Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10083
2019-01-17 
Артиллеристы стреляют из пушки снарядом массой $m$. Начальная скорость снаряда направлена под углом $\alpha$ к горизонту и равна $v_{0}$. Снаряд состоит из двух частей, между которыми помещена сжатая невесомая пружина. В пружине запасена энергия $W$. Артиллеристы в любой точке траектории могут дистанционно высвободить энергию пружины, при этом она растолкает части снаряда строго в горизонтальном направлении. Известно, что части снаряда поразили две цели на расстояниях $L_{1}$ и $L_{2}$ от места выстрела. Определите массу части снаряда, попавшей в ближнюю цель. Через какое время после выстрела артиллеристы произвели разделение снаряда на части? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Пусть $m_{1}$ - масса части снаряда, поразившей ближнюю цель, $m_{2}$ - масса части, попавшей в дальнюю цель. Тогда: $m_{1} + m_{2} = m$. Через $\tau$ обозначим искомое время, которое прошло от момента выстрела до момента разделения снаряда на части.
Рассмотрим сперва движение целого снаряда, каким оно было бы, в случае если бы артиллеристы не произвели разделение на части. В этом случае снаряд упал бы на расстоянии
$L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g}$ (1)
от места выстрела через время
$T = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$. (2)
Исследуем теперь процесс разделения снаряда на части. Во-первых заметим, что поскольку пружина разбрасывает части снаряда строго в горизонтальном направлении, она не оказывает никакого влияния на их движение по вертикали. Это, в частности, означает, что части снаряда по вертикали движутся синхронно и одновременно поражают цели в момент времени $T$, то есть общее время движения в результате разделения не изменяется.
Далее разберемся, как пружина изменяет горизонтальные проекции скоростей. Результат действия пружины удобнее всего рассматривать в системе отсчета, которая движется с постоянной скоростью, равной скорости снаряда непосредственно перед разделением (горизонтальная проекция скорости снаряда и нашей системы отсчета относительно земли равна $v_{0} \cos \alpha$). Обозначим через $u_{1}$ и $u_{2}$ скорости, которые пружина сообщает частям $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Из законов сохранения импульса и энергии имеем:
$m_{1}u_{1} = m_{2}u_{2}, W = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2} }{2}$. (3)
Решая системы из этих двух уравнений, для скоростей $u_{1}$ и $u_{2}$ получаем
$u_{1} = \sqrt{ \frac{2W}{m}} \sqrt{ \frac{m_{2} }{m_{1} } } = \sqrt{ \frac{2W}{m} } x, u_{2} = \sqrt{ \frac{2W}{m} } \sqrt{ \frac{m_{1} }{m_{2} } } = \sqrt{ \frac{2W}{m} } \frac{1}{x}$, (4)
где мы ввели обозначение $x^{2} = m_{2}/m_{1}$.
Возвращаясь в исходную систему отсчета, получаем, что горизонтальные проекции скоростей равны
$v_{1} = v_{0} \cos \alpha - u_{1}, v_{2} = v_{0} \cos \alpha + u_{2}$. (5)
Теперь можно написать систему уравнений для нахождения искомых величин. Для этого рассмотрим смещения частей снаряда по горизонтали за все все время полета. В течение времени $\tau$ обе части летят с горизонтальной скоростью $v_{0} \cos \alpha$. Остаток времени $T - \tau$ части снаряда летят со скоростями (5). Поскольку, по условию, снаряды поразили мишени на расстояниях $L_{1}$ и $L_{2}$, получаем, что
$L_{1} = v_{0} \cos \alpha \tau + v_{1} (T - \tau)$,
$L_{2} = v_{0} \cos \alpha \tau + v_{2} (T - \tau)$.
Данную систему уравнений удобно переписать в следующем виде:
$L - L_{1} = \sqrt{ \frac{2W}{m} } x(T - \tau)$,
$L_{2} - L = \sqrt{ \frac{2W}{m} } \frac{1}{x} (T - \tau)$.
Решая эту систему уравнений относительно переменных $x$ и $|tau$ и вспоминая, что $m_{1} = m_{2}/x^{2}$, получаем, что снаряд необходимо разделить на части в момент времени
$\tau = T - \sqrt{ \frac{m}{2W} (L - L_{1} )(L_{2} - L ) }$ (6)
Масса части снаряда, поразившей ближнюю цель равна
$m_{1} = \frac{m}{1 + \frac{L - L_{1} }{L_{2} - L } } = \frac{L_{2} -L }{L_{2} - L_{1} }m$ (7)
Ответ: Снаряд необходимо разделить на части в момент времени, определяемый уравнением (6). Выражение для массы части снаряда, поразившей ближнюю цель, дано в уравнении (7). Величины $L$ и $T$ определены в (1) и (2) соответственно.
