Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10060
2019-01-14 
Тело B двигается по прямой с постоянной скоростью сверху вниз (см. рис.). Тело A в это время двигается по параболе таким образом, что прямая AB всегда остается параллельной оси параболы и перпендикулярной траектории движения тела B. Известно, что вторая встреча тел A и B произошла через время $T$ после их первой встречи. В момент, когда относительная скорость тел стала равна нулю, расстояние между ними было равно $S$. Определите ускорение тела A в этот момент и в момент второй встречи.
Решение:
Повернем рисунок из условия задачи на $90^{ \circ}$ против часовой стрелки и введем обозначения, показанные на Рис. 1. По условию задачи $AB \parallel CC^{ \circ}$, при этом $AB \perp BB^{ \perp}$. Для удобства введем декартову систему координат, поместив начало отсчета в точку первой встречи тел A и B, ось OX направим вдоль траектории движения B. Отсчет времени начнем с момента первой встречи. Из условия задачи понятно, что тело A движется равномерно вдоль оси OX со скоростью $v$. На это движение накладывается движение вдоль оси OY с переменной скоростью. Из формы траектории (парабола, $y(x) = \alpha x^{2} + \beta x + \gamma$) и линейной зависимости $x(t) = vt$, понятно, что зависимость у от времени тоже квадратичная. Такая зависимость характерна для равноускоренного движения. Так движется тело в однородном поле тяжести, брошенное под углом к горизонту. Запишем уравнение движения тела A в привычном виде:
$\begin{cases} x(t) = x_{0} + vt, \\ y(t) = y_{0} + v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2} }{2}. \end{cases}$ (1)
Нам неизвестны $x_{0}, y_{0}, v_{0y}, a_{y}$. Посмотрим, что можно узнать из условия задачи. По выбору системы отсчета $x_{0} = 0, y_{0} = 0$. Понятно, что расстояние $S$ между телами A и B в момент, когда их относительная скорость равна нулю - это максимальная высота “подъема”, а $T$ - время “полета”. Известно, что:
$\begin{cases} \frac{T}{2} = \frac{v_{0y} }{|a_{y} | } \\ S = \frac{v_{0y}^{2} }{2|a_{y} | } \end{cases}$ (2)
Найдем $a_{y}$, решая линейную систему уравнений и учитывая направление выбранной оси OY:
$a_{y} = - \frac{8S}{T^{2} }$ (3)
Итак, ускорение тела A постоянно, направлено справа налево (по картинке из условия задачи) и равно по модулю $8S/T^{2}$.
У задачи есть и альтернативное решение, без использования аналогии с грузом, брошенным под углом к горизонту. Используем построенную систему координат и запишем уравнение траектории движения тела A:
$y(x) = \alpha x^{2} + \beta x + \gamma$ (4)
Найдем $\alpha, \beta, \gamma$ из условия задачи. Мы знаем координаты трех точек параболы: $(0; 0), (vT/2; S)$ и $(vT;0)$. Этого достаточно для нахождения трех неизвестных.
