Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1008
2016-09-17 
В машине Атвуда (см. рисунок) массы грузов равны $m_{1}$ и $m_{2}$, блок и нить невесомы, трение отсутствует. Вначале более тяжёлый груз $m_{1}$ удерживают на высоте $h$ над горизонтальной плоскостью, а груз $m_{2}$ стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту поднимется груз $m_{1}$ после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно $g$, блок находится достаточно далеко от грузов.
Решение:
Так как нить нерастяжима, то величины ускорений обоих грузов одинаковы. Поскольку блок и нить невесомы и трение отсутствует, то сила натяжения $T$ вдоль всей нити одинакова. Направим координатную ось вниз и запишем уравнения движения грузов с учётом того, что $m_{1} > m_{2}$:
$m_{1}a = m_{1}g - T, - m_{2}a = m_{2}g - T$.
Отсюда следует, что ускорение равно
$a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g$
В момент касания первого груза с плоскостью оба груза разгонятся до скорости
$V = \sqrt{2ah} = \sqrt{ 2gh \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}}$.
После этого груз $m_{1}$ остановится (так как удар о плоскость абсолютно неупругий), а груз $m_{2}$ полетит вверх со скоростью $V$ и ускорением $g$, направленным вниз. Через некоторое время, достигнув максимальной высоты, груз $m_{2}$ начнёт падать с ускорением $g$ и снова натянет нить. В этот момент его скорость будет по величине той же, что и в начале полёта, но направлена она будет уже вниз. Поскольку нить неупругая, а блок невесомый, скорости обоих грузов после рывка выровняются: $m_{2}V = (m_{1} + m_{2})V_{1}$, откуда начальная скорость движения груза $m_{1}$ вверх (а груза $m_{2}$ — вниз) будет равна
$V_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} V = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{ 2gh \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}}$.
Ускорение грузов при дальнейшем их движении будет прежним, равным $a = \frac{m_{1} - m_{2}}{ m_{1} + m_{2}} g$ а максимальная высота подъема груза $m_{1}$ составит
$h_{1} = \frac{V_{1}^{2}}{2a} = \left ( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right )^{2} \cdot 2gh \cdot \frac{(m_{1}-m_{2})}{(m_{1}+m_{2})} \cdot \frac{(m_{1} + m_{2})}{2g(m_{1} - m_{2})} = \left ( \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right )^{2} h$.
При дальнейшем движении в системе будут происходить те же процессы, но после каждого следующего удара о плоскость высота подъёма первого груза будет уменьшаться в $(1 + (m_{1}/m_{2}))^{2}$ раз, так что $h_{1}$ действительно является искомой максимальной высотой подъёма.
В машине Атвуда (см. рисунок) массы грузов равны $m_{1}$ и $m_{2}$, блок и нить невесомы, трение отсутствует. Вначале более тяжёлый груз $m_{1}$ удерживают на высоте $h$ над горизонтальной плоскостью, а груз $m_{2}$ стоит на этой плоскости, причём отрезки нити, не лежащие на блоке, вертикальны. Затем грузы отпускают без начальной скорости. Найдите, на какую максимальную высоту поднимется груз $m_{1}$ после абсолютно неупругого удара о плоскость, если нить можно считать гибкой, неупругой и практически нерастяжимой. Ускорение свободного падения равно $g$, блок находится достаточно далеко от грузов.
Решение:
Так как нить нерастяжима, то величины ускорений обоих грузов одинаковы. Поскольку блок и нить невесомы и трение отсутствует, то сила натяжения $T$ вдоль всей нити одинакова. Направим координатную ось вниз и запишем уравнения движения грузов с учётом того, что $m_{1} > m_{2}$:
$m_{1}a = m_{1}g - T, - m_{2}a = m_{2}g - T$.
Отсюда следует, что ускорение равно
$a = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g$
В момент касания первого груза с плоскостью оба груза разгонятся до скорости
$V = \sqrt{2ah} = \sqrt{ 2gh \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}}$.
После этого груз $m_{1}$ остановится (так как удар о плоскость абсолютно неупругий), а груз $m_{2}$ полетит вверх со скоростью $V$ и ускорением $g$, направленным вниз. Через некоторое время, достигнув максимальной высоты, груз $m_{2}$ начнёт падать с ускорением $g$ и снова натянет нить. В этот момент его скорость будет по величине той же, что и в начале полёта, но направлена она будет уже вниз. Поскольку нить неупругая, а блок невесомый, скорости обоих грузов после рывка выровняются: $m_{2}V = (m_{1} + m_{2})V_{1}$, откуда начальная скорость движения груза $m_{1}$ вверх (а груза $m_{2}$ — вниз) будет равна
$V_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} V = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{ 2gh \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}}$.
Ускорение грузов при дальнейшем их движении будет прежним, равным $a = \frac{m_{1} - m_{2}}{ m_{1} + m_{2}} g$ а максимальная высота подъема груза $m_{1}$ составит
$h_{1} = \frac{V_{1}^{2}}{2a} = \left ( \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} \right )^{2} \cdot 2gh \cdot \frac{(m_{1}-m_{2})}{(m_{1}+m_{2})} \cdot \frac{(m_{1} + m_{2})}{2g(m_{1} - m_{2})} = \left ( \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \right )^{2} h$.
При дальнейшем движении в системе будут происходить те же процессы, но после каждого следующего удара о плоскость высота подъёма первого груза будет уменьшаться в $(1 + (m_{1}/m_{2}))^{2}$ раз, так что $h_{1}$ действительно является искомой максимальной высотой подъёма.