Артиллеристы стреляют из пушки снарядом массой $m$. Начальная скорость снаряда направлена под углом $\alpha$ к горизонту и равна $v_{0}$. Снаряд состоит из двух частей, между которыми помещена сжатая невесомая пружина. В пружине запасена энергия $W$. Артиллеристы в любой точке траектории могут дистанционно высвободить энергию пружины, при этом она растолкает части снаряда строго в горизонтальном направлении. Известно, что части снаряда поразили две цели на расстояниях $L_{1}$ и $L_{2}$ от места выстрела. Определите массу части снаряда, попавшей в ближнюю цель. Через какое время после выстрела артиллеристы произвели разделение снаряда на части? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Пусть $m_{1}$ - масса части снаряда, поразившей ближнюю цель, $m_{2}$ - масса части, попавшей в дальнюю цель. Тогда: $m_{1} + m_{2} = m$. Через $\tau$ обозначим искомое время, которое прошло от момента выстрела до момента разделения снаряда на части.
Рассмотрим сперва движение целого снаряда, каким оно было бы, в случае если бы артиллеристы не произвели разделение на части. В этом случае снаряд упал бы на расстоянии
$L = \frac{v_{0}^{2} \sin 2 \alpha }{g}$ (1)
от места выстрела через время
$T = \frac{2v_{0} \sin \alpha}{g}$. (2)
Исследуем теперь процесс разделения снаряда на части. Во-первых заметим, что поскольку пружина разбрасывает части снаряда строго в горизонтальном направлении, она не оказывает никакого влияния на их движение по вертикали. Это, в частности, означает, что части снаряда по вертикали движутся синхронно и одновременно поражают цели в момент времени $T$, то есть общее время движения в результате разделения не изменяется.
Далее разберемся, как пружина изменяет горизонтальные проекции скоростей. Результат действия пружины удобнее всего рассматривать в системе отсчета, которая движется с постоянной скоростью, равной скорости снаряда непосредственно перед разделением (горизонтальная проекция скорости снаряда и нашей системы отсчета относительно земли равна $v_{0} \cos \alpha$). Обозначим через $u_{1}$ и $u_{2}$ скорости, которые пружина сообщает частям $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно. Из законов сохранения импульса и энергии имеем:
$m_{1}u_{1} = m_{2}u_{2}, W = \frac{m_{1}u_{1}^{2} }{2} + \frac{m_{2}u_{2}^{2} }{2}$. (3)
Решая системы из этих двух уравнений, для скоростей $u_{1}$ и $u_{2}$ получаем
$u_{1} = \sqrt{ \frac{2W}{m}} \sqrt{ \frac{m_{2} }{m_{1} } } = \sqrt{ \frac{2W}{m} } x, u_{2} = \sqrt{ \frac{2W}{m} } \sqrt{ \frac{m_{1} }{m_{2} } } = \sqrt{ \frac{2W}{m} } \frac{1}{x}$, (4)
где мы ввели обозначение $x^{2} = m_{2}/m_{1}$.
Возвращаясь в исходную систему отсчета, получаем, что горизонтальные проекции скоростей равны
$v_{1} = v_{0} \cos \alpha - u_{1}, v_{2} = v_{0} \cos \alpha + u_{2}$. (5)
Теперь можно написать систему уравнений для нахождения искомых величин. Для этого рассмотрим смещения частей снаряда по горизонтали за все все время полета. В течение времени $\tau$ обе части летят с горизонтальной скоростью $v_{0} \cos \alpha$. Остаток времени $T - \tau$ части снаряда летят со скоростями (5). Поскольку, по условию, снаряды поразили мишени на расстояниях $L_{1}$ и $L_{2}$, получаем, что
$L_{1} = v_{0} \cos \alpha \tau + v_{1} (T - \tau)$,
$L_{2} = v_{0} \cos \alpha \tau + v_{2} (T - \tau)$.
Данную систему уравнений удобно переписать в следующем виде:
$L - L_{1} = \sqrt{ \frac{2W}{m} } x(T - \tau)$,
$L_{2} - L = \sqrt{ \frac{2W}{m} } \frac{1}{x} (T - \tau)$.
Решая эту систему уравнений относительно переменных $x$ и $|tau$ и вспоминая, что $m_{1} = m_{2}/x^{2}$, получаем, что снаряд необходимо разделить на части в момент времени
$\tau = T - \sqrt{ \frac{m}{2W} (L - L_{1} )(L_{2} - L ) }$ (6)
Масса части снаряда, поразившей ближнюю цель равна
$m_{1} = \frac{m}{1 + \frac{L - L_{1} }{L_{2} - L } } = \frac{L_{2} -L }{L_{2} - L_{1} }m$ (7)
Ответ: Снаряд необходимо разделить на части в момент времени, определяемый уравнением (6). Выражение для массы части снаряда, поразившей ближнюю цель, дано в уравнении (7). Величины $L$ и $T$ определены в (1) и (2) соответственно.
