Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10062
2019-01-14 
Система состоит из двух жестких стержней AB и BC, соединенных шарниром B (см. рис.). Стержни шарниром A прикреплены к вертикальной стене и шарниром C к ползунку, который может двигаться по горизонтальному рельсу. Коэффициент трения между ползунком и рельсом неизвестен. К серединам стержней и к шарниру B подвешены одинаковые грузы. На рисунке изображено равновесное положение системы и отмечены известные в этом положении углы. Будет ли система оставаться в равновесии, если: а) убрать только груз 1, б) убрать только груз 2, в) убрать только груз 3? Нити, стержни, шарниры и ползунок невесомы, трением в шарнирах пренебречь.
Решение:
Найдем условие равновесия системы для случая, когда грузы имеют произвольные массы ($m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$). Для этого рассмотрим по отдельности четыре тела: стержень AB, стержень BC, шарнир B и ползунок с шарниром C. Шарнир B будет рассматриваться отдельно от стержней, хотя при решении задачи его можно считать частью одного из них (это бы упростило ход решения, но нарушило бы "симметрию" между стержнями).
Сначала определим, какие силы действуют на стержень AB. Со стороны шарнира A действует сила реакции, направление которой неизвестно. Представим ее в виде двух компонент $\vec{N}_{1x}$ и $\vec{N}_{1y}$ (см. Рис. 2). Направления этих компонент выбраны произвольно (соответствующие проекции на эти направления могут иметь любой знак). Аналогично изобразим силу со стороны шарнира B ($\vec{R}_{1} = \vec{R}_{1x} + \vec{R}_{1y}$). Кроме того, на стержень AB действует сила со стороны нити $\vec{T}_{1}$. Условия того, что силы, действующие на стержень AB, скомпенсированы выписывать не будем, т. к. они содержат неизвестную силу $\vec{N}_{1}$, находить которую не требуется и которая не войдет ни в одно из последующих уравнений. Запишем лишь условие моментов сил относительно оси, проходящей через точку A:
$\frac{1}{2} T_{1} \cos 30^{ \circ} + R_{1x} \sin 30^{ \circ} = R_{1y} \cos 30^{ \circ}$. (1)
Теперь рассмотрим стержень BC. Силы, действующие на этот стержень со стороны нити и шарниров B и C, указаны на Рис. 3. Условия равновесия имеют вид
$N_{3x} = R_{3x}$, (2)
$N_{3y} = R_{3y} + T_{3}$, (3)
$\frac{1}{3} T_{3} \sin 30^{ \circ} + R_{3y} \sin 30^{ \circ} = R_{3x} \cos 30^{ \circ}$. (4)
По третьему закону Ньютона на шарнир B со стороны стержней будут действовать силы $- \vec{R}_{1}$ и $- \vec{R}_{3}$, а также сила со стороны нити $\vec{T}_{2}$ (см. Рис. 4). Шарнир будет находиться в равновесии, если выполнены условия
$R_{1x} = R_{3x}$, (5)
$R_{3y} = R_{1y} + T_{2}$. (6)
Остается записать условия равновесия ползунка и шарнира C (см. Рис. 5). Имеем следующее ($N$ - сила реакции на ползунок со стороны рельса, $F_{тр}$ - сила трения):
$N_{3x} = F_{тр}$ (7)
$N_{3y} = N$, (8)
$|F_{тр} | \leq \mu |N|$. (9)
Поскольку очевидно, что $T_{i} = m_{i}g (i = 1, 2, 3)$, мы считаем эти три силы известными.
