Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1007
2016-09-17 
Лёгкая нерастяжимая нить длиной $L = 2 м$ удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой $M = 1 г$, изогнутый в виде перевёрнутой буквы $U$. Нить выдерживает максимальную силу натяжения $F = 5 Н$. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями $V = 1 м/с$. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения $g= 10 м/с^{2}$, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Изобразим на рисунке нить в тот момент времени, когда она ещё не порвалась, но вот-вот порвётся. Пусть в этот момент расстояние от проволочного грузика до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно $x$, а скорость грузика равна $u$. Так как нить нерастяжима, то проекция скорости грузика и проекция скорости конца нити на направление нити должны быть одинаковы. Следовательно,
$V \cos \alpha = u \sin \alpha$, то есть $u = V ctg \alpha = \frac{V \sqrt{ (L/2)^{2} - x^{2}}}{x}$.
Из условия задачи видно, что $F \gg Mg$. Поэтому угол, который составляют две половинки нити в момент перед разрывом, близок к $180^{ \circ}$, а угол $\alpha$ мал. Это означает, что $x^{2} \ll (L/2)^{2}$, то есть $u \approx \frac{VL}{2x}$. Изменение расстояния $x$ на малую величину $\Delta x$ приведёт к тому, что скорость $u$ увеличится на $\Delta u$. При этом изменения скорости $u$ и величины $x$ связаны друг с другом соотношением:
$\Delta u = \frac{VL}{2(x - \Delta x)} - \frac{VL}{2x} = \frac{VL}{2} \cdot \frac{ \Delta x}{x^{2} - x \Delta x} \approx \frac{VL}{2x^{2}} \Delta x$.
Разделим данное соотношение на величину малого промежутка времени $\Delta t$, за который эти изменения произошли, и учтём, что $u = \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \approx \frac{VL}{2x}$:
$\frac{ \Delta u}{ \Delta t} \approx \frac{VL}{2x^{2}} \cdot \frac{\Delta x}{ \Delta t} = \frac{V^{2}L^{2}}{4x^{3}}$.
В соответствии со вторым законом Ньютона ускорение $\frac{ \Delta u}{ \Delta t}$ равно сумме всех действующих на груз сил, разделённой на его массу. Так как равнодействующая сил натяжения равна $2F \sin \alpha = 4Fx/L$, то
$\frac{ \Delta u}{ \Delta t} \approx \frac{V^{2}L^{2}}{4x^{3}} \approx \frac{1}{M} \left ( \frac{4Fx}{L} - Mg \right )$.
Предположим, что не только $F \gg Mg$, но и $ \frac{4Fx}{L} \gg Mg$ (потом нужно будет обязательно проверить, выполняется ли на самом деле это неравенство!). В этом случае
$ \frac{V^{2}L^{2}}{4x^{3}} \approx \frac{4Fx}{ML}$, и $x \approx \left ( \frac{MV^{2}L^{3}}{16F} \right )^{1/4} = 0,1 м$.
Неравенство $\frac{4Fx}{L} = 1 Н \gg Mg = 0,01 Н$ действительно выполняется. Теперь можно определить скорость груза в момент разрыва нити:
$u \approx \frac{VL}{2x} \approx \left ( \frac{FLV^{2}}{M} \right )^{1/4} = 10 м/с$. Следовательно, груз после разрыва нити взлетит на высоту
$h = \frac{u^{2}}{2g} \approx \frac{V}{2g} \sqrt{ \frac{FL}{M}} = 5 м$.
Лёгкая нерастяжимая нить длиной $L = 2 м$ удерживается за концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит кусочек проволоки массой $M = 1 г$, изогнутый в виде перевёрнутой буквы $U$. Нить выдерживает максимальную силу натяжения $F = 5 Н$. Концы нити одновременно начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями $V = 1 м/с$. В какой-то момент нить не выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту относительно уровня концов нити взлетит кусочек проволоки? Ускорение свободного падения $g= 10 м/с^{2}$, сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Изобразим на рисунке нить в тот момент времени, когда она ещё не порвалась, но вот-вот порвётся. Пусть в этот момент расстояние от проволочного грузика до линии, вдоль которой перемещаются концы нити, равно $x$, а скорость грузика равна $u$. Так как нить нерастяжима, то проекция скорости грузика и проекция скорости конца нити на направление нити должны быть одинаковы. Следовательно,
$V \cos \alpha = u \sin \alpha$, то есть $u = V ctg \alpha = \frac{V \sqrt{ (L/2)^{2} - x^{2}}}{x}$.
Из условия задачи видно, что $F \gg Mg$. Поэтому угол, который составляют две половинки нити в момент перед разрывом, близок к $180^{ \circ}$, а угол $\alpha$ мал. Это означает, что $x^{2} \ll (L/2)^{2}$, то есть $u \approx \frac{VL}{2x}$. Изменение расстояния $x$ на малую величину $\Delta x$ приведёт к тому, что скорость $u$ увеличится на $\Delta u$. При этом изменения скорости $u$ и величины $x$ связаны друг с другом соотношением:
$\Delta u = \frac{VL}{2(x - \Delta x)} - \frac{VL}{2x} = \frac{VL}{2} \cdot \frac{ \Delta x}{x^{2} - x \Delta x} \approx \frac{VL}{2x^{2}} \Delta x$.
Разделим данное соотношение на величину малого промежутка времени $\Delta t$, за который эти изменения произошли, и учтём, что $u = \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \approx \frac{VL}{2x}$:
$\frac{ \Delta u}{ \Delta t} \approx \frac{VL}{2x^{2}} \cdot \frac{\Delta x}{ \Delta t} = \frac{V^{2}L^{2}}{4x^{3}}$.
В соответствии со вторым законом Ньютона ускорение $\frac{ \Delta u}{ \Delta t}$ равно сумме всех действующих на груз сил, разделённой на его массу. Так как равнодействующая сил натяжения равна $2F \sin \alpha = 4Fx/L$, то
$\frac{ \Delta u}{ \Delta t} \approx \frac{V^{2}L^{2}}{4x^{3}} \approx \frac{1}{M} \left ( \frac{4Fx}{L} - Mg \right )$.
Предположим, что не только $F \gg Mg$, но и $ \frac{4Fx}{L} \gg Mg$ (потом нужно будет обязательно проверить, выполняется ли на самом деле это неравенство!). В этом случае
$ \frac{V^{2}L^{2}}{4x^{3}} \approx \frac{4Fx}{ML}$, и $x \approx \left ( \frac{MV^{2}L^{3}}{16F} \right )^{1/4} = 0,1 м$.
Неравенство $\frac{4Fx}{L} = 1 Н \gg Mg = 0,01 Н$ действительно выполняется. Теперь можно определить скорость груза в момент разрыва нити:
$u \approx \frac{VL}{2x} \approx \left ( \frac{FLV^{2}}{M} \right )^{1/4} = 10 м/с$. Следовательно, груз после разрыва нити взлетит на высоту
$h = \frac{u^{2}}{2g} \approx \frac{V}{2g} \sqrt{ \frac{FL}{M}} = 5 м$.
