Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10081
2019-01-17 
Невесомая паутина имеет правильную шестиугольную форму (см. рис.) и закреплена за концы нитей параллельно земле. В начальный момент паутина не растянута и не провисает. Паук массой $m$ забирается на паутину и останавливается в её центре, при этом центр прогибается вниз на величину $h$. Найдите массу паука $m$. Длина отрезка нерастянутой паутинной нити - $l$ (см. рис.), его коэффициент жесткости - $k$, ускорение свободного падения - $g$. Размерами паука по сравнению с размерами паутины пренебречь.
Решение:
Искомую массу паука обозначим через $m$.
Обратим внимание, что даже в прогнувшейся паутине поперечные нити, образующие шестиугольники, остаются нерастянутыми — они попросту поступательно опускаются вниз.
Действительно, рассмотрим паутину, в которой удалены все поперечные нити. После того, как паук заберется в центр такой упрощенной паутины, центр опустится на некоторую величину. Естественно, что радиальные нити останутся при этом прямыми, а положение, которое займет паук, будет устойчивым положением равновесия. Обратим внимание, что при опускании центра паутины вниз, расстояния между точками, где крепились поперечные нити, останется неизменным. Для этого рассмотрим какую-нибудь поперечную нить в любом треугольнике, образованном соседними радиальными нитями (см. рис. ). Длина этой нити x определяется подобием треугольников
$x = s \frac{a}{a + b}$.
Когда точка О сдвигается под весом паука, величины $a$ и $b$ изменяются пропорционально ($a \rightarrow \gamma a, b \rightarrow \gamma b$), а величина $s$ остаётся неизменной, значит длина любой поперечной нити $x$ не меняется. Вернем теперь поперечные нити обратно. Поскольку они не растянуты, они никак не влияют на положение паука и не изменяют натяжение радиальных нитей. Если теперь паук слезет с паутины, она непрерывным образом вернется в исходное состояние.
Таким образом, поперечные нити не оказывают влияния на систему, и их на самом деле можно убрать из рассмотрения. Достаточно рассмотреть паука массой $m$, которого удерживают шесть радиальных эластичных паутинных нитей.
По условию задачи паутинная нить длиной $l$ имеет жёсткость $k$, то есть под действием силы $F$ растягивается на $\Delta x = F/k.$ Радиальная паутина, состоящая их трёх таких кусков, под действием силы $F$ растянется на $\Delta X = 3 \Delta x$ (каждый кусочек $l$ растянется на $\Delta x$). Значит, жёсткость всей радиальной паутины целиком равна
$K = \frac{F}{ \Delta X} = \frac{F}{3 \Delta X} = \frac{F}{3(F/k)} = \frac{k}{3}$.
Рассмотрим условие равновесия паука в проекции на вертикальную ось. На рис. изображены две из шести радиальных нитей сбоку (в вертикальной плоскости)в двух положениях: в нерастянутом состоянии, и прогнувшиеся под весом паука. Угол между прогнувшейся нитью и вертикалью обозначим через а, а силу упругости в длинной радиальной нити - через $F_{упр}$.
Из второго закона Ньютона получаем условие вертикального равновесия системы:
$mg = 6F_{упр} \cos \alpha$ (1)
Найдём $F_{упр}$. Как видно из рис., длина $y$ растянутой радиальной нити по теореме Пифагора равна
$y = \sqrt{ (3l)^{2} + h^{2}} = \sqrt{9l^{2} + h^{2}}$.
Следовательно, в каждой из шести радиальных нитей возникает сила упругости
$F_{упр} = K (y - 3l) = \frac{k}{3} \left ( \sqrt{9l^{2} + h^{2}} - 3l \right )$. (2)
Также, нетрудно из прямоугольного треугольника найти угол $\alpha$:
$\cos \alpha = \frac{h}{y} = \frac{h}{ \sqrt{9l^{2} + h^{2} } }$. (3)
После подстановки (2, 3) в (1) получим
$mg = 6 \frac{k( \sqrt{9l^{2} + h^{2} } ) - 3l }{3} \frac{h}{ \sqrt{9l^{2} + h^{2} } }$,
откуда легко получаем ответ
$m = \frac{2kh}{g} \left ( 1 - \frac{3l}{ \sqrt{9l^{2} + h^{2} } } \right )$. (4)
Ответ: Масса паука дается равенством (4).