Теперь необходимо решить систему уравнений (1)-(7) относительно $N$ и $F_{тр}$ и обратиться к условию (9). Выразим все силы через $N$ и $F_{тр}$:
$R_{1x} = R_{3x} = N_{3x} = F_{тр}$, (10)
$R_{1y} = \frac{1}{2}T_{1} + \frac{1}{ \sqrt{3} } F_{тр}$, (11)
$N_{3y} = N$, (12)
$R_{3y} = N - T_{3}$. (13)
Подставляя эти уравнения в (1) и (3), получаем следующее:
$N = \frac{1}{4}(3T_{1} + 6T_{2} + 5T_{3})$, (14)
$F_{тр} = \frac{ \sqrt{3} }{4} (T_{1} + 2T_{2} + T_{3})$. (15)
Условие (15) в терминах масс $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ примет вид:
$\mu > \frac{ \sqrt{3} (m_{1} + 2m_{2} + m_{3} ) }{3m_{1} + 6m_{2} + 5m_{3} }$. (16)
В исходном состоянии ($m_{1} = m_{2} = m_{3}$) система находится в равновесии. Это означает, что коэффициент трения подчиняется условию:
$\mu > \frac{4 \sqrt{3} }{14} = \frac{2 \sqrt{3} }{7} \approx 0,49$. (17)
В случае а) ($m_{1} = 0, m_{2} = m_{3}$) имеем условие
$\mu \geq \frac{3 \sqrt{3} }{11} \approx 0,47$, (18)
которое выполняется автоматически, т. е. в случае а) система останется в равновесии. В случае б) ($m_{2} = 0, m_{1} = m_{3}$) условие
$\mu \geq \frac{2 \sqrt{3} }{8} = \frac{ \sqrt{3} }{4} \approx 0,43$ (19)
также выполняется, что означает, что система останется в равновесии и в этом случае. В случае в) ($m_{3} = 0, m_{1} = m_{2}$) имеем:
$\mu \geq \frac{3 \sqrt{3} }{9} = \frac{ \sqrt{3} }{3} \approx 0,58$. (20)
Таким образом, система может выйти из равновесия, если коэффициент трения не превосходит $\sqrt{3}/3$. Заметим, что без использования калькулятора представленные выше значения можно легко сравнить, возведя их в квадрат.
Ответ: а) система останется в равновесии, б) система останется в равновесии, в) система останется в равновесии лишь при условии $\mu \geq \sqrt{3}/3 \approx 0,58$.
Система состоит из двух жестких стержней AB и BC, соединенных шарниром B (см. рис.). Стержни шарниром A прикреплены к вертикальной стене и шарниром C к ползунку, который может двигаться по горизонтальному рельсу. Коэффициент трения между ползунком и рельсом неизвестен. К серединам стержней и к шарниру B подвешены одинаковые грузы. На рисунке изображено равновесное положение системы и отмечены известные в этом положении углы. Будет ли система оставаться в равновесии, если: а) убрать только груз 1, б) убрать только груз 2, в) убрать только груз 3? Нити, стержни, шарниры и ползунок невесомы, трением в шарнирах пренебречь.
Решение:
Найдем условие равновесия системы для случая, когда грузы имеют произвольные массы ($m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$). Для этого рассмотрим по отдельности четыре тела: стержень AB, стержень BC, шарнир B и ползунок с шарниром C. Шарнир B будет рассматриваться отдельно от стержней, хотя при решении задачи его можно считать частью одного из них (это бы упростило ход решения, но нарушило бы "симметрию" между стержнями).
