Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10063
2019-01-14 
Иван собирает из проволоки электрическую схему (см. рис.). Сперва он согнул квадрат $ABCD$ и измерил сопротивление между точками A и B, сопротивление оказалось равным $R_{0}$. Затем Иван присоединил к схеме участок $BB_{1}C_{1}D_{1}D$, так что у него получилось два вложенных квадрата, при этом $AB_{1} = 2AB$. Иван продолжил наращивать свою схему, добавляя к ней новые квадраты, при этом сторона каждого нового квадрата была в два раза больше, чем у предыдущего. Определите, чему равно сопротивление получившейся схемы между точками A и B в случае, когда схема представляет собой пять вложенных квадратов. Какое сопротивление измерит Иван между точками A и B после добавления очень большого количества квадратов? Проволока однородная и имеет постоянное поперечное сечение.
Решение:
Обозначим сопротивления проволок, из которых составлена схема так, как это показано на Рис. 6: $R_{AB} = R_{AD} = a_{0}, R_{BCD} = b_{0}, R_{BB_{1} } = R_{DD_{1}} = a_{1}, R_{B_{1}C_{1}D_{1} } = b_{1}, \cdots$. При этом очевидно, что при $k \geq 0$ выполняются следующие соотношения
$a_{k} = a_{0}2^{k-1}, b_{k} = 2 \cdot 2 \cdot a_{k} = a_{0}2^{k+1}$. (1)
Нарисуем для наглядности эквивалентные схемы для случаев одного, двух и трех квадратов (см. Рис.). Используя эквивалентную схему для одного квадрата, получаем, что
$R_{0} = \frac{(a_{0} + b_{0} )a_{0} }{a_{0} + b_{0} + a_{0} } = \frac{3}{4} a_{0} \Leftrightarrow a_{0} = \frac{4}{3} R_{0}$. (2)
Сопротивление участков, выделенных на Рис. пунктирной рамкой удобно вычислять, составив рекуррентные соотношения. Предположим, что схема состоит из $n + 1$ квадрата. Тогда рекуррентная последовательность будет включать $n$ членов. Первый член последовательности имеет вид
$S_{1}^{n} = 2a_{n} + b_{n}$. (3)
Последующие $n - 1$ членов можно найти, используя соотношение (см. Рис.)
$S_{k+1}^{n} = 2a_{n - k} + \frac{b_{n-k} S_{k}^{n} }{b_{n - k} + S_{k}^{n} }$. (4)
Искомое сопротивление участка схемы в пунктирной рамке: $S_{n}^{n}$.
Подставим в рекуррентное соотношение (4) уравнения (1):
$S_{k+1}^{n} = a_{0}2^{n - k} + \frac{a_{0}2^{ n - k + 1} S_{k}^{n} }{a_{0}2^{n - k + 1} + S_{k}^{n} }$. (5)
Сделаем в уравнении (5) замену переменных:
$S_{k}^{n} = a_{0}2^{n - k + 1} p_{k}^{n}$. (6)
В результате имеем:
$p_{k+1}^{n} = 1 + \frac{2p_{k}^{n} }{1 + p_{k}^{n} }$. (7)
При этом для первого члена $p$-последовательности из (3) и (6) получаем, что
$S_{1}^{n} = a_{0} 2^{n} p_{1}^{n} = 3a_{0}2^{n} \Leftrightarrow p_{1}^{n} = 3$. (8)
Отметим, что $p$-последовательность, определяемая уравнениями (7) и (8), вообще не зависит от $n$. Значение параметра $p_{k}^{n}$ (в отличие от величины $S_{k}^{n}$) зависит только от номера $k$ и не зависит от общего числа членов последовательности $n$. В связи с этим, индекс $n$ можно опустить.
Теперь легко дать ответ на первый вопрос задачи. Случаю пяти квадратов в наших обозначениях соответствует $n = 4$, и нам необходимо рассчитать $S_{4}^{4}$. Для $p$-последовательности из (7) и (8) имеем
$p_{1} = 3, p_{2} = \frac{5}{2}, p_{3} = \frac{17}{7}, p_{4} = \frac{29}{12}$. (9)
Таким образом,
$S_{4}^{4} = \frac{29}{6}a_{0}$, (10)
и для сопротивления между точками A и B в случае схемы из пяти квадратов получаем (см. Рис.)
$R_{5} = \frac{99}{100}a_{0} = \frac{33}{35}R_{0}$. (11)
Остается дать ответ на второй вопрос задачи. Для этого необходимо определить, чему равно значение величины $S_{n}^{n} = 2a_{0}p_{n}$ при больших значениях $n$. Рассмотрим еще раз $p$-последовательности и исследуем ее предельное поведение.
