3} \rho_{1}g + ((3a)^{3} - a^{3}) \rho_{2}g + ((5a)^{3} - (3a)^{3}) \rho_{1}g - (5a)^{3} \rho g$
Первое слагаемое здесь соответствует массе внутреннего кубика, второе массе средней части, третье массе внешней части куба и вычитается сила Архимеда со стороны воды.
Для удобства перепишем выражение в таком виде:
$F_{d} = a^{3}( \rho_{1} - \rho )g + ((3a)^{3} - a^{3})( \rho_{2} - \rho)g + ((5a)^{3} - (3a)^{3})( \rho_{1} - \rho)g$
Теперь его просто вычислить, а также становится совсем ясным вывод из второго абзаца.
$F_{d} = ga^{3} [(\rho_{1} - \rho) + 26( \rho_{2} - \rho) + 98( \rho_{1} - \rho)] = 10 \cdot 0,23^{3} \cdot 50 \cdot (1 - 52 + 98) = 4,47 H$
По мере того, как моряки будут уменьшать куб, значение $F_{d}$ будет уменьшаться, как было отмечено, т.к. они подпиливают внешний куб, имеющий плотность $\rho_{1}$. Пока значение Fd будет оставаться положительным, оно в любом случае будет меньше уже найденного. Если же оно станет отрицательным, то с каждым следующим уменьшением кубика $F_{d}$ будет расти по модулю. А значит, нас может интересовать лишь момент, когда сторона куба уменьшится до размера $3a$. (То есть локальный максимум функции $F_{d}(l)$, где $l$ - длина стороны куба). Вычислим $F_{d}$ в этот момент:
$F_{d} = a^{3}( \rho_{1} - \rho)g + ((3a)^{3} - a^{3})( \rho_{2} - \rho)g$
$F_{d} = ga^{3} [( \rho_{1} - \rho) + 26( \rho_{2} - \rho)] = 10 \cdot 0,23 \cdot 50 \cdot (1 - 52) = - 4,51 H$
To есть сила натяжения нити, которая равняется модулю $F_{d}$, в этом случае будет больше и будет равняться 204 Н.
По аналогичным соображениям, дальше $F_{d}$ будет увеличиваться, а нас не будут интересовать никакие промежуточные моменты, кроме того, когда куб сократится до стороны $a$. Но в этом случае легко увидеть, что сила натяжения нити будет уже слишком маленькой и равняться 4 Н.
Ответ: Максимальное натяжение нити, зафиксированное за время эксперимента, равняется 204 Н.
У моряков подводной лодки "Aperture", выполняющей задание на большой глубине, есть экспериментальный куб, неоднородный по плотности (см. рис., вид в разрезе). Каждый день моряки прикрепляют куб за нить к подводной лодке и отпускают его за борт, замеряя силу натяжения нити. Куб при измерениях всегда остаётся в толще воды. Вечером они подтачивают куб со всех сторон на 1 мм. Определите максимальное натяжение нити, зафиксированное за всё время эксперимента. Длина $a = 20 см$, плотности $\rho_{1} = 1075 кг/м^{3}, \rho_{2} = 925 кг/м^{3}$. Плотность воды равняется $\rho = 1025 кг/м^{3}$, $g$ считать равным 10 Н/кг.
Решение:
На куб, закреплённый за бортом подводной лодки, действуют три силы: сила Архимеда со стороны воды $F_{a} = \rho gV$, сила тяжести $mg$ и сила со стороны нити. Куб находится в равновесии, а значит сумма этих сил равна нулю. Таким образом, искомую силу натяжения нити мы можем найти, вычитая из силы тяжести куба силу Архимеда. Стоит отметить, что эта разность может быть как положительной, так и отрицательной. Первый случай означает, что сила Архимеда меньше силы тяжести, и нить тянет куб наверх, удерживая его от того, чтобы утонуть. Во втором же случае сила Архимеда со стороны жидкости больше силы тяжести куба, то есть куб стремится всплыть, а нить удерживает его от этого, и сила со стороны нити действует вниз. Таким образом, нас интересует максимум модуля разности силы Архимеда и силы тяжести куба. Исследуем, как изменяется эта величина (обозначим её за $F_{d}$) по мере того, как моряки уменьшают куб.
Плотность $\rho_{1}$ больше плотности воды, а плотность $\rho_{2}$ - меньше. А значит, что $F_{d}$ будет увеличиваться, когда моряки будут подпиливать слои куба плотностью $\rho_{2}$ и уменьшаться, когда они будут подпиливать слои плотностью $\rho_{1}$. Это также будет видно из выражения для $F_{d}$ чуть далее.
Вычислим начальное значение величины $F_{d}$ и натяжения нити:
$F_{d} = a^{3} \rho_{1}g + ((3a)^{3} - a^{3}) \rho_{2}g + ((5a)^{3} - (3a)^{3}) \rho_{1}g - (5a)^{3} \rho g$
Первое слагаемое здесь соответствует массе внутреннего кубика, второе массе средней части, третье массе внешней части куба и вычитается сила Архимеда со стороны воды.
Для удобства перепишем выражение в таком виде:
$F_{d} = a^{3}( \rho_{1} - \rho )g + ((3a)^{3} - a^{3})( \rho_{2} - \rho)g + ((5a)^{3} - (3a)^{3})( \rho_{1} - \rho)g$
Теперь его просто вычислить, а также становится совсем ясным вывод из второго абзаца.
$F_{d} = ga^{3} [(\rho_{1} - \rho) + 26( \rho_{2} - \rho) + 98( \rho_{1} - \rho)] = 10 \cdot 0,23^{3} \cdot 50 \cdot (1 - 52 + 98) = 4,47 H$
По мере того, как моряки будут уменьшать куб, значение $F_{d}$ будет уменьшаться, как было отмечено, т.к. они подпиливают внешний куб, имеющий плотность $\rho_{1}$. Пока значение Fd будет оставаться положительным, оно в любом случае будет меньше уже найденного. Если же оно станет отрицательным, то с каждым следующим уменьшением кубика $F_{d}$ будет расти по модулю. А значит, нас может интересовать лишь момент, когда сторона куба уменьшится до размера $3a$. (То есть локальный максимум функции $F_{d}(l)$, где $l$ - длина стороны куба). Вычислим $F_{d}$ в этот момент:
$F_{d} = a^{3}( \rho_{1} - \rho)g + ((3a)^{3} - a^{3})( \rho_{2} - \rho)g$
$F_{d} = ga^{3} [( \rho_{1} - \rho) + 26( \rho_{2} - \rho)] = 10 \cdot 0,23 \cdot 50 \cdot (1 - 52) = - 4,51 H$
To есть сила натяжения нити, которая равняется модулю $F_{d}$, в этом случае будет больше и будет равняться 204 Н.
По аналогичным соображениям, дальше $F_{d}$ будет увеличиваться, а нас не будут интересовать никакие промежуточные моменты, кроме того, когда куб сократится до стороны $a$. Но в этом случае легко увидеть, что сила натяжения нити будет уже слишком маленькой и равняться 4 Н.
Ответ: Максимальное натяжение нити, зафиксированное за время эксперимента, равняется 204 Н.
