Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10089
2019-01-17 
В вертикально расположенном сосуде под поршнем находится $\nu = 0,96 молей$ идеального одноатомного газа. Стенки сосуда теплоизолированы, а поршень - наоборот, легко проводит тепло. Сверху поршень представляет собой солнечную батарею, преобразующую свет в электроэнергию с КПД $\eta$; вся остальная, непреобразованная энергия света нагревает поршень и газ. Зависимость КПД солнечной батареи от её температуры показана на графике. Первоначально газ имел температуру $T_{0} = 20^{ \circ} C$, затем поршень сверху осветили, и на него стало попадать излучение мощностью $W = 6 Ватт$. Полученное с помощью солнечной батареи электричество направлено в электродвигатель, который совершает работу над поршнем по сжатию газа. Как меняется со временем температура газа? Определите теплоёмкость газа в таком процессе как функцию времени и постройте её график. Отражением света от солнечной батареи и тепловыми потерями в окружающую среду пренебречь. Считать, что электродвигатель работает без потерь. Теплоёмкостью поршня пренебречь.
Решение:
Для удобства введём величину $\tilde{ \eta} = \frac{ \eta}{100}$.
За промежуток $\Delta t$ на солнечную батарею попадает световая энергия $W \Delta t$. Часть её, равная $\eta W \Delta t$, преобразуется в работу электродвигателя $\Delta A_{э}$, а остальная часть, равная $(1 - \tilde{ \eta}) W \Delta t$, передаётся газу в виде тепла $\Delta Q$. Электродвигатель совершает работу над газом (опускает поршень), следовательно, газ совершает отрицательную работу $\Delta A_{газа}$, причём $\Delta = - \Delta A_{э}$.
Запишем первое начало термодинамики для газа под поршнем:
$\Delta Q = \Delta A_{газа} + \Delta U \Leftrightarrow (1 - \tilde{ \eta} )W \Delta t = - \tilde{ \eta} W \Delta t + \Delta U$,
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа за время $\Delta t$. Отсюда видно, что $\Delta U = W \Delta t$. Конечно, это очевидное соотношение можно было написать сразу: вся световая энергия в той или иной форме переходит во внутреннюю энергию газа.
Так как внутренняя энергия газа однозначно связана с его температурой формулой $\Delta U = \frac{3 \nu R \Delta T}{2}$, за промежуток времени $\Delta t$ изменение температуры $\Delta T$ составит $\frac{2W \Delta t}{3 \nu R}$, а значит, зависимость температуры от времени имеет вид
$T(t) = T_{0} + \frac{2Wt}{3 \nu R} \approx 20 + 0,50t$,
где мы подставили числовые значения из условия и учли, что $R \approx 8,31 Дж/(Моль \cdot^{ \circ} K)$. Из этого решения видно, что газ нагревается на градус каждые две секунды и к моменту $t = 80 с$ нагреется до температуры $60^{ \circ} C$, после чего КПД батареи упадёт до нуля и далее газ будет нагреваться без сжатия (изохорически).
Теплоемкость газа на промежутке времени $\Delta t$ по определению равна
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{(1 - \tilde{ \eta} W \Delta t )}{ \frac{2W \Delta t}{3 \nu R} } = \frac{3 \nu R(1 - \tilde{ \eta} ) }{2}$,
причём величина $\tilde{ \eta}$ известным образом зависит от температуры $T$ (зависимость дана по условию в виде графика), а температура, в свою очередь, известным образом связана с временем $t$,
$C = \frac{3 \nu R(1 - \tilde{ \eta} (T(t)))}{2} \approx 12 \left ( 1 - \tilde{ \eta} (20 + 0,50 t) \right ) = 0,12 \left ( 100 - \eta (20 + 0,50t) \right )$.
Чтобы построить график этой функции, заметим, что функция $f(T) = (100 - \eta(T))$ представляет собой график из условия, отраженный от линии $\eta = 100$% (см. рис.). Умножение функции на 0,12 соответствует сжатию масштаба этого графика по вертикали посредством коэффициента 0,12, а переход от переменной $T$ к времени - преобразованием масштаба по горизонтали, при котором точке $T = 60^{ \circ}$ соответствует момент $t = 80$, а точке $T = 20^{ \circ}$ - время $t = 0$.
Следует также дополнить этот график горизонтальной прямой при $t > 80 c$, соответствующей постоянной теплоёмкости газа $\frac{3 \nu R}{2}$ в изохорическом процессе (см. рис.).
Ответ: Температура зависит от времени по закону
$T(t) = T_{0} + \frac{2Wt}{2 \nu R} \approx 20 + 0,50t$,
график $C(T)$ представлен на рис.
