Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10057
2019-01-14 
В сосуде с площадью сечения $S_{1} = 500 см^{2}$ налито 20 л воды. На воде лежит поршень, к которому на пружине прикреплён другой сосуд, плавающий в толще воды. Второй сосуд так же накрыт сверху поршнем, который соединен пружиной с дном этого сосуда (см. рис.). Найдите расстояние от дна большего сосуда до дна меньшего. Площадь второго поршня $S_{2} = 100 см^{2}$, жёсткость верхней пружины $k_{1} = 100 Н/м$, нижней $k_{2} = 200 Н/м$ длины пружин в нерастянутом состоянии $l_{1} = 9 см$ и $l_{2} = 10 см$ соответственно. Масса нижнего сосуда 1 кг, массами пружин и поршней можно пренебречь, больший сосуд закупорен, воздуха в сосудах нет. Вода под поршнем не испаряется.
Решение:
Обозначим имеющиеся силы в системе. Будем считать, что первая пружина растянута, а вторая сжата. Если это не так, мы получим отрицательное значение силы, а это будет значить, что она направлена в другую сторону. Тут сразу следует заметить, что первая пружина растянута, а потому поршень давит на воду. В самом деле, иначе суммарная сила, действующая на сосуд без учёта первой пружины была бы направлена вверх (или равна нулю), а тогда сила тяжести была бы не больше силы Архимеда, действующей на сосуд. То есть $mg \leq \rho gV \Rightarrow m \leq \rho lS_{2}$, где $l$ -длина второй пружины. Но, значит, $l \geq \frac{m}{ \rho S_{2} } = \frac{1}{1000 \cdot 0,01} = 0,1м = 10 см$. То есть вторая пружина не сжата. Но ведь на неё сверху давит столб воды. Противоречие. Значит, действительно, первая пружина растянута, и верхний поршень давит на воду. Итак, обозначим силы:
Теперь напишем выражения для сил с учётом обозначений, указанных на рисунке:
$F_{г1} = F_{г1}^{ \prime} = k_{1}(h - l_{1})$
$F_{г2} = k_{2} (l_{2} - l)$
$F_{давл1} = PS_{2}$
$P = P_{воды} + P_{поршня}$,
где $P_{воды}$ - давление столба воды, $P_{пopшня}$ - давление поршня на воду. Заметим, что на поршень действует лишь одна сила (кроме создаваемой водой) - сила Гука первой пружины, а значит, давление, создаваемое поршнем равно $\frac{F_{г1} }{S_{1} }$. Значит, итоговая сила давления воды сверху:
$F_{давл1} = \left ( \rho gh + \frac{k_{1}(h - l_{1} ) }{S_{1} } \right ) S_{2}$
А сила давления воды снизу:
$F_{давл2} = \left ( \rho g(h + l) + \frac{k_{1}(h - l_{1} ) }{S_{1} } \right ) S_{2}$
Теперь можно написать второй закон Ньютона для меньшего поршня и для меньшего сосуда (в проекциях на вертикальную ось:
$\begin{cases} F_{г1} + F_{г2} = F_{давл1} \\ F_{г2} + mg = F_{давл2} \end{cases}$
$\begin{cases} k_{1}(h-l_{1} ) + k_{2}(l_{2} - l ) = \rho ghS_{2} + k_{2} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } \\ k_{2}(l_{2} - l ) + mg = \rho ghS_{2} + \rho glS_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } \end{cases}$
$\begin{cases} l_{2} - l = \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2}} \\ mg = \rho glS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \end{cases}$
$\begin{cases} l = l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } \\ mg = \rho g \left ( l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } \right ) S_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \end{cases}$
$\begin{cases} l = l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } \\ mg - \rho gl_{2}S_{2} + \rho gS_{2}l_{1} \frac{k_{1} }{k_{2} } \frac{S_{1} - S_{2} }{S_{1} } + k_{1}l_{1} = \rho gS_{2} \left ( - h \frac{ \rho g S_{2}}{k_{2} } + h \frac{S_{1} - S_{2} }{S_{1} } \frac{k_{1} }{k_{2} } \right ) + k_{1}h \end{cases}$
отсюда найдем $h$:
$h = \frac{}{} = l_{2} \frac{}{} = l_{1} \frac{1000 \cdot 10 \cdot 0,01 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} + 100 }{ - \frac{10^{6} \cdot 10^{2} \cdot 10^{-4} }{200} + 1000 \cdot 10 \cdot 0,01 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} + 100 } = l_{1} \frac{14}{9} = 14 см$
И после этого $l$:
$l = l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } = 0,1 - \frac{1000 \cdot 10 \cdot 0,14 \cdot 0,01 + 100 (0,14 - 0,09) \frac{1}{5} - 100 (0,14 - 0,09) }{200} = 0,1 - \frac{14 + 1 - 5}{200} = 0,05 м = 5 см$
Теперь найдём высоту всего сосуда. Объём большего сосуда складывается из объёма воды и объёма меньшего сосуда. Высоту сосуда можно вычислить как отношение объёма к площади сечения:
$h = \frac{V_{в} + lS_{2} }{S_{1} } = \frac{2000 + 5 \cdot 100}{500} = 41 см$
И окончательно, расстояние от дна одного сосуда до дна другого получается $41 - 14 - 5 = 22 см$.