Сначала определим, какие силы действуют на стержень AB. Со стороны шарнира A действует сила реакции, направление которой неизвестно. Представим ее в виде двух компонент $\vec{N}_{1x}$ и $\vec{N}_{1y}$ (см. Рис. 2). Направления этих компонент выбраны произвольно (соответствующие проекции на эти направления могут иметь любой знак). Аналогично изобразим силу со стороны шарнира B ($\vec{R}_{1} = \vec{R}_{1x} + \vec{R}_{1y}$). Кроме того, на стержень AB действует сила со стороны нити $\vec{T}_{1}$. Условия того, что силы, действующие на стержень AB, скомпенсированы выписывать не будем, т. к. они содержат неизвестную силу $\vec{N}_{1}$, находить которую не требуется и которая не войдет ни в одно из последующих уравнений. Запишем лишь условие моментов сил относительно оси, проходящей через точку A:
$\frac{1}{2} T_{1} \cos 30^{ \circ} + R_{1x} \sin 30^{ \circ} = R_{1y} \cos 30^{ \circ}$. (1)
Теперь рассмотрим стержень BC. Силы, действующие на этот стержень со стороны нити и шарниров B и C, указаны на Рис. 3. Условия равновесия имеют вид
$N_{3x} = R_{3x}$, (2)
$N_{3y} = R_{3y} + T_{3}$, (3)
$\frac{1}{3} T_{3} \sin 30^{ \circ} + R_{3y} \sin 30^{ \circ} = R_{3x} \cos 30^{ \circ}$. (4)
По третьему закону Ньютона на шарнир B со стороны стержней будут действовать силы $- \vec{R}_{1}$ и $- \vec{R}_{3}$, а также сила со стороны нити $\vec{T}_{2}$ (см. Рис. 4). Шарнир будет находиться в равновесии, если выполнены условия
$R_{1x} = R_{3x}$, (5)
$R_{3y} = R_{1y} + T_{2}$. (6)
Остается записать условия равновесия ползунка и шарнира C (см. Рис. 5). Имеем следующее ($N$ - сила реакции на ползунок со стороны рельса, $F_{тр}$ - сила трения):
$N_{3x} = F_{тр}$ (7)
$N_{3y} = N$, (8)
$|F_{тр} | \leq \mu |N|$. (9)
Поскольку очевидно, что $T_{i} = m_{i}g (i = 1, 2, 3)$, мы считаем эти три силы известными.
Теперь необходимо решить систему уравнений (1)-(7) относительно $N$ и $F_{тр}$ и обратиться к условию (9). Выразим все силы через $N$ и $F_{тр}$:
$R_{1x} = R_{3x} = N_{3x} = F_{тр}$, (10)
$R_{1y} = \frac{1}{2}T_{1} + \frac{1}{ \sqrt{3} } F_{тр}$, (11)
$N_{3y} = N$, (12)
$R_{3y} = N - T_{3}$. (13)
Подставляя эти уравнения в (1) и (3), получаем следующее:
$N = \frac{1}{4}(3T_{1} + 6T_{2} + 5T_{3})$, (14)
$F_{тр} = \frac{ \sqrt{3} }{4} (T_{1} + 2T_{2} + T_{3})$. (15)
Условие (15) в терминах масс $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ примет вид:
$\mu > \frac{ \sqrt{3} (m_{1} + 2m_{2} + m_{3} ) }{3m_{1} + 6m_{2} + 5m_{3} }$. (16)
В исходном состоянии ($m_{1} = m_{2} = m_{3}$) система находится в равновесии. Это означает, что коэффициент трения подчиняется условию:
$\mu > \frac{4 \sqrt{3} }{14} = \frac{2 \sqrt{3} }{7} \approx 0,49$. (17)
В случае а) ($m_{1} = 0, m_{2} = m_{3}$) имеем условие
$\mu \geq \frac{3 \sqrt{3} }{11} \approx 0,47$, (18)
которое выполняется автоматически, т. е. в случае а) система останется в равновесии. В случае б) ($m_{2} = 0, m_{1} = m_{3}$) условие
$\mu \geq \frac{2 \sqrt{3} }{8} = \frac{ \sqrt{3} }{4} \approx 0,43$ (19)
также выполняется, что означает, что система останется в равновесии и в этом случае. В случае в) ($m_{3} = 0, m_{1} = m_{2}$) имеем:
$\mu \geq \frac{3 \sqrt{3} }{9} = \frac{ \sqrt{3} }{3} \approx 0,58$. (20)
Таким образом, система может выйти из равновесия, если коэффициент трения не превосходит $\sqrt{3}/3$. Заметим, что без использования калькулятора представленные выше значения можно легко сравнить, возведя их в квадрат.
Ответ: а) система останется в равновесии, б) система останется в равновесии, в) система останется в равновесии лишь при условии $\mu \geq \sqrt{3}/3 \approx 0,58$.