Докажем, что данная последовательность имеет предел. Сперва по индукции покажем, что последовательность величин $p_{n}$ ограничена снизу числом $1 + \sqrt{2}$. Действительно,
$p_{0} = 3 > 1 + \sqrt{2}, p_{1} = 5/2 > 1 + \sqrt{2}$.
Предположим, что $p_{l} > 1 + \sqrt{2}$. Тогда,
$p_{k+1} = 1 + \frac{2p_{k}}{1 + p_{k}} = 3 - \frac{2}{1 + p_{k}} > 3 - \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.
Покажем теперь, что последовательность величин $p_{k}$ монотонно убывает:
$p_{k+1} - p_{k} = - \frac{(p_{k} - 1 - \sqrt{2} )(p_{k} - 1 + \sqrt{2} )}{1 + p_{k} } < 0$.
Существует теорема о том, что ограниченная монотонная последовательность имеет предел. Что и требовалось доказать. В принципе, в существовании предела можно легко убедиться, непосредственно вычисляя члены последовательности.
Найдем теперь предел $p_{ \infty}$ данной последовательности. Для этого перейдем в рекуррентном соотношении (6) к пределу:
$p_{ \infty} = 1 + \frac{2p_{ \infty} }{1 + p_{ \infty} }$. (12)
Откуда
$p_{ \infty} = 1 + \sqrt{2}$. (13)
Таким образом,
$S_{ \infty}^{ \infty} = 2a_{0} (1 + \sqrt{2})$, (14)
и для сопротивления между точками A и B в случае схемы, состоящей из очень большого количества квадратов, получаем (см. Рис.)
$R_{ \infty} = \frac{a_{0} }{ \sqrt{2} } = \frac{4R_{0} }{ 3 \sqrt{2} }$. (15)
Ответ: Сопротивление между точками А и В для схемы с пятью квадратами равно $R_{5} = 33R_{0}/35$. Сопротивление между точками А и В для схемы, состоящей из очень большого количества квадратов, равно $R_{ \infty} = 4R_{0}/3 \sqrt{2}$.
Примечание: Доказательство существования предела рекуррентной последовательности не является необходимым для получения полного балла по данной задаче.
Иван собирает из проволоки электрическую схему (см. рис.). Сперва он согнул квадрат $ABCD$ и измерил сопротивление между точками A и B, сопротивление оказалось равным $R_{0}$. Затем Иван присоединил к схеме участок $BB_{1}C_{1}D_{1}D$, так что у него получилось два вложенных квадрата, при этом $AB_{1} = 2AB$. Иван продолжил наращивать свою схему, добавляя к ней новые квадраты, при этом сторона каждого нового квадрата была в два раза больше, чем у предыдущего. Определите, чему равно сопротивление получившейся схемы между точками A и B в случае, когда схема представляет собой пять вложенных квадратов. Какое сопротивление измерит Иван между точками A и B после добавления очень большого количества квадратов? Проволока однородная и имеет постоянное поперечное сечение.
Решение:
Обозначим сопротивления проволок, из которых составлена схема так, как это показано на Рис. 6: $R_{AB} = R_{AD} = a_{0}, R_{BCD} = b_{0}, R_{BB_{1} } = R_{DD_{1}} = a_{1}, R_{B_{1}C_{1}D_{1} } = b_{1}, \cdots$. При этом очевидно, что при $k \geq 0$ выполняются следующие соотношения
$a_{k} = a_{0}2^{k-1}, b_{k} = 2 \cdot 2 \cdot a_{k} = a_{0}2^{k+1}$. (1)
Нарисуем для наглядности эквивалентные схемы для случаев одного, двух и трех квадратов (см. Рис.). Используя эквивалентную схему для одного квадрата, получаем, что
$R_{0} = \frac{(a_{0} + b_{0} )a_{0} }{a_{0} + b_{0} + a_{0} } = \frac{3}{4} a_{0} \Leftrightarrow a_{0} = \frac{4}{3} R_{0}$. (2)
Сопротивление участков, выделенных на Рис. пунктирной рамкой удобно вычислять, составив рекуррентные соотношения. Предположим, что схема состоит из $n + 1$ квадрата. Тогда рекуррентная последовательность будет включать $n$ членов. Первый член последовательности имеет вид
$S_{1}^{n} = 2a_{n} + b_{n}$. (3)
Последующие $n - 1$ членов можно найти, используя соотношение (см. Рис.)
