Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10066
2019-01-14 
Колёса массивной тележки представляют собой два лёгких полых цилиндра длиной $L$, по выпуклой поверхности которых равномерно распределён электрический заряд. Масса тележки $M$, заряд каждого колеса $Q$. Тележку разогнали до скорости $V_{0}$, при этом её колёса не проскальзывали по полу. Затем тележку подняли над полом, резко затормозили её, не трогая колёса, снова поставили на пол и отпустили. Коэффициент трения колёс тележки о пол равен $k$. До какой скорости разгонится тележка? Ускорение свободного падения равно $g$. Трением в оси колёс пренебречь.
Решение:
Когда тележку с вращающимися колёсами поставили на пол неподвижно, сила трения $kMg$ начала действовать между колёсами и полом. Эта сила разгоняет тележку с ускорением $kg$, при этом скорость тележки увеличивается по закону $u(t) = kgt$. Одновременно сила трения тормозит вращающиеся колёса. Это продолжается до тех пор, пока скорость тележки и скорость её колёс не уравняются; с этого момента тележка будет катиться без проскальзывания, с постоянной скоростью.
Рассмотрим, что происходит, когда заряженные колёса тормозятся силой трения. Казалось бы, раз колёса лёгкие, т.е. практически не обладают инертностью (ведь масса цилиндров пренебрежимо мала!), сила трения может затормозить их очень быстро. Однако, это не так - в ситуацию вмешивается ЭДС индукции и правило Ленца.
Вращяющийся цилиндр с поверхностным зарядом можно рассматривать как витки с током. Эти витки создают внутри цилиндра магнитное поле индукции $B$, аналогично полю катушки с током. При воздействии некоторой внешней силы $F$, тормозящей цилиндр, скорость его вращения (величина токов) должна измениться; вместе с этим должно измениться и поле B. Однако при попытке изменить B по правилу Ленца возникает вихревое электрическое поле - появляется ЭДС индукции и соответствующая этой ЭДС напряжённость $E$. Возникшее электрическое поле действует на заряды цилиндра с силой QE противонаправленно внешней силе $F$. Значит, сила трения не сможет мгновенно затормозить даже очень лёгкие колёса. Их торможение определяется не инертностью массы колёс (которая по условию пренебрежима), а инертностью зарядов.
При решении задачи удобно воспользоваться аналогией с катушкой индуктивности и известными формулами для неё. Пусть скорость врашения обода цилиндра равна $V$, радиус цилиндра $R$. Разделим мысленно цилиндр на $N \gg 1$ тонких слоёв-витков толщиной $L/N$. Магнитное поле в такой "катушке" $B = \mu_{0}Ni/L$, где $i$ - ток одного витка. Зная, что в одном витке сосредоточен заряд $\Delta Q = Q/N$, который совершает полный оборот за время $\Delta t = 2 \pi R/V$, найдём
$i = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = \frac{QV}{2 \pi RN}, B = \frac{ \mu_{0} Ni }{L} = \frac{ \mu_{0} QV }{2 \pi RL}$. (1)
Обратите внимание, что величина поля $B$ не зависит от того, на сколько витков мы мысленно разделили цилиндр.
Поток этого магнитного поля через один виток равен $\Phi_{0} = B \pi R^{2}$, где $B$ задаётся ф-лой (4). Изменение $\Phi_{0}$ влечёт появление ЭДС индукции в витке:
$\mathcal{E}_{0} = - \frac{ \Delta \Phi_{0} }{ \Delta t} = - \pi R^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{ \pi R^{2} \mu_{0}Q }{2 \pi RL} \frac{ \Delta V}{ \Delta t} = - \frac{ \pi R^{2} \mu_{0} Qa }{2 \pi RL}$,
где мы ввели $a = \Delta V/ \Delta t$ - ускорение вращения обода. Знак минус показывает, что если мы тормозим цилиндр ($a < 0$), вихревое электрическое поле действует на заряды витка противонаправлено, разгоняя заряды.
