Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10080
2019-01-17 
На секундомер с металлическим ободом и металлической стрелкой подали постоянное напряжение: к началу стрелки и к точке "45 секунд" на ободе (см. рис.). Также в схему последовательно включили лампочку. Через сколько секунд после запуска яркость лампочки будет минимальной? Через сколько — максимальной?
Решение:
Яркость лампочки накаливания пропорциональна мощности, т.е. $\sim RI^{2}$, где $R$ - сопротивление лампочки, $I$ - ток, текущий через неё. Следовательно, максимальная яркость достигается при максимальном токе, текущем через лампочку, минимальная яркость - при минимальном токе. Нарисуем эквивалентную схему. Последовательно соединены стрелка, обод секундомера ($R_{обода}$) и лампочка (см. рис. 2). Максимальный ток достигается тогда, когда сопротивление обода секундомера обнуляется, т.е. при положении стрелки "45 секунд".
Так как обод секундомера — металлический, то можно представить полное сопротивление обода следующим образом: $R = \rho \frac{l}{S} = 2 \pi r \frac{ \rho}{S}$, где $2 \pi r$ - длина обода, $S$ - его поперечное сечение, а $\rho$ - удельное сопротивление материала. Стрелка часов делит обод на два сопротивления, соединенных параллельно, величина которых зависит от длин дуг. Составим пропорцию по отношению к "секундам":
$\frac{l}{2 \pi r} = \frac{t}{60}$,
где $l$ - длина дуги обода секундомера от "45" секунд до стрелки. Тогда сопротивление $R_{1}$ дуги $l$:
$R_{1} = l \frac{ \rho}{S} = \frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r (t + 60 - 45) }{60} = \frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r(t + 15) }{60}$.
Сопротивление оставшейся дуги от стрелки до контакта "на месте" 45 секунд:
$R_{2} = (2 \pi r - l) \frac{ \rho}{S} = \frac{ \rho}{S} \frac{ 2 \pi r (60 - t - 15) }{60}$.
Чтобы выяснить полное сопротивление обода секундомера $R_{обода}$, надо посчитать параллельное сопротивление $R_{1}$ и $R_{2}$:
$R_{обода} = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} } = \frac{\frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r(t + 15) }{60} \cdot \frac{ \rho}{S} \frac{ 2 \pi r (60 - t - 15) }{60} }{\frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r(t + 15) }{60} + \frac{ \rho}{S} \frac{ 2 \pi r (60 - t - 15) }{60} } = \frac{ \rho \pi r}{S} \frac{(t + 15)(60 - t - 15)}{t + 15 + 60 - t - 15} = \frac{ \rho \pi r}{S} \frac{(t + 15)(45 - t)}{60}$
Сопротивление $R_{обода}$ подключено в схему последовательно с лампочкой, значит, для минимального тока, текущего через лампу накаливания, сопротивление должно быть максимальным, что происходит при решении следующего уравнения:
$(t + 15)(45 - t) = Max$
Вершина данной параболы находится в точке $t = 15 сек$.
Ответ: через 15 секунд яркость лампочки будет минимальной, через 45 - максимальной.
На секундомер с металлическим ободом и металлической стрелкой подали постоянное напряжение: к началу стрелки и к точке "45 секунд" на ободе (см. рис.). Также в схему последовательно включили лампочку. Через сколько секунд после запуска яркость лампочки будет минимальной? Через сколько — максимальной?
Решение:
Яркость лампочки накаливания пропорциональна мощности, т.е. $\sim RI^{2}$, где $R$ - сопротивление лампочки, $I$ - ток, текущий через неё. Следовательно, максимальная яркость достигается при максимальном токе, текущем через лампочку, минимальная яркость - при минимальном токе. Нарисуем эквивалентную схему. Последовательно соединены стрелка, обод секундомера ($R_{обода}$) и лампочка (см. рис. 2). Максимальный ток достигается тогда, когда сопротивление обода секундомера обнуляется, т.е. при положении стрелки "45 секунд".
Так как обод секундомера — металлический, то можно представить полное сопротивление обода следующим образом: $R = \rho \frac{l}{S} = 2 \pi r \frac{ \rho}{S}$, где $2 \pi r$ - длина обода, $S$ - его поперечное сечение, а $\rho$ - удельное сопротивление материала. Стрелка часов делит обод на два сопротивления, соединенных параллельно, величина которых зависит от длин дуг. Составим пропорцию по отношению к "секундам":
$\frac{l}{2 \pi r} = \frac{t}{60}$,
где $l$ - длина дуги обода секундомера от "45" секунд до стрелки. Тогда сопротивление $R_{1}$ дуги $l$:
$R_{1} = l \frac{ \rho}{S} = \frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r (t + 60 - 45) }{60} = \frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r(t + 15) }{60}$.
Сопротивление оставшейся дуги от стрелки до контакта "на месте" 45 секунд:
$R_{2} = (2 \pi r - l) \frac{ \rho}{S} = \frac{ \rho}{S} \frac{ 2 \pi r (60 - t - 15) }{60}$.
Чтобы выяснить полное сопротивление обода секундомера $R_{обода}$, надо посчитать параллельное сопротивление $R_{1}$ и $R_{2}$:
$R_{обода} = \frac{R_{1}R_{2} }{R_{1} + R_{2} } = \frac{\frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r(t + 15) }{60} \cdot \frac{ \rho}{S} \frac{ 2 \pi r (60 - t - 15) }{60} }{\frac{ \rho}{S} \frac{2 \pi r(t + 15) }{60} + \frac{ \rho}{S} \frac{ 2 \pi r (60 - t - 15) }{60} } = \frac{ \rho \pi r}{S} \frac{(t + 15)(60 - t - 15)}{t + 15 + 60 - t - 15} = \frac{ \rho \pi r}{S} \frac{(t + 15)(45 - t)}{60}$
Сопротивление $R_{обода}$ подключено в схему последовательно с лампочкой, значит, для минимального тока, текущего через лампу накаливания, сопротивление должно быть максимальным, что происходит при решении следующего уравнения:
$(t + 15)(45 - t) = Max$
Вершина данной параболы находится в точке $t = 15 сек$.
Ответ: через 15 секунд яркость лампочки будет минимальной, через 45 - максимальной.
