Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10067
2019-01-14 
При исследовании сейсмически неактивной малой планеты Х учёные обнаружили, что внутри неё имеется гигантская сферическая полость-пузырь радиуса $r$ c центром в точке С (см. рис.). Внутрь полости через скважину был запущен зонд, который благополучно опустился на самое дно полости в точке А. С зонда предполагается выпустить снаряд, чтобы он попал в точку В полости и отколол образец ($CB \perp CA$). Как нужно направить снаряд и с какой скоростью его запустить, чтобы осуществить задуманное? Считать плотность планеты Х постоянной и равной $\rho$, радиус планеты $R$. Точка A расположена на расстоянии $a$ от центра планеты. Чтобы снаряд не срикошетил, он должен попасть в точку В перпендикулярно стенке полости. Планета Х не вращается, и воздуха на ней не обнаружено. Универсальная гравитационная постоянная $G$ известна.
Решение:
Главная проблема при решении этой задачи - определить закон, по которому снаряд летит в полости. Для этого нужно выяснить, как суммарно притягивают снаряд все точки планеты Х.
Поскольку планета не сферическая (имеет полость) удобно воспользоваться известным трюком: заменим планету с полостью системой двух сферических тел: сплошной планетой А (без полости) и телом Б отрицательной массы, имеющим форму полости. При этом тело отрицательной массы как бы наложено на сплошную планету, и положительная плотность планеты $\rho$ во всех точках полости компенсируется отрицательной плотностью $\rho$, так что результирующая такой системы тел по принцип суперпозиции совпадает с гравитационным воздействием планеты Х, имеющей полость.
Далее, поскольку снаряд летит как внутри тела А, так и внутри тела Б, следует разобраться, по какому закону меняется ускорение свободного падения внутри однородного массивного тела. Аналогично тому, как это делается в электростатике, легко увидеть, что если снаряд находится в любом месте сферического однородного слоя, воздействие слоя на снаряд полностью скомпенсировано. Поэтому, находясь на расстоянии $x$ от центра тела А снаряд массой $m$ будет ’’чувствовать” лишь притяжение шара радиуса $x$, центр которого совпадает с центром А. Сила этого притяжения описывается формулой $F_{A} = GmM_{x}/x^{2}$, где $M_{x}$ - масса шара радиуса $x$ с плотностью тела А. Подставляя сюда $M_{x} = \rho 4 \pi x^{2}/3$, получим
$F_{A} = \frac{2G m \pi x}{3} = Kx$, где $K = \frac{4 Gm \pi}{3}$.
Итак, мы убедились, что снаряд внутри тела А испытывает такое же воздействие от А, как если бы оно было привязано к центру А гуковской пружиной жёсткостью $K$, причём в недеформированном состоянии эта ’пружина” имеет нулевую длину. C учётом направления векторов $\vec{x}$ и $\vec{F}_{A}$ можно записать $\vec{F}_{A} = - K \vec{x}$.
Аналогично, легко увидеть, что находясь внутри Б снаряд испытывает силу, которая отталкивает его от центра тела Б с силой $F_{Б} = Ky$, где $y$ - расстояние от снаряда до тела Б. C учётом направления векторов $\vec{y}$ и $\vec{F}_{Б}$ можно записать $\vec{F}_{Б} = K \vec{y}$. Значит, суммарная сила
$\vec{F} = \vec{F}_{A} + \vec{F}_{Б} = - K \vec{x} + K \vec{y} = K ( \vec{y} - \vec{x}) = K \vec{l}$,
где $\vec{l}$ - вектор, проведённый из центра полости в центр планеты. По условию задачи $l = a + r$. Мы видим, что величина $F$ - одна и та же, если снаряд находится одновременно внутри обоих тел А и Б.
Значит, на снаряд, летящий внутри полости действует постоянная по модулю и направлению сила $F$, и снаряд полетит словно в однородном поле силы тяжести с ускорением свободного падения
$\tilde{g} = \frac{F}{m} = \frac{Kl}{m} = \frac{4G(a + r) \pi}{3}$. (1)
Направлено это ускорение вдоль СА.
Используем формулы для равноускоренного движения по параболе. Обозначим скорость вылета снаряда из точки А через $V$, а угол вылета $\alpha$. Координаты снаряда меняются по закону
$y(t) = Vt \sin \alpha - \frac{ \tilde{g} t^{2} }{2}, x(t) = Vt \cos \alpha$
В точке В снаряд должен лететь перпендукулярно стенке полости, т.е. "горизонтально" (считаем горизонталью линию, перпендукулярную $\vec{g}$). Значит, в момент попадания снаряд находится в высшей точке траектории, пролетев по вертикали и горизонтали расстояние $r$. Вертикальная компонента скорости меняется по закону $V_{y} = V \sin \alpha - \tilde{g}t$. В момент удара $T$ она обращается в ноль:
$0 = V \sin \alpha - \tilde{g}T \Rightarrow T = \frac{V \sin \alpha }{ \tilde{g} }$.
Подставляя это время в (5) и приравнивая $x(T) = y(T) = r$, получим
$x(T) = r = \frac{V^{2} \sin^{2} \alpha }{g} - \frac{ \tilde{g} }{2} \left ( \frac{V \sin \alpha}{g} \right ) = \frac{V^{2} \sin^{2} \alpha }{2 \tilde{g}}, y(T) = r = \frac{V^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{ \tilde{g} }$.
Разделив одно равенство на другое, получим $tg \alpha = 2$. Подставляя известное значение $\alpha$ в любую из этих формул, несложно выразить $V$.
Ответ: Нужно стрелять с начальной скоростью $V = \sqrt{5r \tilde{g}/2}$, где $\tilde{g}$ определено в (5) под углом $\alpha = arctg 2$ к направлению СВ.