$\begin{cases} \alpha = - \frac{4S}{v^{2}T^{2} }, \\ \beta = \frac{4S}{vT}, \\ \gamma = 0 \end{cases}$ (5)
Вдоль оси OX, как мы уже говорили, движение тела A равномерное, следовательно, ускорение $a_{x} = 0$. Найдем ускорение тела A вдоль оси OY. Для этого сначала определим скорость вдоль этой оси. По определению, мгновенная скорость точки есть предел, к которому стремится средняя скорость, рассчитанная за очень малый интервал времени. Рассмотрим малый интервал времени $\Delta t$. За это время координата x тела A получит малое приращение $\Delta x$, а координата у - малое приращение $\Delta y$. Следовательно через интервал времени $\Delta t$ уравнение траектории (4) приобретет вид
$y + \Delta y = \alpha (x + \Delta x)^{2} + \beta (x + \Delta x) + \gamma = \alpha (x^{2} + 2x \Delta x + ( \Delta x)^{2}) + \beta (x + \Delta x) + \gamma$ (6)
Поскольку все приращения малые, слагаемым, которое содержит $( \Delta x)^{2}$ можно пренебречь, оно, как говорят, имеет второй порядок малости и в силу этого не дает вклада в мгновенную скорость точки. Почленно вычитая уравнения (6) и (4), рассчитаем теперь скорость вдоль оси OY:
$v_{y} = \frac{ \Delta y}{ \Delta t} = \frac{[ \alpha (x^{2} + 2x \Delta x ) + \beta (x + \Delta x) + \gamma ] - [ \alpha x^{2} + \beta x + \gamma ] }{ \Delta t} = 2 \alpha x v + \beta v$, (7)
где было использовано, что $\Delta x/ \Delta t = v$ есть скорость движения тела A вдоль оси OX. Применим к полученному соотношению (7) еще раз тот же самый прием. Через малый интервал времени $\Delta t$ скорость точки A вдоль оси OY получит малое приращение $\Delta v_{y}$ и соотношение (7) приобретет вид:
$v_{y} + \Delta v_{y} = 2 \alpha (x + \Delta x)v + \beta v$, (8)
Вычислим ускорение:
$a_{y} = \frac{[2 \alpha (x + \Delta x) v + \beta v - [2 \alpha ( x + \Delta x)v + \beta v ] ] - []}{ \Delta t} = 2 \alpha v^{2} = - \frac{8S}{T^{2} }$. (9)
Второй способ решения задачи более универсален, но его применение усложняется математическими расчетами. Первый способ в данной конкретной задаче - проще и изящнее.
Ответ: Ускорение тела А в момент, когда относительная скорость тел А и В равна нулю, и в момент их второй встречи одинаково, равно по модулю $8S/T^{2}$ и направлено параллельно оси параболы справа налево.
Примечание: Ускорение можно найти еще следующим образом (здесь вновь используется тот факт, что движение по оси OY равноускоренное). Подставляя в (4) выражение $x = vt$ и сравнивая со вторым уравнением в (1), получаем, что $a_{y}/2 = \alpha v^{2}$.
Тело B двигается по прямой с постоянной скоростью сверху вниз (см. рис.). Тело A в это время двигается по параболе таким образом, что прямая AB всегда остается параллельной оси параболы и перпендикулярной траектории движения тела B. Известно, что вторая встреча тел A и B произошла через время $T$ после их первой встречи. В момент, когда относительная скорость тел стала равна нулю, расстояние между ними было равно $S$. Определите ускорение тела A в этот момент и в момент второй встречи.
Решение:
Повернем рисунок из условия задачи на $90^{ \circ}$ против часовой стрелки и введем обозначения, показанные на Рис. 1. По условию задачи $AB \parallel CC^{ \circ}$, при этом $AB \perp BB^{ \perp}$. Для удобства введем декартову систему координат, поместив начало отсчета в точку первой встречи тел A и B, ось OX направим вдоль траектории движения B. Отсчет времени начнем с момента первой встречи. Из условия задачи понятно, что тело A движется равномерно вдоль оси OX со скоростью $v$. На это движение накладывается движение вдоль оси OY с переменной скоростью. Из формы траектории (парабола, $y(x) = \alpha x^{2} + \beta x + \gamma$) и линейной зависимости $x(t) = vt$, понятно, что зависимость у от времени тоже квадратичная. Такая зависимость характерна для равноускоренного движения. Так движется тело в однородном поле тяжести, брошенное под углом к горизонту. Запишем уравнение движения тела A в привычном виде:
$\begin{cases} x(t) = x_{0} + vt, \\ y(t) = y_{0} + v_{0y}t + \frac{a_{y}t^{2} }{2}. \end{cases}$ (1)
Нам неизвестны $x_{0}, y_{0}, v_{0y}, a_{y}$. Посмотрим, что можно узнать из условия задачи. По выбору системы отсчета $x_{0} = 0, y_{0} = 0$. Понятно, что расстояние $S$ между телами A и B в момент, когда их относительная скорость равна нулю - это максимальная высота “подъема”, а $T$ - время “полета”. Известно, что:
$\begin{cases} \frac{T}{2} = \frac{v_{0y} }{|a_{y} | } \\ S = \frac{v_{0y}^{2} }{2|a_{y} | } \end{cases}$ (2)
Найдем $a_{y}$, решая линейную систему уравнений и учитывая направление выбранной оси OY:
$a_{y} = - \frac{8S}{T^{2} }$ (3)
Итак, ускорение тела A постоянно, направлено справа налево (по картинке из условия задачи) и равно по модулю $8S/T^{2}$.
