Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1009
2016-09-17 
Тело массой $M$ падает с высоты $H$ на конец невесомого абсолютно жёсткого горизонтального рычага с плечами длиной $L$ и $l$, на другом конце которого лежит тело массой $m$ (см. рисунок). На какую высоту $h$ взлетит тело $m$ после удара? Тела считайте абсолютно упругими, а их размеры — малыми.
Решение:
Второй закон Ньютона для любой части невесомого тела записывается, как $0 = m \vec{a} = \sum_{i} \vec{F}_{i}$ Следовательно, силы, действующие в данный момент на невесомое тело, не могут зависеть от состояния его движения и, таким образом, совпадают с силами, действующими на это тело при его равновесии. Значит, для сил давления обоих тел на рычаг мы можем записать условие равенства моментов: $N_{1}L = N_{2}l$. Следовательно, для полных импульсов этих двух сил за всё время удара справедливо соотношение: $p_{1}L = p_{2}l$. В то же время, согласно закону изменения импульса, суммарный импульс сил, действующих на тело во время удара, равен изменению импульса тела; импульсом силы тяжести мы можем пренебречь из-за малой длительности удара.
Итак, мы можем записать соотношение для величин изменения импульсов тел: $M(v + \sqrt{2gH})L = mul$, где $v$ и $u$ — скорости тел $M$ и $m$ сразу после удара. Отсюда $v = \frac{m}{M} \cdot \frac{l}{L} u - \sqrt{2gH}$. Так как тела абсолютно упругие, то из закона сохранения механической энергии следует, что
$MgH = \frac{Mv^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2}$, откуда с учетом предыдущего соотношения получаем:
$\frac{m^{2}}{2M} \left ( \frac{l}{L} \right )^{2} u^{2} - m \frac{l}{L} \sqrt{2gH} u + \frac{mu^{2}}{2} = 0$.
Таким образом, скорость тела массой $m$ после удара будет равна
$u = \sqrt{2gH} \cdot 2M / \left ( \frac{ML}{l} + \frac{ml}{L} \right )$,
а высота, на которую оно взлетит,
$h = \frac{u^{2}}{2g} = 4H \left ( \frac{M}{ \left ( \frac{ML}{l} + \frac{ml}{L} \right )} \right )^{2}$.
Тело массой $M$ падает с высоты $H$ на конец невесомого абсолютно жёсткого горизонтального рычага с плечами длиной $L$ и $l$, на другом конце которого лежит тело массой $m$ (см. рисунок). На какую высоту $h$ взлетит тело $m$ после удара? Тела считайте абсолютно упругими, а их размеры — малыми.
Решение:
Второй закон Ньютона для любой части невесомого тела записывается, как $0 = m \vec{a} = \sum_{i} \vec{F}_{i}$ Следовательно, силы, действующие в данный момент на невесомое тело, не могут зависеть от состояния его движения и, таким образом, совпадают с силами, действующими на это тело при его равновесии. Значит, для сил давления обоих тел на рычаг мы можем записать условие равенства моментов: $N_{1}L = N_{2}l$. Следовательно, для полных импульсов этих двух сил за всё время удара справедливо соотношение: $p_{1}L = p_{2}l$. В то же время, согласно закону изменения импульса, суммарный импульс сил, действующих на тело во время удара, равен изменению импульса тела; импульсом силы тяжести мы можем пренебречь из-за малой длительности удара.
Итак, мы можем записать соотношение для величин изменения импульсов тел: $M(v + \sqrt{2gH})L = mul$, где $v$ и $u$ — скорости тел $M$ и $m$ сразу после удара. Отсюда $v = \frac{m}{M} \cdot \frac{l}{L} u - \sqrt{2gH}$. Так как тела абсолютно упругие, то из закона сохранения механической энергии следует, что
$MgH = \frac{Mv^{2}}{2} + \frac{mu^{2}}{2}$, откуда с учетом предыдущего соотношения получаем:
$\frac{m^{2}}{2M} \left ( \frac{l}{L} \right )^{2} u^{2} - m \frac{l}{L} \sqrt{2gH} u + \frac{mu^{2}}{2} = 0$.
Таким образом, скорость тела массой $m$ после удара будет равна
$u = \sqrt{2gH} \cdot 2M / \left ( \frac{ML}{l} + \frac{ml}{L} \right )$,
а высота, на которую оно взлетит,
$h = \frac{u^{2}}{2g} = 4H \left ( \frac{M}{ \left ( \frac{ML}{l} + \frac{ml}{L} \right )} \right )^{2}$.