Величина $\mathcal{E}_{0}$ имеет размерность напряжения. Так как это напряжение создаётся на одном витке длины $2 \pi R$, ему соответствует напряжённость электрического поля $E = E_{0}/(2 \pi R)$. Она действует на заряд одного витка с силой $QE/N$, а на все витки - с силой
$F_{ \mathcal{E} } = Q|E| = \frac{Q| \mathcal{E}_{0} | }{2 \pi R} = \frac{ \pi R^{2} \mu_{0} Q^{2} a }{4 \pi L } \equiv \tilde{m} a$, где $\tilde{m} = \frac{ \mu_{0} Q^{2} }{4 \pi L}$,
здесь мы ввели коэффициент $\tilde{m}$, отражающий инертность колёс тележки и имеющий размерность массы. Мы увидели, что электромагнитная индукция связанное с ней вихревое электрическое поле приводит к тому, что колесо "сопротивляется" внешней силе - также, как если бы обод колеса был массивным с массой $\tilde{m}$.
Теперь понятно, как тормозятся цилиндры. На каждый цилиндр действует сила трения $kMg/2$, значит скорость обода меняется (убывает от начального значения $V_{0}$) с ускорением $kMg/(2 \tilde{m})$, т.е. по закону
$V(t) = V_{0} - \frac{kMg}{2 \tilde{m}} t$.
Скорость тележки $u(t) = kgt$ и скорость обода колеса $V(t)$ сравняются к моменту, когда
$kgt = V_{0} - \frac{kMg}{2 \tilde{m}} t \Rightarrow t = \frac{V_{0} }{kg(1 + (M/2 \tilde{m} ) ) }$.
Начиная с этого момента вращение колёс и движение тележки будет синхронизировано, проскальзывание прекратится, и тележка поедет с постоянной скоростью. Чтобы найти эту скорость, надо подставить найденное время $t$ в $u(t)$.
Ответ: Тележка разгонится до скорости
$V_{max} = \frac{V_{0} }{1 + (M/2 \tilde{m} ) }$, где $\tilde{m} = \frac{ \mu_{0} Q^{2} }{4 \pi L}$.
Колёса массивной тележки представляют собой два лёгких полых цилиндра длиной $L$, по выпуклой поверхности которых равномерно распределён электрический заряд. Масса тележки $M$, заряд каждого колеса $Q$. Тележку разогнали до скорости $V_{0}$, при этом её колёса не проскальзывали по полу. Затем тележку подняли над полом, резко затормозили её, не трогая колёса, снова поставили на пол и отпустили. Коэффициент трения колёс тележки о пол равен $k$. До какой скорости разгонится тележка? Ускорение свободного падения равно $g$. Трением в оси колёс пренебречь.
Решение:
Когда тележку с вращающимися колёсами поставили на пол неподвижно, сила трения $kMg$ начала действовать между колёсами и полом. Эта сила разгоняет тележку с ускорением $kg$, при этом скорость тележки увеличивается по закону $u(t) = kgt$. Одновременно сила трения тормозит вращающиеся колёса. Это продолжается до тех пор, пока скорость тележки и скорость её колёс не уравняются; с этого момента тележка будет катиться без проскальзывания, с постоянной скоростью.
Рассмотрим, что происходит, когда заряженные колёса тормозятся силой трения. Казалось бы, раз колёса лёгкие, т.е. практически не обладают инертностью (ведь масса цилиндров пренебрежимо мала!), сила трения может затормозить их очень быстро. Однако, это не так - в ситуацию вмешивается ЭДС индукции и правило Ленца.
Вращяющийся цилиндр с поверхностным зарядом можно рассматривать как витки с током. Эти витки создают внутри цилиндра магнитное поле индукции $B$, аналогично полю катушки с током. При воздействии некоторой внешней силы $F$, тормозящей цилиндр, скорость его вращения (величина токов) должна измениться; вместе с этим должно измениться и поле B. Однако при попытке изменить B по правилу Ленца возникает вихревое электрическое поле - появляется ЭДС индукции и соответствующая этой ЭДС напряжённость $E$. Возникшее электрическое поле действует на заряды цилиндра с силой QE противонаправленно внешней силе $F$. Значит, сила трения не сможет мгновенно затормозить даже очень лёгкие колёса. Их торможение определяется не инертностью массы колёс (которая по условию пренебрежима), а инертностью зарядов.