У задачи есть и альтернативное решение, без использования аналогии с грузом, брошенным под углом к горизонту. Используем построенную систему координат и запишем уравнение траектории движения тела A:
$y(x) = \alpha x^{2} + \beta x + \gamma$ (4)
Найдем $\alpha, \beta, \gamma$ из условия задачи. Мы знаем координаты трех точек параболы: $(0; 0), (vT/2; S)$ и $(vT;0)$. Этого достаточно для нахождения трех неизвестных.
$\begin{cases} \alpha = - \frac{4S}{v^{2}T^{2} }, \\ \beta = \frac{4S}{vT}, \\ \gamma = 0 \end{cases}$ (5)
Вдоль оси OX, как мы уже говорили, движение тела A равномерное, следовательно, ускорение $a_{x} = 0$. Найдем ускорение тела A вдоль оси OY. Для этого сначала определим скорость вдоль этой оси. По определению, мгновенная скорость точки есть предел, к которому стремится средняя скорость, рассчитанная за очень малый интервал времени. Рассмотрим малый интервал времени $\Delta t$. За это время координата x тела A получит малое приращение $\Delta x$, а координата у - малое приращение $\Delta y$. Следовательно через интервал времени $\Delta t$ уравнение траектории (4) приобретет вид
$y + \Delta y = \alpha (x + \Delta x)^{2} + \beta (x + \Delta x) + \gamma = \alpha (x^{2} + 2x \Delta x + ( \Delta x)^{2}) + \beta (x + \Delta x) + \gamma$ (6)
Поскольку все приращения малые, слагаемым, которое содержит $( \Delta x)^{2}$ можно пренебречь, оно, как говорят, имеет второй порядок малости и в силу этого не дает вклада в мгновенную скорость точки. Почленно вычитая уравнения (6) и (4), рассчитаем теперь скорость вдоль оси OY:
$v_{y} = \frac{ \Delta y}{ \Delta t} = \frac{[ \alpha (x^{2} + 2x \Delta x ) + \beta (x + \Delta x) + \gamma ] - [ \alpha x^{2} + \beta x + \gamma ] }{ \Delta t} = 2 \alpha x v + \beta v$, (7)
где было использовано, что $\Delta x/ \Delta t = v$ есть скорость движения тела A вдоль оси OX. Применим к полученному соотношению (7) еще раз тот же самый прием. Через малый интервал времени $\Delta t$ скорость точки A вдоль оси OY получит малое приращение $\Delta v_{y}$ и соотношение (7) приобретет вид:
$v_{y} + \Delta v_{y} = 2 \alpha (x + \Delta x)v + \beta v$, (8)
Вычислим ускорение:
$a_{y} = \frac{[2 \alpha (x + \Delta x) v + \beta v - [2 \alpha ( x + \Delta x)v + \beta v ] ] - []}{ \Delta t} = 2 \alpha v^{2} = - \frac{8S}{T^{2} }$. (9)
Второй способ решения задачи более универсален, но его применение усложняется математическими расчетами. Первый способ в данной конкретной задаче - проще и изящнее.
Ответ: Ускорение тела А в момент, когда относительная скорость тел А и В равна нулю, и в момент их второй встречи одинаково, равно по модулю $8S/T^{2}$ и направлено параллельно оси параболы справа налево.
Примечание: Ускорение можно найти еще следующим образом (здесь вновь используется тот факт, что движение по оси OY равноускоренное). Подставляя в (4) выражение $x = vt$ и сравнивая со вторым уравнением в (1), получаем, что $a_{y}/2 = \alpha v^{2}$.