При исследовании сейсмически неактивной малой планеты Х учёные обнаружили, что внутри неё имеется гигантская сферическая полость-пузырь радиуса $r$ c центром в точке С (см. рис.). Внутрь полости через скважину был запущен зонд, который благополучно опустился на самое дно полости в точке А. С зонда предполагается выпустить снаряд, чтобы он попал в точку В полости и отколол образец ($CB \perp CA$). Как нужно направить снаряд и с какой скоростью его запустить, чтобы осуществить задуманное? Считать плотность планеты Х постоянной и равной $\rho$, радиус планеты $R$. Точка A расположена на расстоянии $a$ от центра планеты. Чтобы снаряд не срикошетил, он должен попасть в точку В перпендикулярно стенке полости. Планета Х не вращается, и воздуха на ней не обнаружено. Универсальная гравитационная постоянная $G$ известна.
Решение:
Главная проблема при решении этой задачи - определить закон, по которому снаряд летит в полости. Для этого нужно выяснить, как суммарно притягивают снаряд все точки планеты Х.
Поскольку планета не сферическая (имеет полость) удобно воспользоваться известным трюком: заменим планету с полостью системой двух сферических тел: сплошной планетой А (без полости) и телом Б отрицательной массы, имеющим форму полости. При этом тело отрицательной массы как бы наложено на сплошную планету, и положительная плотность планеты $\rho$ во всех точках полости компенсируется отрицательной плотностью $\rho$, так что результирующая такой системы тел по принцип суперпозиции совпадает с гравитационным воздействием планеты Х, имеющей полость.
Далее, поскольку снаряд летит как внутри тела А, так и внутри тела Б, следует разобраться, по какому закону меняется ускорение свободного падения внутри однородного массивного тела. Аналогично тому, как это делается в электростатике, легко увидеть, что если снаряд находится в любом месте сферического однородного слоя, воздействие слоя на снаряд полностью скомпенсировано. Поэтому, находясь на расстоянии $x$ от центра тела А снаряд массой $m$ будет ’’чувствовать” лишь притяжение шара радиуса $x$, центр которого совпадает с центром А. Сила этого притяжения описывается формулой $F_{A} = GmM_{x}/x^{2}$, где $M_{x}$ - масса шара радиуса $x$ с плотностью тела А. Подставляя сюда $M_{x} = \rho 4 \pi x^{2}/3$, получим
$F_{A} = \frac{2G m \pi x}{3} = Kx$, где $K = \frac{4 Gm \pi}{3}$.
Итак, мы убедились, что снаряд внутри тела А испытывает такое же воздействие от А, как если бы оно было привязано к центру А гуковской пружиной жёсткостью $K$, причём в недеформированном состоянии эта ’пружина” имеет нулевую длину. C учётом направления векторов $\vec{x}$ и $\vec{F}_{A}$ можно записать $\vec{F}_{A} = - K \vec{x}$.
Аналогично, легко увидеть, что находясь внутри Б снаряд испытывает силу, которая отталкивает его от центра тела Б с силой $F_{Б} = Ky$, где $y$ - расстояние от снаряда до тела Б. C учётом направления векторов $\vec{y}$ и $\vec{F}_{Б}$ можно записать $\vec{F}_{Б} = K \vec{y}$. Значит, суммарная сила
$\vec{F} = \vec{F}_{A} + \vec{F}_{Б} = - K \vec{x} + K \vec{y} = K ( \vec{y} - \vec{x}) = K \vec{l}$,
где $\vec{l}$ - вектор, проведённый из центра полости в центр планеты. По условию задачи $l = a + r$. Мы видим, что величина $F$ - одна и та же, если снаряд находится одновременно внутри обоих тел А и Б.
Значит, на снаряд, летящий внутри полости действует постоянная по модулю и направлению сила $F$, и снаряд полетит словно в однородном поле силы тяжести с ускорением свободного падения
$\tilde{g} = \frac{F}{m} = \frac{Kl}{m} = \frac{4G(a + r) \pi}{3}$. (1)
Направлено это ускорение вдоль СА.
Используем формулы для равноускоренного движения по параболе. Обозначим скорость вылета снаряда из точки А через $V$, а угол вылета $\alpha$. Координаты снаряда меняются по закону
$y(t) = Vt \sin \alpha - \frac{ \tilde{g} t^{2} }{2}, x(t) = Vt \cos \alpha$
В точке В снаряд должен лететь перпендукулярно стенке полости, т.е. "горизонтально" (считаем горизонталью линию, перпендукулярную $\vec{g}$). Значит, в момент попадания снаряд находится в высшей точке траектории, пролетев по вертикали и горизонтали расстояние $r$. Вертикальная компонента скорости меняется по закону $V_{y} = V \sin \alpha - \tilde{g}t$. В момент удара $T$ она обращается в ноль:
$0 = V \sin \alpha - \tilde{g}T \Rightarrow T = \frac{V \sin \alpha }{ \tilde{g} }$.
Подставляя это время в (5) и приравнивая $x(T) = y(T) = r$, получим
$x(T) = r = \frac{V^{2} \sin^{2} \alpha }{g} - \frac{ \tilde{g} }{2} \left ( \frac{V \sin \alpha}{g} \right ) = \frac{V^{2} \sin^{2} \alpha }{2 \tilde{g}}, y(T) = r = \frac{V^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{ \tilde{g} }$.
Разделив одно равенство на другое, получим $tg \alpha = 2$. Подставляя известное значение $\alpha$ в любую из этих формул, несложно выразить $V$.
Ответ: Нужно стрелять с начальной скоростью $V = \sqrt{5r \tilde{g}/2}$, где $\tilde{g}$ определено в (5) под углом $\alpha = arctg 2$ к направлению СВ.
