2016-09-17
Через два небольших блока перекинута невесомая нерастяжимая нить, к концам которой подвешены одинаковые грузы массой $M$ каждый (см. рисунок). В начальный момент грузы уравновешены и покоятся. На нить с высоты $h$ строго посередине между блоками падает небольшое тело массой $m$ так, что при падении оно цепляется за нить. Какова будет максимальная скорость грузов в процессе движения, если $\frac{m}{M} \ll \frac{h}{l} \ll 1$?
Решение:
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. При падении тела $m$ в поле силы тяжести его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая — увеличивается, пока тело не зацепится за нить. Далее одновременно с его опусканием происходит подъём и ускорение двух грузов массой $M$. Скорости тела и грузов связаны между собой, поскольку нить по условию задачи нерастяжима. Если тело $m$ сместилось вместе с нитью вниз на расстояние $x$ от положения, когда нить горизонтальна, то скорость грузов $v$ и скорость тела и связаны соотношением: $u = \frac{v}{x/ \sqrt{l^{2} + x^{2}}} \approx \frac{vl}{x}$. Здесь использовано то обстоятельство, что, поскольку масса тела мала по сравнению с массами грузов, и оно падает на нить с небольшой высоты $h$, то смещение тела $x$ будет также невелико по сравнению с $h$ и, тем более, с $l$, то есть $x \ll h \ll l$. При этом из закона сохранения энергии следует, что
$mg(h + x) = 2Mg( \sqrt{x^{2} + l^{2}} - l) + \frac{mu^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{Mv^{2}}{2}$,
откуда
$mg (h+x) - Mg \cdot \frac{x^{2}}{l} \approx \frac{m(vl/x)^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{Mv^{2}}{2} = v^{2} \left ( M + \frac{m(l/x)^{2}}{2} \right )$, $v^{2} \approx \frac{mg(h+x) - (Mgx^{2}/l)}{ M + \frac{m(l/x)^{2}}{2}} \approx \frac{mgh - (Mgl \cdot x^{2}/l^{2})}{M + \frac{m(l/x)^{2}}{2}}$.
Обозначим малый параметр $z = x^{2}/l^{2}$. Теперь задача свелась к отысканию максимума выражения:
$v^{2} = \frac{mgh-Mglz}{M+(m/(2z)}$.
для чего нужно приравнять нулю его производную по $z$. Это даёт уравнение: $2M^{2}l \cdot z^{2} + 2 mMl \cdot z — m^{2}h = 0$. Решая его, получим, что $z \approx mh/(2Ml)$. Следовательно, искомая максимальная скорость движения грузов будет равна: $v \approx h \sqrt{ \frac{mg}{2Ml}}$.