В вертикально расположенном сосуде под поршнем находится $\nu = 0,96 молей$ идеального одноатомного газа. Стенки сосуда теплоизолированы, а поршень - наоборот, легко проводит тепло. Сверху поршень представляет собой солнечную батарею, преобразующую свет в электроэнергию с КПД $\eta$; вся остальная, непреобразованная энергия света нагревает поршень и газ. Зависимость КПД солнечной батареи от её температуры показана на графике. Первоначально газ имел температуру $T_{0} = 20^{ \circ} C$, затем поршень сверху осветили, и на него стало попадать излучение мощностью $W = 6 Ватт$. Полученное с помощью солнечной батареи электричество направлено в электродвигатель, который совершает работу над поршнем по сжатию газа. Как меняется со временем температура газа? Определите теплоёмкость газа в таком процессе как функцию времени и постройте её график. Отражением света от солнечной батареи и тепловыми потерями в окружающую среду пренебречь. Считать, что электродвигатель работает без потерь. Теплоёмкостью поршня пренебречь.
Решение:
Для удобства введём величину $\tilde{ \eta} = \frac{ \eta}{100}$.
За промежуток $\Delta t$ на солнечную батарею попадает световая энергия $W \Delta t$. Часть её, равная $\eta W \Delta t$, преобразуется в работу электродвигателя $\Delta A_{э}$, а остальная часть, равная $(1 - \tilde{ \eta}) W \Delta t$, передаётся газу в виде тепла $\Delta Q$. Электродвигатель совершает работу над газом (опускает поршень), следовательно, газ совершает отрицательную работу $\Delta A_{газа}$, причём $\Delta = - \Delta A_{э}$.
Запишем первое начало термодинамики для газа под поршнем:
$\Delta Q = \Delta A_{газа} + \Delta U \Leftrightarrow (1 - \tilde{ \eta} )W \Delta t = - \tilde{ \eta} W \Delta t + \Delta U$,
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии газа за время $\Delta t$. Отсюда видно, что $\Delta U = W \Delta t$. Конечно, это очевидное соотношение можно было написать сразу: вся световая энергия в той или иной форме переходит во внутреннюю энергию газа.
Так как внутренняя энергия газа однозначно связана с его температурой формулой $\Delta U = \frac{3 \nu R \Delta T}{2}$, за промежуток времени $\Delta t$ изменение температуры $\Delta T$ составит $\frac{2W \Delta t}{3 \nu R}$, а значит, зависимость температуры от времени имеет вид
$T(t) = T_{0} + \frac{2Wt}{3 \nu R} \approx 20 + 0,50t$,
где мы подставили числовые значения из условия и учли, что $R \approx 8,31 Дж/(Моль \cdot^{ \circ} K)$. Из этого решения видно, что газ нагревается на градус каждые две секунды и к моменту $t = 80 с$ нагреется до температуры $60^{ \circ} C$, после чего КПД батареи упадёт до нуля и далее газ будет нагреваться без сжатия (изохорически).
Теплоемкость газа на промежутке времени $\Delta t$ по определению равна
$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T} = \frac{(1 - \tilde{ \eta} W \Delta t )}{ \frac{2W \Delta t}{3 \nu R} } = \frac{3 \nu R(1 - \tilde{ \eta} ) }{2}$,
причём величина $\tilde{ \eta}$ известным образом зависит от температуры $T$ (зависимость дана по условию в виде графика), а температура, в свою очередь, известным образом связана с временем $t$,
$C = \frac{3 \nu R(1 - \tilde{ \eta} (T(t)))}{2} \approx 12 \left ( 1 - \tilde{ \eta} (20 + 0,50 t) \right ) = 0,12 \left ( 100 - \eta (20 + 0,50t) \right )$.
Чтобы построить график этой функции, заметим, что функция $f(T) = (100 - \eta(T))$ представляет собой график из условия, отраженный от линии $\eta = 100$% (см. рис.). Умножение функции на 0,12 соответствует сжатию масштаба этого графика по вертикали посредством коэффициента 0,12, а переход от переменной $T$ к времени - преобразованием масштаба по горизонтали, при котором точке $T = 60^{ \circ}$ соответствует момент $t = 80$, а точке $T = 20^{ \circ}$ - время $t = 0$.
Следует также дополнить этот график горизонтальной прямой при $t > 80 c$, соответствующей постоянной теплоёмкости газа $\frac{3 \nu R}{2}$ в изохорическом процессе (см. рис.).
Ответ: Температура зависит от времени по закону
$T(t) = T_{0} + \frac{2Wt}{2 \nu R} \approx 20 + 0,50t$,
график $C(T)$ представлен на рис.
