Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10065
2019-01-14 
Две одинаковые резинки АВ и CD подчиняются закону Гука. Длина каждой резинки в недеформированном состоянии равна $l$. Первоначально концы резинки OD закреплены, при этом она недеформирована. К её середине привязали конец B второй резинки (см. рис), $AB \perp CD$. На сколько надо сдвинуть конец А второй резинки влево, чтобы угол $\angle CBD$ стал равен $\alpha$?
Решение:
Обозначим жёсткость исходных резинок $k$. Удобно также ввести $\beta = \alpha /2$.
Пусть резинка АВ растянулась в требуемом положении на $\Delta l$, а каждая из половинок второй резинки - куски ВС и BD - на $\Delta x$. Из треугольника BDO
$\sin \beta = \frac{|DO|}{|DB|} = \frac{l/2}{l/2 + \Delta x} \Rightarrow \Delta x = \frac{l(1 - \sin \beta) }{2 \sin \beta}$. (1)
На рисунке 1 указаны силы, действующие на узел В: на резинку АВ действует сила $k \Delta l$, а на каждую из половинок - сила $2k \Delta x$. Обратите внимание, что жёсткость половины резинки в два раза больше жёсткости целой резинки, поэтому в последней формуле для силы появилась двойка. Действительно, рассмотрев целую резинку, которая растянулась под действием некоторой силы, можно понять, что половинки этой резинки натянуты той же силой, но растянулись в два раза слабее, а значит, имеют вдвое большую жёсткость. Поэтому мы приписали кускам BC и BD жёсткость $2k$.
Спроецируем силы, действующие на узел В на направление АВ и учтём, что узел В находится в равновесии:
$k \Delta l = 4k \Delta x \cos \beta \Rightarrow \Delta l = 4 \Delta x \cos \beta = 2l(1 - \sin \beta) ctg \beta$,
здесь мы использовали для $\Delta x$ формулу (1). Осталось лишь записать, что сдвиг точки А складывается из найднного $\Delta l$ и отрезка ВО, равного $|DO| ctg \beta = (l ctg \beta)/2$, и упростить полученное выражение.
Ответ: Точку А надо сдвинуть на
$\frac{l(5 - 4 \sin \beta) ctg \beta}{2}$, где $\beta = \alpha /2$.
Две одинаковые резинки АВ и CD подчиняются закону Гука. Длина каждой резинки в недеформированном состоянии равна $l$. Первоначально концы резинки OD закреплены, при этом она недеформирована. К её середине привязали конец B второй резинки (см. рис), $AB \perp CD$. На сколько надо сдвинуть конец А второй резинки влево, чтобы угол $\angle CBD$ стал равен $\alpha$?
Решение:
Обозначим жёсткость исходных резинок $k$. Удобно также ввести $\beta = \alpha /2$.
Пусть резинка АВ растянулась в требуемом положении на $\Delta l$, а каждая из половинок второй резинки - куски ВС и BD - на $\Delta x$. Из треугольника BDO
$\sin \beta = \frac{|DO|}{|DB|} = \frac{l/2}{l/2 + \Delta x} \Rightarrow \Delta x = \frac{l(1 - \sin \beta) }{2 \sin \beta}$. (1)
На рисунке 1 указаны силы, действующие на узел В: на резинку АВ действует сила $k \Delta l$, а на каждую из половинок - сила $2k \Delta x$. Обратите внимание, что жёсткость половины резинки в два раза больше жёсткости целой резинки, поэтому в последней формуле для силы появилась двойка. Действительно, рассмотрев целую резинку, которая растянулась под действием некоторой силы, можно понять, что половинки этой резинки натянуты той же силой, но растянулись в два раза слабее, а значит, имеют вдвое большую жёсткость. Поэтому мы приписали кускам BC и BD жёсткость $2k$.
Спроецируем силы, действующие на узел В на направление АВ и учтём, что узел В находится в равновесии:
$k \Delta l = 4k \Delta x \cos \beta \Rightarrow \Delta l = 4 \Delta x \cos \beta = 2l(1 - \sin \beta) ctg \beta$,
здесь мы использовали для $\Delta x$ формулу (1). Осталось лишь записать, что сдвиг точки А складывается из найднного $\Delta l$ и отрезка ВО, равного $|DO| ctg \beta = (l ctg \beta)/2$, и упростить полученное выражение.
Ответ: Точку А надо сдвинуть на
$\frac{l(5 - 4 \sin \beta) ctg \beta}{2}$, где $\beta = \alpha /2$.
