Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10064
2019-01-14 
Идеальный газ находится в сосуде с поршнем. К ручке поршня прикреплена маленькая светящаяся лампочка. Рядом с ней расположена собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ (см. рис), главная оптическая ось линзы совпадает с осью поршня. Первоначально поршень находится на расстоянии $L$ от дна сосуда, а лампочка - в фокусе линзы. С газом совершают квазистатический процесс, представленный на графике $p(T)$. На картинке, изображающей график, угол $\alpha = 45^{ \circ}$; четырёхугольник является квадратом, стороны которого наклонены к горизонтальной оси под углом $45^{ \circ}$. Начальное состояние газа отмечено точкой $a$, расположенной в середине квадрата. Расстояние от точки $a$ до начала координат в $k$ раз больше стороны квадрата. Найдите множество точек изображения лампочки в линзе при таком движении поршня.
Решение:
Введём ось, направленную вправо и совпадающую с главной оптической осью линзы; начало отсчёта - центр линзы.
Пусть из-за движения поршня лампочка удалилась от фокуса линзы влево, так что расстояние от лампочки до линзы $a > F$. Тогда изображение лампочки в линзе будет действительным и будет находится правее линзы в точке с координатой $b > 0$. Величину $b$ легко определим с помощью формулы линзы:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \Leftarrow b = \frac{Fa}{a - F}$. (1)
При приближении $a$ к $F$ знаменатель этой формулы становится малым, величина $b$ увеличивается. При стремлении $a$ к $F$ изображение "уходит" вправо на бесконечность. Множество точек изображения на введённой оси в этом случае $M \in [b_{1}, + \infty)$, где $b_{1}$ соответствует изображению крайнего левого положения лампочки $a_{l}$, т.е. случаю, когда объём газа минимален (см. рис.).
Если же лампочка приблизится к линзе ближе, чем на $F$ (т.е. при $a < F$), в ф-ле (1) величина $b$ станет отрицательной. Это значит, что в данном случае изображение лампочки станет мнимым и расположится с другой стороны от линзы (левее неё) на расстоянии $|b|$ от начала отсчёта. По-прежнему приближение $a$ к $F$ ведёт к уходу изображения на бесконечность, правда, теперь на бесконечность влево от линзы. Множество точек изображения в этом случае $M \in ( - \infty, b_{2}]$, где $b_{2} < 0$ соответствует изображению крайнего правого положению лампочки $a_{r}$, т.е. случаю, когда объём газа максимален.
Итак, чтобы ответить на вопрос задачи, следует найти $a_{l}$ и $a_{r}$, т.е. определить, на какое максимальное расстояние от начального положения сдвигается влево и вправо поршень в описанном процессе. Для этого найдем, в каких точках процесса $p(T)$ объём газа максимален и минимален.
Обозначим начальные давление, температуру и объёма газа через $p_{0}, T_{0}, V_{0}$ соответственно, а количество вещества газа под поршнем - через $\nu$. Пусть площадь поршня равна $S$.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева объём газа $V = \nu RT/p$, т.е. пропорционален величине $T/p$. В любой точке Х процесса значение $T/p$ совпадает с котангенсом угла $\alpha_{x}$ линии ОХ, проведённой из Х в начало координат (см. рис.). Понятно, что наибольший наклон (и наименьший котангенс) будет в точке 1, а наименьший наклон - в точке 2. Давление и температура в этих точках равны
$p_{1} = p_{0}, p_{2} = p_{0} - \Delta p, T_{1} = T_{0} - \Delta T, T_{2} = T_{0}$.
Здесь мы ввели величины $\Delta p$ и $\Delta T$ (см. рис. 11), которые легко найти из подобия выделенных на рисунке треугольников:
$\frac{ \Delta T}{T_{0} } = \frac{ \Delta p}{p_{0} } = \frac{1}{k}$.