В сосуде с площадью сечения $S_{1} = 500 см^{2}$ налито 20 л воды. На воде лежит поршень, к которому на пружине прикреплён другой сосуд, плавающий в толще воды. Второй сосуд так же накрыт сверху поршнем, который соединен пружиной с дном этого сосуда (см. рис.). Найдите расстояние от дна большего сосуда до дна меньшего. Площадь второго поршня $S_{2} = 100 см^{2}$, жёсткость верхней пружины $k_{1} = 100 Н/м$, нижней $k_{2} = 200 Н/м$ длины пружин в нерастянутом состоянии $l_{1} = 9 см$ и $l_{2} = 10 см$ соответственно. Масса нижнего сосуда 1 кг, массами пружин и поршней можно пренебречь, больший сосуд закупорен, воздуха в сосудах нет. Вода под поршнем не испаряется.
Решение:
Обозначим имеющиеся силы в системе. Будем считать, что первая пружина растянута, а вторая сжата. Если это не так, мы получим отрицательное значение силы, а это будет значить, что она направлена в другую сторону. Тут сразу следует заметить, что первая пружина растянута, а потому поршень давит на воду. В самом деле, иначе суммарная сила, действующая на сосуд без учёта первой пружины была бы направлена вверх (или равна нулю), а тогда сила тяжести была бы не больше силы Архимеда, действующей на сосуд. То есть $mg \leq \rho gV \Rightarrow m \leq \rho lS_{2}$, где $l$ -длина второй пружины. Но, значит, $l \geq \frac{m}{ \rho S_{2} } = \frac{1}{1000 \cdot 0,01} = 0,1м = 10 см$. То есть вторая пружина не сжата. Но ведь на неё сверху давит столб воды. Противоречие. Значит, действительно, первая пружина растянута, и верхний поршень давит на воду. Итак, обозначим силы:
Теперь напишем выражения для сил с учётом обозначений, указанных на рисунке:
$F_{г1} = F_{г1}^{ \prime} = k_{1}(h - l_{1})$
$F_{г2} = k_{2} (l_{2} - l)$
$F_{давл1} = PS_{2}$
$P = P_{воды} + P_{поршня}$,
где $P_{воды}$ - давление столба воды, $P_{пopшня}$ - давление поршня на воду. Заметим, что на поршень действует лишь одна сила (кроме создаваемой водой) - сила Гука первой пружины, а значит, давление, создаваемое поршнем равно $\frac{F_{г1} }{S_{1} }$. Значит, итоговая сила давления воды сверху:
$F_{давл1} = \left ( \rho gh + \frac{k_{1}(h - l_{1} ) }{S_{1} } \right ) S_{2}$
А сила давления воды снизу:
$F_{давл2} = \left ( \rho g(h + l) + \frac{k_{1}(h - l_{1} ) }{S_{1} } \right ) S_{2}$
Теперь можно написать второй закон Ньютона для меньшего поршня и для меньшего сосуда (в проекциях на вертикальную ось:
$\begin{cases} F_{г1} + F_{г2} = F_{давл1} \\ F_{г2} + mg = F_{давл2} \end{cases}$
$\begin{cases} k_{1}(h-l_{1} ) + k_{2}(l_{2} - l ) = \rho ghS_{2} + k_{2} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } \\ k_{2}(l_{2} - l ) + mg = \rho ghS_{2} + \rho glS_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } \end{cases}$
$\begin{cases} l_{2} - l = \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2}} \\ mg = \rho glS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \end{cases}$
$\begin{cases} l = l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } \\ mg = \rho g \left ( l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } \right ) S_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \end{cases}$
$\begin{cases} l = l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1} (h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } \\ mg - \rho gl_{2}S_{2} + \rho gS_{2}l_{1} \frac{k_{1} }{k_{2} } \frac{S_{1} - S_{2} }{S_{1} } + k_{1}l_{1} = \rho gS_{2} \left ( - h \frac{ \rho g S_{2}}{k_{2} } + h \frac{S_{1} - S_{2} }{S_{1} } \frac{k_{1} }{k_{2} } \right ) + k_{1}h \end{cases}$
отсюда найдем $h$:
$h = \frac{}{} = l_{2} \frac{}{} = l_{1} \frac{1000 \cdot 10 \cdot 0,01 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} + 100 }{ - \frac{10^{6} \cdot 10^{2} \cdot 10^{-4} }{200} + 1000 \cdot 10 \cdot 0,01 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} + 100 } = l_{1} \frac{14}{9} = 14 см$
И после этого $l$:
$l = l_{2} - \frac{ \rho ghS_{2} + k_{1}(h - l_{1} ) \frac{S_{2} }{S_{1} } - k_{1} (h - l_{1} ) }{k_{2} } = 0,1 - \frac{1000 \cdot 10 \cdot 0,14 \cdot 0,01 + 100 (0,14 - 0,09) \frac{1}{5} - 100 (0,14 - 0,09) }{200} = 0,1 - \frac{14 + 1 - 5}{200} = 0,05 м = 5 см$
Теперь найдём высоту всего сосуда. Объём большего сосуда складывается из объёма воды и объёма меньшего сосуда. Высоту сосуда можно вычислить как отношение объёма к площади сечения:
$h = \frac{V_{в} + lS_{2} }{S_{1} } = \frac{2000 + 5 \cdot 100}{500} = 41 см$
И окончательно, расстояние от дна одного сосуда до дна другого получается $41 - 14 - 5 = 22 см$.