При решении задачи удобно воспользоваться аналогией с катушкой индуктивности и известными формулами для неё. Пусть скорость врашения обода цилиндра равна $V$, радиус цилиндра $R$. Разделим мысленно цилиндр на $N \gg 1$ тонких слоёв-витков толщиной $L/N$. Магнитное поле в такой "катушке" $B = \mu_{0}Ni/L$, где $i$ - ток одного витка. Зная, что в одном витке сосредоточен заряд $\Delta Q = Q/N$, который совершает полный оборот за время $\Delta t = 2 \pi R/V$, найдём
$i = \frac{ \Delta Q}{ \Delta t} = \frac{QV}{2 \pi RN}, B = \frac{ \mu_{0} Ni }{L} = \frac{ \mu_{0} QV }{2 \pi RL}$. (1)
Обратите внимание, что величина поля $B$ не зависит от того, на сколько витков мы мысленно разделили цилиндр.
Поток этого магнитного поля через один виток равен $\Phi_{0} = B \pi R^{2}$, где $B$ задаётся ф-лой (4). Изменение $\Phi_{0}$ влечёт появление ЭДС индукции в витке:
$\mathcal{E}_{0} = - \frac{ \Delta \Phi_{0} }{ \Delta t} = - \pi R^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = - \frac{ \pi R^{2} \mu_{0}Q }{2 \pi RL} \frac{ \Delta V}{ \Delta t} = - \frac{ \pi R^{2} \mu_{0} Qa }{2 \pi RL}$,
где мы ввели $a = \Delta V/ \Delta t$ - ускорение вращения обода. Знак минус показывает, что если мы тормозим цилиндр ($a < 0$), вихревое электрическое поле действует на заряды витка противонаправлено, разгоняя заряды.
Величина $\mathcal{E}_{0}$ имеет размерность напряжения. Так как это напряжение создаётся на одном витке длины $2 \pi R$, ему соответствует напряжённость электрического поля $E = E_{0}/(2 \pi R)$. Она действует на заряд одного витка с силой $QE/N$, а на все витки - с силой
$F_{ \mathcal{E} } = Q|E| = \frac{Q| \mathcal{E}_{0} | }{2 \pi R} = \frac{ \pi R^{2} \mu_{0} Q^{2} a }{4 \pi L } \equiv \tilde{m} a$, где $\tilde{m} = \frac{ \mu_{0} Q^{2} }{4 \pi L}$,
здесь мы ввели коэффициент $\tilde{m}$, отражающий инертность колёс тележки и имеющий размерность массы. Мы увидели, что электромагнитная индукция связанное с ней вихревое электрическое поле приводит к тому, что колесо "сопротивляется" внешней силе - также, как если бы обод колеса был массивным с массой $\tilde{m}$.
Теперь понятно, как тормозятся цилиндры. На каждый цилиндр действует сила трения $kMg/2$, значит скорость обода меняется (убывает от начального значения $V_{0}$) с ускорением $kMg/(2 \tilde{m})$, т.е. по закону
$V(t) = V_{0} - \frac{kMg}{2 \tilde{m}} t$.
Скорость тележки $u(t) = kgt$ и скорость обода колеса $V(t)$ сравняются к моменту, когда
$kgt = V_{0} - \frac{kMg}{2 \tilde{m}} t \Rightarrow t = \frac{V_{0} }{kg(1 + (M/2 \tilde{m} ) ) }$.
Начиная с этого момента вращение колёс и движение тележки будет синхронизировано, проскальзывание прекратится, и тележка поедет с постоянной скоростью. Чтобы найти эту скорость, надо подставить найденное время $t$ в $u(t)$.
Ответ: Тележка разгонится до скорости
$V_{max} = \frac{V_{0} }{1 + (M/2 \tilde{m} ) }$, где $\tilde{m} = \frac{ \mu_{0} Q^{2} }{4 \pi L}$.