Найдём минимальный объём газа $V_{1}$ и его максимальный объём $V_{2}$, а также вычислим, каков в точках 1 и 2 сдвиг поршня из начального положения ($\Delta L_{l}$ и $\Delta L_{r}$):
$V_{1} = \frac{ \nu RT_{1} }{p_{1} } = \frac{ \nu RT_{0} (1 - \Delta T/T_{0} ) }{p_{0} } = V_{0} (1 - k^{-1} ), \Delta L_{l} = \frac{V_{0} - V_{1} }{S} = \frac{V_{0} }{Sk} = \frac{L}{k}$.
$V_{2} = \frac{ \nu RT_{2} }{p_{2} } = \frac{ \nu RT_{0} }{p_{0}(1 - \Delta p/p_{0} ) } = \frac{V_{0} }{1 - k^{-1} }, \Delta L_{r} = \frac{V_{2} - V_{0} }{S} = \frac{V_{0}}{S(k-1) } = \frac{L}{k - 1}$.
Крайние положения лампочки $a_{l}$ и $a_{r}$ при этом будут
$a_{l} = F + \Delta L_{l} = F + \frac{L}{k}, a_{r} = F - \Delta L_{r} = F - \frac{L}{k-1}$.
Понятно, что лампочка не должна врезаться в линзу, т.е. $a_{r} > 0$, так что, должно быть, $F > \Delta L_{r}$.
Подставляя $a_{l}$ в (1), получим $b_{1}$; подставляя туда же $a_{r}$, найдём $b_{2}$:
$b_{1} = \frac{Fa_{l} }{a_{l} - F } = \frac{F(kF + L) }{L}, b_{2} = \frac{Fa{r}}{a_{l} - F } = - \frac{F(F(k - 1) - L )}{L}$. (2)
Ответ: $M \in (- \infty, b_{2}] \cup [b_{1},+ \infty)$, где $b_{1}$ и $b_{2}$ задаются ф-лой (50). Лампочка не разобъёт линзу только если $F(k - 1) > L$, т.е. $b_{2} < 0$.
Идеальный газ находится в сосуде с поршнем. К ручке поршня прикреплена маленькая светящаяся лампочка. Рядом с ней расположена собирающая линза с фокусным расстоянием $F$ (см. рис), главная оптическая ось линзы совпадает с осью поршня. Первоначально поршень находится на расстоянии $L$ от дна сосуда, а лампочка - в фокусе линзы. С газом совершают квазистатический процесс, представленный на графике $p(T)$. На картинке, изображающей график, угол $\alpha = 45^{ \circ}$; четырёхугольник является квадратом, стороны которого наклонены к горизонтальной оси под углом $45^{ \circ}$. Начальное состояние газа отмечено точкой $a$, расположенной в середине квадрата. Расстояние от точки $a$ до начала координат в $k$ раз больше стороны квадрата. Найдите множество точек изображения лампочки в линзе при таком движении поршня.
Решение:
Введём ось, направленную вправо и совпадающую с главной оптической осью линзы; начало отсчёта - центр линзы.
Пусть из-за движения поршня лампочка удалилась от фокуса линзы влево, так что расстояние от лампочки до линзы $a > F$. Тогда изображение лампочки в линзе будет действительным и будет находится правее линзы в точке с координатой $b > 0$. Величину $b$ легко определим с помощью формулы линзы:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{F} \Leftarrow b = \frac{Fa}{a - F}$. (1)
При приближении $a$ к $F$ знаменатель этой формулы становится малым, величина $b$ увеличивается. При стремлении $a$ к $F$ изображение "уходит" вправо на бесконечность. Множество точек изображения на введённой оси в этом случае $M \in [b_{1}, + \infty)$, где $b_{1}$ соответствует изображению крайнего левого положения лампочки $a_{l}$, т.е. случаю, когда объём газа минимален (см. рис.).