$S_{k+1}^{n} = 2a_{n - k} + \frac{b_{n-k} S_{k}^{n} }{b_{n - k} + S_{k}^{n} }$. (4)
Искомое сопротивление участка схемы в пунктирной рамке: $S_{n}^{n}$.
Подставим в рекуррентное соотношение (4) уравнения (1):
$S_{k+1}^{n} = a_{0}2^{n - k} + \frac{a_{0}2^{ n - k + 1} S_{k}^{n} }{a_{0}2^{n - k + 1} + S_{k}^{n} }$. (5)
Сделаем в уравнении (5) замену переменных:
$S_{k}^{n} = a_{0}2^{n - k + 1} p_{k}^{n}$. (6)
В результате имеем:
$p_{k+1}^{n} = 1 + \frac{2p_{k}^{n} }{1 + p_{k}^{n} }$. (7)
При этом для первого члена $p$-последовательности из (3) и (6) получаем, что
$S_{1}^{n} = a_{0} 2^{n} p_{1}^{n} = 3a_{0}2^{n} \Leftrightarrow p_{1}^{n} = 3$. (8)
Отметим, что $p$-последовательность, определяемая уравнениями (7) и (8), вообще не зависит от $n$. Значение параметра $p_{k}^{n}$ (в отличие от величины $S_{k}^{n}$) зависит только от номера $k$ и не зависит от общего числа членов последовательности $n$. В связи с этим, индекс $n$ можно опустить.
Теперь легко дать ответ на первый вопрос задачи. Случаю пяти квадратов в наших обозначениях соответствует $n = 4$, и нам необходимо рассчитать $S_{4}^{4}$. Для $p$-последовательности из (7) и (8) имеем
$p_{1} = 3, p_{2} = \frac{5}{2}, p_{3} = \frac{17}{7}, p_{4} = \frac{29}{12}$. (9)
Таким образом,
$S_{4}^{4} = \frac{29}{6}a_{0}$, (10)
и для сопротивления между точками A и B в случае схемы из пяти квадратов получаем (см. Рис.)
$R_{5} = \frac{99}{100}a_{0} = \frac{33}{35}R_{0}$. (11)
Остается дать ответ на второй вопрос задачи. Для этого необходимо определить, чему равно значение величины $S_{n}^{n} = 2a_{0}p_{n}$ при больших значениях $n$. Рассмотрим еще раз $p$-последовательности и исследуем ее предельное поведение.
Докажем, что данная последовательность имеет предел. Сперва по индукции покажем, что последовательность величин $p_{n}$ ограничена снизу числом $1 + \sqrt{2}$. Действительно,
$p_{0} = 3 > 1 + \sqrt{2}, p_{1} = 5/2 > 1 + \sqrt{2}$.
Предположим, что $p_{l} > 1 + \sqrt{2}$. Тогда,
$p_{k+1} = 1 + \frac{2p_{k}}{1 + p_{k}} = 3 - \frac{2}{1 + p_{k}} > 3 - \frac{2}{2 + \sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}$.
Покажем теперь, что последовательность величин $p_{k}$ монотонно убывает:
$p_{k+1} - p_{k} = - \frac{(p_{k} - 1 - \sqrt{2} )(p_{k} - 1 + \sqrt{2} )}{1 + p_{k} } < 0$.
Существует теорема о том, что ограниченная монотонная последовательность имеет предел. Что и требовалось доказать. В принципе, в существовании предела можно легко убедиться, непосредственно вычисляя члены последовательности.
Найдем теперь предел $p_{ \infty}$ данной последовательности. Для этого перейдем в рекуррентном соотношении (6) к пределу:
$p_{ \infty} = 1 + \frac{2p_{ \infty} }{1 + p_{ \infty} }$. (12)
Откуда
$p_{ \infty} = 1 + \sqrt{2}$. (13)
Таким образом,
$S_{ \infty}^{ \infty} = 2a_{0} (1 + \sqrt{2})$, (14)
и для сопротивления между точками A и B в случае схемы, состоящей из очень большого количества квадратов, получаем (см. Рис.)
$R_{ \infty} = \frac{a_{0} }{ \sqrt{2} } = \frac{4R_{0} }{ 3 \sqrt{2} }$. (15)
Ответ: Сопротивление между точками А и В для схемы с пятью квадратами равно $R_{5} = 33R_{0}/35$. Сопротивление между точками А и В для схемы, состоящей из очень большого количества квадратов, равно $R_{ \infty} = 4R_{0}/3 \sqrt{2}$.
Примечание: Доказательство существования предела рекуррентной последовательности не является необходимым для получения полного балла по данной задаче.