Невесомая паутина имеет правильную шестиугольную форму (см. рис.) и закреплена за концы нитей параллельно земле. В начальный момент паутина не растянута и не провисает. Паук массой $m$ забирается на паутину и останавливается в её центре, при этом центр прогибается вниз на величину $h$. Найдите массу паука $m$. Длина отрезка нерастянутой паутинной нити - $l$ (см. рис.), его коэффициент жесткости - $k$, ускорение свободного падения - $g$. Размерами паука по сравнению с размерами паутины пренебречь.
Решение:
Искомую массу паука обозначим через $m$.
Обратим внимание, что даже в прогнувшейся паутине поперечные нити, образующие шестиугольники, остаются нерастянутыми — они попросту поступательно опускаются вниз.
Действительно, рассмотрим паутину, в которой удалены все поперечные нити. После того, как паук заберется в центр такой упрощенной паутины, центр опустится на некоторую величину. Естественно, что радиальные нити останутся при этом прямыми, а положение, которое займет паук, будет устойчивым положением равновесия. Обратим внимание, что при опускании центра паутины вниз, расстояния между точками, где крепились поперечные нити, останется неизменным. Для этого рассмотрим какую-нибудь поперечную нить в любом треугольнике, образованном соседними радиальными нитями (см. рис. ). Длина этой нити x определяется подобием треугольников
$x = s \frac{a}{a + b}$.
Когда точка О сдвигается под весом паука, величины $a$ и $b$ изменяются пропорционально ($a \rightarrow \gamma a, b \rightarrow \gamma b$), а величина $s$ остаётся неизменной, значит длина любой поперечной нити $x$ не меняется. Вернем теперь поперечные нити обратно. Поскольку они не растянуты, они никак не влияют на положение паука и не изменяют натяжение радиальных нитей. Если теперь паук слезет с паутины, она непрерывным образом вернется в исходное состояние.
Таким образом, поперечные нити не оказывают влияния на систему, и их на самом деле можно убрать из рассмотрения. Достаточно рассмотреть паука массой $m$, которого удерживают шесть радиальных эластичных паутинных нитей.
По условию задачи паутинная нить длиной $l$ имеет жёсткость $k$, то есть под действием силы $F$ растягивается на $\Delta x = F/k.$ Радиальная паутина, состоящая их трёх таких кусков, под действием силы $F$ растянется на $\Delta X = 3 \Delta x$ (каждый кусочек $l$ растянется на $\Delta x$). Значит, жёсткость всей радиальной паутины целиком равна
$K = \frac{F}{ \Delta X} = \frac{F}{3 \Delta X} = \frac{F}{3(F/k)} = \frac{k}{3}$.
Рассмотрим условие равновесия паука в проекции на вертикальную ось. На рис. изображены две из шести радиальных нитей сбоку (в вертикальной плоскости)в двух положениях: в нерастянутом состоянии, и прогнувшиеся под весом паука. Угол между прогнувшейся нитью и вертикалью обозначим через а, а силу упругости в длинной радиальной нити - через $F_{упр}$.
Из второго закона Ньютона получаем условие вертикального равновесия системы:
$mg = 6F_{упр} \cos \alpha$ (1)
Найдём $F_{упр}$. Как видно из рис., длина $y$ растянутой радиальной нити по теореме Пифагора равна
$y = \sqrt{ (3l)^{2} + h^{2}} = \sqrt{9l^{2} + h^{2}}$.
Следовательно, в каждой из шести радиальных нитей возникает сила упругости
$F_{упр} = K (y - 3l) = \frac{k}{3} \left ( \sqrt{9l^{2} + h^{2}} - 3l \right )$. (2)
Также, нетрудно из прямоугольного треугольника найти угол $\alpha$:
$\cos \alpha = \frac{h}{y} = \frac{h}{ \sqrt{9l^{2} + h^{2} } }$. (3)
После подстановки (2, 3) в (1) получим
$mg = 6 \frac{k( \sqrt{9l^{2} + h^{2} } ) - 3l }{3} \frac{h}{ \sqrt{9l^{2} + h^{2} } }$,
откуда легко получаем ответ
$m = \frac{2kh}{g} \left ( 1 - \frac{3l}{ \sqrt{9l^{2} + h^{2} } } \right )$. (4)
Ответ: Масса паука дается равенством (4).