Если же лампочка приблизится к линзе ближе, чем на $F$ (т.е. при $a < F$), в ф-ле (1) величина $b$ станет отрицательной. Это значит, что в данном случае изображение лампочки станет мнимым и расположится с другой стороны от линзы (левее неё) на расстоянии $|b|$ от начала отсчёта. По-прежнему приближение $a$ к $F$ ведёт к уходу изображения на бесконечность, правда, теперь на бесконечность влево от линзы. Множество точек изображения в этом случае $M \in ( - \infty, b_{2}]$, где $b_{2} < 0$ соответствует изображению крайнего правого положению лампочки $a_{r}$, т.е. случаю, когда объём газа максимален.
Итак, чтобы ответить на вопрос задачи, следует найти $a_{l}$ и $a_{r}$, т.е. определить, на какое максимальное расстояние от начального положения сдвигается влево и вправо поршень в описанном процессе. Для этого найдем, в каких точках процесса $p(T)$ объём газа максимален и минимален.
Обозначим начальные давление, температуру и объёма газа через $p_{0}, T_{0}, V_{0}$ соответственно, а количество вещества газа под поршнем - через $\nu$. Пусть площадь поршня равна $S$.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева объём газа $V = \nu RT/p$, т.е. пропорционален величине $T/p$. В любой точке Х процесса значение $T/p$ совпадает с котангенсом угла $\alpha_{x}$ линии ОХ, проведённой из Х в начало координат (см. рис.). Понятно, что наибольший наклон (и наименьший котангенс) будет в точке 1, а наименьший наклон - в точке 2. Давление и температура в этих точках равны
$p_{1} = p_{0}, p_{2} = p_{0} - \Delta p, T_{1} = T_{0} - \Delta T, T_{2} = T_{0}$.
Здесь мы ввели величины $\Delta p$ и $\Delta T$ (см. рис. 11), которые легко найти из подобия выделенных на рисунке треугольников:
$\frac{ \Delta T}{T_{0} } = \frac{ \Delta p}{p_{0} } = \frac{1}{k}$.
Найдём минимальный объём газа $V_{1}$ и его максимальный объём $V_{2}$, а также вычислим, каков в точках 1 и 2 сдвиг поршня из начального положения ($\Delta L_{l}$ и $\Delta L_{r}$):
$V_{1} = \frac{ \nu RT_{1} }{p_{1} } = \frac{ \nu RT_{0} (1 - \Delta T/T_{0} ) }{p_{0} } = V_{0} (1 - k^{-1} ), \Delta L_{l} = \frac{V_{0} - V_{1} }{S} = \frac{V_{0} }{Sk} = \frac{L}{k}$.
$V_{2} = \frac{ \nu RT_{2} }{p_{2} } = \frac{ \nu RT_{0} }{p_{0}(1 - \Delta p/p_{0} ) } = \frac{V_{0} }{1 - k^{-1} }, \Delta L_{r} = \frac{V_{2} - V_{0} }{S} = \frac{V_{0}}{S(k-1) } = \frac{L}{k - 1}$.
Крайние положения лампочки $a_{l}$ и $a_{r}$ при этом будут
$a_{l} = F + \Delta L_{l} = F + \frac{L}{k}, a_{r} = F - \Delta L_{r} = F - \frac{L}{k-1}$.
Понятно, что лампочка не должна врезаться в линзу, т.е. $a_{r} > 0$, так что, должно быть, $F > \Delta L_{r}$.
Подставляя $a_{l}$ в (1), получим $b_{1}$; подставляя туда же $a_{r}$, найдём $b_{2}$:
$b_{1} = \frac{Fa_{l} }{a_{l} - F } = \frac{F(kF + L) }{L}, b_{2} = \frac{Fa{r}}{a_{l} - F } = - \frac{F(F(k - 1) - L )}{L}$. (2)
Ответ: $M \in (- \infty, b_{2}] \cup [b_{1},+ \infty)$, где $b_{1}$ и $b_{2}$ задаются ф-лой (50). Лампочка не разобъёт линзу только если $F(k - 1) > L$, т.е. $b_{2} < 0$.
